En matemáticas , la función zeta de Lerch , a veces llamada función zeta de Hurwitz-Lerch , es una función especial que generaliza la función zeta de Hurwitz y el polilogaritmo . Lleva el nombre del matemático checo Mathias Lerch [1] .
Definición La función zeta de Lerch está dada por
L ( λ , α , s ) = ∑ norte = 0 ∞ mi 2 π I λ norte ( norte + α ) s . {\ Displaystyle L (\ lambda, \ alpha, s) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {2 \ pi i \ lambda n}} {(n + \ alpha) ^ {s}}}.} Una función relacionada, la trascendente de Lerch , viene dada por
Φ ( z , s , α ) = ∑ norte = 0 ∞ z norte ( norte + α ) s . {\ Displaystyle \ Phi (z, s, \ alpha) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {(n + \ alpha) ^ {s}}}. } Los dos están relacionados, como
Φ ( mi 2 π I λ , s , α ) = L ( λ , α , s ) . {\ Displaystyle \, \ Phi (e ^ {2 \ pi i \ lambda}, s, \ alpha) = L (\ lambda, \ alpha, s).}
Representaciones integrales Una representación integral está dada por
Φ ( z , s , a ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s - 1 mi - a t 1 - z mi - t D t {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {s-1} e ^ {- at}} {1-ze ^ {- t}}} \, dt} por
ℜ ( a ) > 0 ∧ ℜ ( s ) > 0 ∧ z < 1 ∨ ℜ ( a ) > 0 ∧ ℜ ( s ) > 1 ∧ z = 1. {\ Displaystyle \ Re (a)> 0 \ wedge \ Re (s)> 0 \ wedge z <1 \ vee \ Re (a)> 0 \ wedge \ Re (s)> 1 \ wedge z = 1.} Una representación integral de contorno está dada por
Φ ( z , s , a ) = - Γ ( 1 - s ) 2 π I ∫ 0 ( + ∞ ) ( - t ) s - 1 mi - a t 1 - z mi - t D t {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = - {\ frac {\ Gamma (1-s)} {2 \ pi i}} \ int _ {0} ^ {(+ \ infty)} {\ frac {(-t) ^ {s-1} e ^ {- at}} {1-ze ^ {- t}}} \, dt} por
ℜ ( a ) > 0 ∧ ℜ ( s ) < 0 ∧ z < 1 {\ Displaystyle \ Re (a)> 0 \ wedge \ Re (s) <0 \ wedge z <1} donde el contorno no debe encerrar ninguno de los puntos t = Iniciar sesión ( z ) + 2 k π I , k ∈ Z . {\ Displaystyle t = \ log (z) + 2k \ pi i, k \ in Z.}
Una representación integral similar a la de Hermite está dada por
Φ ( z , s , a ) = 1 2 a s + ∫ 0 ∞ z t ( a + t ) s D t + 2 a s - 1 ∫ 0 ∞ pecado ( s arctan ( t ) - t a Iniciar sesión ( z ) ) ( 1 + t 2 ) s / 2 ( mi 2 π a t - 1 ) D t {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = {\ frac {1} {2a ^ {s}}} + \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {t}} { (a + t) ^ {s}}} \, dt + {\ frac {2} {a ^ {s-1}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (s \ arctan (t) -ta \ log (z))} {(1 + t ^ {2}) ^ {s / 2} (e ^ {2 \ pi en} -1)}} \, dt} por
ℜ ( a ) > 0 ∧ | z | < 1 {\ Displaystyle \ Re (a)> 0 \ wedge | z | <1} y
Φ ( z , s , a ) = 1 2 a s + Iniciar sesión s - 1 ( 1 / z ) z a Γ ( 1 - s , a Iniciar sesión ( 1 / z ) ) + 2 a s - 1 ∫ 0 ∞ pecado ( s arctan ( t ) - t a Iniciar sesión ( z ) ) ( 1 + t 2 ) s / 2 ( mi 2 π a t - 1 ) D t {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = {\ frac {1} {2a ^ {s}}} + {\ frac {\ log ^ {s-1} (1 / z)} {z ^ { a}}} \ Gamma (1-s, a \ log (1 / z)) + {\ frac {2} {a ^ {s-1}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (s \ arctan (t) -ta \ log (z))} {(1 + t ^ {2}) ^ {s / 2} (e ^ {2 \ pi en} -1)}} \, dt} por
ℜ ( a ) > 0. {\ Displaystyle \ Re (a)> 0.} Representaciones similares incluyen
Φ ( z , s , a ) = 1 2 a s + ∫ 0 ∞ porque ( t Iniciar sesión z ) pecado ( s arctan t a ) - pecado ( t Iniciar sesión z ) porque ( s arctan t a ) ( a 2 + t 2 ) s 2 tanh π t D t , {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = {\ frac {1} {2a ^ {s}}} + \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos (t \ log z ) \ sin {\ Big (} s \ arctan {\ tfrac {t} {a}} {\ Big)} - \ sin (t \ log z) \ cos {\ Big (} s \ arctan {\ tfrac {t } {a}} {\ Big)}} {{\ big (} a ^ {2} + t ^ {2} {\ big)} ^ {\ frac {s} {2}} \ tanh \ pi t} } \, dt,} y
Φ ( - z , s , a ) = 1 2 a s + ∫ 0 ∞ porque ( t Iniciar sesión z ) pecado ( s arctan t a ) - pecado ( t Iniciar sesión z ) porque ( s arctan t a ) ( a 2 + t 2 ) s 2 pecado π t D t , {\ Displaystyle \ Phi (-z, s, a) = {\ frac {1} {2a ^ {s}}} + \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos (t \ log z) \ sin {\ Big (} s \ arctan {\ tfrac {t} {a}} {\ Big)} - \ sin (t \ log z) \ cos {\ Big (} s \ arctan {\ tfrac { t} {a}} {\ Big)}} {{\ big (} a ^ {2} + t ^ {2} {\ big)} ^ {\ frac {s} {2}} \ sinh \ pi t }} \, dt,} manteniendo para z positivo (y más generalmente donde las integrales convergen). Además,
Φ ( mi I φ , s , a ) = L ( φ 2 π , a , s ) = 1 a s + 1 2 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s - 1 mi - a t ( mi I φ - mi - t ) aporrear t - porque φ D t , {\ Displaystyle \ Phi (e ^ {i \ varphi}, s, a) = L {\ big (} {\ tfrac {\ varphi} {2 \ pi}}, a, s {\ big)} = {\ frac {1} {a ^ {s}}} + {\ frac {1} {2 \ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {s-1} e ^ {- at} {\ big (} e ^ {i \ varphi} -e ^ {- t} {\ big)}} {\ cosh {t} - \ cos {\ varphi}}} \, dt, } La última fórmula también se conoce como fórmula de Lipschitz .
Casos especiales La función zeta de Hurwitz es un caso especial, dado por
ζ ( s , α ) = L ( 0 , α , s ) = Φ ( 1 , s , α ) . {\ Displaystyle \, \ zeta (s, \ alpha) = L (0, \ alpha, s) = \ Phi (1, s, \ alpha).} La función Polygamma está dada por
ψ ( norte ) ( α ) = ( - 1 ) norte + 1 norte ! Φ ( 1 , norte + 1 , α ) . {\ Displaystyle \, \ psi ^ {(n)} (\ alpha) = (- 1) ^ {n + 1} n! \ Phi (1, n + 1, \ alpha).} El polilogaritmo es un caso especial del Lerch Zeta, dado por
Li s ( z ) = z Φ ( z , s , 1 ) . {\ Displaystyle \, {\ textrm {Li}} _ {s} (z) = z \ Phi (z, s, 1).} La función chi de Legendre es un caso especial, dado por
χ norte ( z ) = 2 - norte z Φ ( z 2 , norte , 1 / 2 ) . {\ Displaystyle \, \ chi _ {n} (z) = 2 ^ {- n} z \ Phi (z ^ {2}, n, 1/2).} La función zeta de Riemann está dada por
ζ ( s ) = Φ ( 1 , s , 1 ) . {\ Displaystyle \, \ zeta (s) = \ Phi (1, s, 1).} La función eta de Dirichlet está dada por
η ( s ) = Φ ( - 1 , s , 1 ) . {\ Displaystyle \, \ eta (s) = \ Phi (-1, s, 1).}
Identidades Para λ racional, el sumando es una raíz de unidad , y por lo tanto L ( λ , α , s ) {\ Displaystyle L (\ lambda, \ alpha, s)} puede expresarse como una suma finita sobre la función zeta de Hurwitz. Suponer λ = pag q {\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {p} {q}}} con pag , q ∈ Z {\ Displaystyle p, q \ in \ mathbb {Z}} y q > 0 {\ Displaystyle q> 0} . Luego z = ω = mi 2 π I pag q {\ Displaystyle z = \ omega = e ^ {2 \ pi i {\ frac {p} {q}}}} y ω q = 1 {\ Displaystyle \ omega ^ {q} = 1} .
Φ ( ω , s , α ) = ∑ norte = 0 ∞ ω norte ( norte + α ) s = ∑ metro = 0 q - 1 ∑ norte = 0 ∞ ω q norte + metro ( q norte + metro + α ) s = ∑ metro = 0 q - 1 ω metro q - s ζ ( s , metro + α q ) {\ Displaystyle \ Phi (\ omega, s, \ alpha) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ omega ^ {n}} {(n + \ alpha) ^ {s}} } = \ sum _ {m = 0} ^ {q-1} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ omega ^ {qn + m}} {(qn + m + \ alpha) ^ {s}}} = \ sum _ {m = 0} ^ {q-1} \ omega ^ {m} q ^ {- s} \ zeta (s, {\ frac {m + \ alpha} {q}} )} Varias identidades incluyen:
Φ ( z , s , a ) = z norte Φ ( z , s , a + norte ) + ∑ k = 0 norte - 1 z k ( k + a ) s {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = z ^ {n} \ Phi (z, s, a + n) + \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {z ^ {k}} {(k + a) ^ {s}}}} y
Φ ( z , s - 1 , a ) = ( a + z ∂ ∂ z ) Φ ( z , s , a ) {\ Displaystyle \ Phi (z, s-1, a) = \ left (a + z {\ frac {\ Partical} {\ Partical z}} \ right) \ Phi (z, s, a)} y
Φ ( z , s + 1 , a ) = - 1 s ∂ ∂ a Φ ( z , s , a ) . {\ estilo de visualización \ Phi (z, s + 1, a) = - \, {\ frac {1} {s}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial a}} \ Phi (z, s, a) .}
Representaciones de series Una representación en serie del trascendente Lerch está dada por
Φ ( z , s , q ) = 1 1 - z ∑ norte = 0 ∞ ( - z 1 - z ) norte ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( norte k ) ( q + k ) - s . {\ Displaystyle \ Phi (z, s, q) = {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {-z} {1 -z}} \ derecha) ^ {n} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} (q + k) ^ {- s }.} (Tenga en cuenta que ( norte k ) {\ Displaystyle {\ tbinom {n} {k}}} es un coeficiente binomial .)
La serie es válida para todos los sy para el complejo z con Re ( z ) <1/2. Nótese un parecido general con una representación en serie similar para la función zeta de Hurwitz. [1]
Erdélyi dio una serie de Taylor en el primer parámetro . Puede escribirse como la siguiente serie, que es válida para
| Iniciar sesión ( z ) | < 2 π ; s ≠ 1 , 2 , 3 , ... ; a ≠ 0 , - 1 , - 2 , ... {\ Displaystyle | \ log (z) | <2 \ pi; s \ neq 1,2,3, \ dots; a \ neq 0, -1, -2, \ dots} Φ ( z , s , a ) = z - a [ Γ ( 1 - s ) ( - Iniciar sesión ( z ) ) s - 1 + ∑ k = 0 ∞ ζ ( s - k , a ) Iniciar sesión k ( z ) k ! ] {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = z ^ {- a} \ left [\ Gamma (1-s) \ left (- \ log (z) \ right) ^ {s-1} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ zeta (sk, a) {\ frac {\ log ^ {k} (z)} {k!}} \ right]} BR Johnson (1974). "Función zeta de Lerch generalizada" . Pacific J. Math . 53 (1): 189-193. doi : 10.2140 / pjm.1974.53.189 .
Si n es un número entero positivo, entonces
Φ ( z , norte , a ) = z - a { ∑ k = 0 k ≠ norte - 1 ∞ ζ ( norte - k , a ) Iniciar sesión k ( z ) k ! + [ ψ ( norte ) - ψ ( a ) - Iniciar sesión ( - Iniciar sesión ( z ) ) ] Iniciar sesión norte - 1 ( z ) ( norte - 1 ) ! } , {\ Displaystyle \ Phi (z, n, a) = z ^ {- a} \ left \ {\ sum _ {{k = 0} \ encima de k \ neq n-1} ^ {\ infty} \ zeta (nk , a) {\ frac {\ log ^ {k} (z)} {k!}} + \ left [\ psi (n) - \ psi (a) - \ log (- \ log (z)) \ right ] {\ frac {\ log ^ {n-1} (z)} {(n-1)!}} \ right \},} dónde ψ ( norte ) {\ Displaystyle \ psi (n)} es la función digamma .
Una serie de Taylor en la tercera variable viene dada por
Φ ( z , s , a + X ) = ∑ k = 0 ∞ Φ ( z , s + k , a ) ( s ) k ( - X ) k k ! ; | X | < ℜ ( a ) , {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a + x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ Phi (z, s + k, a) (s) _ {k} {\ frac { (-x) ^ {k}} {k!}}; | x | <\ Re (a),} dónde ( s ) k {\ Displaystyle (s) _ {k}} es el símbolo de Pochhammer .
La serie en a = - n está dada por
Φ ( z , s , a ) = ∑ k = 0 norte z k ( a + k ) s + z norte ∑ metro = 0 ∞ ( 1 - metro - s ) metro Li s + metro ( z ) ( a + norte ) metro metro ! ; a → - norte {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {z ^ {k}} {(a + k) ^ {s}}} + z ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} (1-ms) _ {m} \ operatorname {Li} _ {s + m} (z) {\ frac {(a + n) ^ { m}} {m!}}; \ a \ flecha derecha -n} Un caso especial para n = 0 tiene la siguiente serie
Φ ( z , s , a ) = 1 a s + ∑ metro = 0 ∞ ( 1 - metro - s ) metro Li s + metro ( z ) a metro metro ! ; | a | < 1 , {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = {\ frac {1} {a ^ {s}}} + \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} (1-ms) _ {m} \ operatorname {Li} _ {s + m} (z) {\ frac {a ^ {m}} {m!}}; | a | <1,} dónde Li s ( z ) {\ Displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z)} es el polilogaritmo .
Una serie asintótica para s → - ∞ {\ displaystyle s \ rightarrow - \ infty}
Φ ( z , s , a ) = z - a Γ ( 1 - s ) ∑ k = - ∞ ∞ [ 2 k π I - Iniciar sesión ( z ) ] s - 1 mi 2 k π a I {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = z ^ {- a} \ Gamma (1-s) \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [2k \ pi i- \ log ( z)] ^ {s-1} e ^ {2k \ pi ai}} por | a | < 1 ; ℜ ( s ) < 0 ; z ∉ ( - ∞ , 0 ) {\ Displaystyle | a | <1; \ Re (s) <0; z \ notin (- \ infty, 0)} y
Φ ( - z , s , a ) = z - a Γ ( 1 - s ) ∑ k = - ∞ ∞ [ ( 2 k + 1 ) π I - Iniciar sesión ( z ) ] s - 1 mi ( 2 k + 1 ) π a I {\ Displaystyle \ Phi (-z, s, a) = z ^ {- a} \ Gamma (1-s) \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [(2k + 1) \ pi i- \ log (z)] ^ {s-1} e ^ {(2k + 1) \ pi ai}} por | a | < 1 ; ℜ ( s ) < 0 ; z ∉ ( 0 , ∞ ) . {\ Displaystyle | a | <1; \ Re (s) <0; z \ notin (0, \ infty).}
Una serie asintótica en la función gamma incompleta
Φ ( z , s , a ) = 1 2 a s + 1 z a ∑ k = 1 ∞ mi - 2 π I ( k - 1 ) a Γ ( 1 - s , a ( - 2 π I ( k - 1 ) - Iniciar sesión ( z ) ) ) ( - 2 π I ( k - 1 ) - Iniciar sesión ( z ) ) 1 - s + mi 2 π I k a Γ ( 1 - s , a ( 2 π I k - Iniciar sesión ( z ) ) ) ( 2 π I k - Iniciar sesión ( z ) ) 1 - s {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = {\ frac {1} {2a ^ {s}}} + {\ frac {1} {z ^ {a}}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- 2 \ pi i (k-1) a} \ Gamma (1-s, a (-2 \ pi i (k-1) - \ log (z)) )} {(- 2 \ pi i (k-1) - \ log (z)) ^ {1-s}}} + {\ frac {e ^ {2 \ pi ika} \ Gamma (1-s, a (2 \ pi ik- \ log (z)))} {(2 \ pi ik- \ log (z)) ^ {1-s}}}} por | a | < 1 ; ℜ ( s ) < 0. {\ Displaystyle | a | <1; \ Re (s) <0.}
Expansión asintótica La función polilogaritmo L I norte ( z ) {\ Displaystyle \ mathrm {Li} _ {n} (z)} Se define como
L I 0 ( z ) = z 1 - z , L I - norte ( z ) = z D D z L I 1 - norte ( z ) . {\ Displaystyle \ mathrm {Li} _ {0} (z) = {\ frac {z} {1-z}}, \ qquad \ mathrm {Li} _ {- n} (z) = z {\ frac { d} {dz}} \ mathrm {Li} _ {1-n} (z).} Dejar
Ω a ≡ { C ∖ [ 1 , ∞ ) Si ℜ a > 0 , z ∈ C , | z | < 1 Si ℜ a ≤ 0. {\ Displaystyle \ Omega _ {a} \ equiv {\ begin {cases} \ mathbb {C} \ setminus [1, \ infty) & {\ text {if}} \ Re a> 0, \\ {z \ in \ mathbb {C}, | z | <1} & {\ text {if}} \ Re a \ leq 0. \ end {cases}}} Para | A r gramo ( a ) | < π , s ∈ C {\ Displaystyle | \ mathrm {Arg} (a) | <\ pi, s \ in \ mathbb {C}} y z ∈ Ω a {\ Displaystyle z \ in \ Omega _ {a}} , una expansión asintótica de Φ ( z , s , a ) {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a)} para grande a {\ Displaystyle a} y fijo s {\ Displaystyle s} y z {\ Displaystyle z} es dado por
Φ ( z , s , a ) = 1 1 - z 1 a s + ∑ norte = 1 norte - 1 ( - 1 ) norte L I - norte ( z ) norte ! ( s ) norte a norte + s + O ( a - norte - s ) {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) = {\ frac {1} {1-z}} {\ frac {1} {a ^ {s}}} + \ sum _ {n = 1} ^ { N-1} {\ frac {(-1) ^ {n} \ mathrm {Li} _ {- n} (z)} {n!}} {\ Frac {(s) _ {n}} {a ^ {n + s}}} + O (a ^ {- Ns})} por norte ∈ norte {\ Displaystyle N \ in \ mathbb {N}} , dónde ( s ) norte = s ( s + 1 ) ⋯ ( s + norte - 1 ) {\ Displaystyle (s) _ {n} = s (s + 1) \ cdots (s + n-1)} es el símbolo de Pochhammer . [2]
Dejar
F ( z , X , a ) ≡ 1 - ( z mi - X ) 1 - a 1 - z mi - X . {\ Displaystyle f (z, x, a) \ equiv {\ frac {1- (ze ^ {- x}) ^ {1-a}} {1-ze ^ {- x}}}.} Dejar C norte ( z , a ) {\ Displaystyle C_ {n} (z, a)} ser sus coeficientes de Taylor en X = 0 {\ Displaystyle x = 0} . Entonces por fijo norte ∈ norte , ℜ a > 1 {\ Displaystyle N \ in \ mathbb {N}, \ Re a> 1} y ℜ s > 0 {\ Displaystyle \ Re s> 0} ,
Φ ( z , s , a ) - L I s ( z ) z a = ∑ norte = 0 norte - 1 C norte ( z , a ) ( s ) norte a norte + s + O ( ( ℜ a ) 1 - norte - s + a z - ℜ a ) , {\ Displaystyle \ Phi (z, s, a) - {\ frac {\ mathrm {Li} _ {s} (z)} {z ^ {a}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {N -1} C_ {n} (z, a) {\ frac {(s) _ {n}} {a ^ {n + s}}} + O \ left ((\ Re a) ^ {1-Ns} + az ^ {- \ Re a} \ right),} como ℜ a → ∞ {\ Displaystyle \ Re a \ to \ infty} . [3]
Software El trascendente Lerch se implementa como LerchPhi en Maple y Mathematica , y como lerchphi en mpmath y SymPy .
Referencias Apostol, TM (2010), "Lerch's Transcendent" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248 .Bateman, H .; Erdélyi, A. (1953), Funciones trascendentales superiores, vol. I (PDF) , Nueva York: McGraw-Hill . (Ver § 1.11, "La función Ψ ( z , s , v )", p. 27)Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [Octubre de 2014]. "9.55". En Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 . Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan (2008), "Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas a través de continuaciones analíticas del trascendente de Lerch", The Ramanujan Journal , 16 (3): 247-270, arXiv : math.NT / 0506319 , doi : 10.1007 / s11139-007-9102-0 , MR 2.429.900 , S2CID 119131640 . (Incluye varias identidades básicas en la introducción).Jackson, M. (1950), "Sobre la serie hipergeométrica bilateral básica y trascendente de Lerch 2 ψ 2 ", J. London Math. Soc. , 25 (3): 189-196, doi : 10.1112 / jlms / s1-25.3.189 , MR 0036882 .Johansson, F .; Blagouchine, Ia. (2019), "Cálculo de constantes de Stieltjes mediante integración compleja", Matemáticas de la computación , 88 (318): 1829–1850, arXiv : 1804.01679 , doi : 10.1090 / mcom / 3401 , MR 3925487 , S2CID 4619883 .Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas (2002), La función zeta de Lerch , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1014-9 , MR 1979048 .Lerch, Mathias (1887), "Note sur la fonction K ( w , X , s ) = ∑ k = 0 ∞ mi 2 k π I X ( w + k ) s {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathfrak {K}} (w, x, s) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {e ^ {2k \ pi ix} \ over (w + k) ^ {s}}}
" , Acta Mathematica (en francés), 11 (1–4): 19–24, doi : 10.1007 / BF02612318 , JFM 19.0438.01 , MR 1554747 , S2CID 121885446 .
enlaces externos Aksenov, Sergej V .; Jentschura, Ulrich D. (2002), C y Mathematica Programas para el cálculo de la trascendencia de Lerch .Ramunas Garunkstis, Home Page (2005) (Proporciona numerosas referencias y preimpresiones). Ramunas Garunkstis, Aproximación de la función Lerch Zeta (PDF) S. Kanemitsu, Y. Tanigawa y H. Tsukada, A generalization of Bochner's formula [ enlace muerto permanente ] , (sin fecha, 2005 o antes) Weisstein, Eric W. "Lerch trascendente" . MathWorld . "§25.14, trascendente de Lerch" . Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología. 2010 . Consultado el 28 de enero de 2012 .