Límite (matemáticas)
En matemáticas , un límite es el valor al que se acerca una función (o secuencia ) cuando la entrada (o índice) se acerca a algún valor . [1] Los límites son esenciales para el cálculo y el análisis matemático , y se utilizan para definir continuidad , derivadas e integrales .
El concepto de límite de una secuencia se generaliza aún más al concepto de límite de una red topológica , y está estrechamente relacionado con el límite y el límite directo en la teoría de categorías .
y se lee como "el límite de f de x cuando x tiende a c es igual a L ". El hecho de que una función f se acerque al límite L cuando x se acerque a c a veces se denota con una flecha hacia la derecha (→ o ), como en
que dice " de tiende a como tiende a ".
significa que se puede hacer que f ( x ) esté tan cerca de L como se desee, haciendo que x esté lo suficientemente cerca de c . [3] En ese caso, la ecuación anterior se puede leer como "el límite de f de x , cuando x tiende a c , es L ".
Augustin-Louis Cauchy en 1821, [4] seguido por Karl Weierstrass , formalizaron la definición del límite de una función que se conoció como la (ε, δ)-definición de límite . La definición usa ε (la letra griega minúscula épsilon ) para representar cualquier número positivo pequeño, de modo que " f ( x ) se vuelve arbitrariamente cerca de L " significa que f ( x ) finalmente se encuentra en el intervalo ( L − ε , L + ε ), que también se puede escribir usando el valor absoluto como | F ( X ) - L | < ε . [4] La frase "cuando x se aproxima a c " indica que nos referimos a valores de x , cuya distancia desde c es menor que algún número positivo δ (la letra griega minúscula delta ), es decir, valores de x dentro de ( c − δ , c ) o ( c , c + δ) , que se puede expresar con 0 < | x - c | < δ . La primera desigualdad significa que x ≠ c , mientras que la segunda indica que x está a una distancia δ de c . [4]
