En el área matemática de la teoría del orden , a menudo se habla de funciones que conservan ciertos límites, es decir, ciertos supremos o infima . En términos generales, estas funciones mapean el supremum / infimum de un conjunto con el supremum / infimum de la imagen del conjunto. Dependiendo del tipo de conjuntos para los que una función satisface esta propiedad, puede preservar suprema o infima finitos, dirigidos, no vacíos o simplemente arbitrarios. Cada uno de estos requisitos aparece de forma natural y frecuente en muchas áreas de la teoría del orden y existen varias relaciones importantes entre estos conceptos y otras nociones como la monotonicidad.. Si se invierte la implicación de la preservación del límite, de modo que la existencia de límites en el rango de una función implica la existencia de límites en el dominio, entonces se obtienen funciones que reflejan el límite .
El propósito de este artículo es aclarar la definición de estos conceptos básicos, lo cual es necesario ya que la literatura no siempre es consistente en este punto, y dar resultados generales y explicaciones sobre estos temas.
Antecedentes y motivación
En muchas áreas especializadas de la teoría del orden, uno se restringe a clases de conjuntos parcialmente ordenados que están completos con respecto a ciertas construcciones de límites. Por ejemplo, en la teoría de la celosía , uno está interesado en órdenes donde todos los conjuntos finitos no vacíos tienen tanto un límite superior mínimo como un límite inferior máximo. En la teoría de dominios , por otro lado, uno se centra en conjuntos parcialmente ordenados en los que cada subconjunto dirigido tiene un supremo. Las celosías completas y los pedidos con un elemento mínimo (el "supremo vacío") proporcionan más ejemplos.
En todos estos casos, los límites juegan un papel central para las teorías, apoyados en sus interpretaciones en aplicaciones prácticas de cada disciplina. Uno también está interesado en especificar asignaciones apropiadas entre dichos órdenes. Desde un punto de vista algebraico , esto significa que uno quiere encontrar nociones adecuadas de homomorfismos para las estructuras consideradas. Esto se logra considerando aquellas funciones que son compatibles con las construcciones que son características de los respectivos pedidos. Por ejemplo, los homomorfismos de celosía son aquellas funciones que preservan suprema e infima finitos no vacíos, es decir, la imagen de un supremum / infimum de dos elementos es solo el supremum / infimum de sus imágenes. En la teoría de dominios, a menudo se tratan las llamadas funciones continuas de Scott que preservan todo suprema dirigido.
Los antecedentes de las definiciones y la terminología que se dan a continuación se encuentran en la teoría de categorías , donde se consideran los límites (y co-límites ) en un sentido más general. El concepto categórico de los functores que conservan y reflejan los límites está en completa armonía con la teoría del orden, ya que los órdenes pueden considerarse como categorías pequeñas definidas como categorías posestablecidas con una estructura adicional definida.
Definicion formal
Considere dos conjuntos parcialmente ordenados P y Q , y una función f de P a Q . Además, sea S un subconjunto de P que tiene un límite superior mínimo s . Entonces f conserva el supremo de S si el conjunto f ( S ) = { f ( x ) | x en S } tiene un límite superior mínimo en Q que es igual af ( s ), es decir
- f (sup S ) = sup f ( S )
Tenga en cuenta que esta definición consta de dos requisitos: el superior del conjunto f ( S ) existe y es igual af ( s ). Esto corresponde al paralelo mencionado anteriormente de la teoría de categorías, pero no siempre se requiere en la literatura. De hecho, en algunos casos uno debilita la definición para requerir que solo el suprema existente sea igual af ( s ). Sin embargo, Wikipedia trabaja con la noción común dada anteriormente y establece la otra condición explícitamente si es necesario.
De la definición fundamental dada anteriormente, se puede derivar una amplia gama de propiedades útiles. Se dice que una función f entre conjuntos P y Q preserva el suprema finito, no vacío, dirigido o arbitrario si conserva el suprema de todos los conjuntos finitos, no vacíos, dirigidos o arbitrarios, respectivamente. La preservación de suprema finito no vacío también puede ser definido por la identidad f ( x v y ) = f ( x ) v f ( y ), que sostiene para todos los elementos x y y , donde suponemos v a una función total de la ambos órdenes.
De forma dual , se definen propiedades para la conservación de los infima.
La condición "opuesta" a la preservación de los límites se llama reflexión. Considere una función f como anteriormente y un subconjunto S de P , de manera que sup f ( S existe) en Q y es igual a f ( s ) para un cierto elemento s de P . Entonces f refleja el supremo de S si sup S existe y es igual a s . Como ya se demostró para la preservación, se obtienen muchas propiedades adicionales al considerar ciertas clases de conjuntos S y al dualizar la definición a infima.
Casos especiales
Algunos casos especiales o propiedades derivadas del esquema anterior se conocen con otros nombres o son de particular importancia para algunas áreas de la teoría del orden. Por ejemplo, las funciones que conservan el supremo vacío son aquellas que conservan el elemento mínimo. Además, debido a la motivación explicada anteriormente, muchas funciones de conservación de límites aparecen como homomorfismos especiales para ciertas estructuras de orden. Algunos otros casos destacados se dan a continuación.
Preservación de todos los límites
Se produce una situación interesante si una función conserva todo suprema (o infima). Más exactamente, esto se expresa diciendo que una función preserva todos los supremos (o infima) existentes, y bien puede ser que los posets en consideración no sean retículas completas. Por ejemplo, las conexiones de Galois (monótonas) tienen esta propiedad. A la inversa, por el orden teórico del Teorema del Functor Adjunto , se puede garantizar que las asignaciones que preservan todos los supremos / infima sean parte de una conexión de Galois única siempre que se cumplan algunos requisitos adicionales.
Distributividad
Un retículo L es distributivo si, para todo x , y , z en L , encontramos
Pero esto solo dice que la función de encuentro ^: L -> L conserva el suprema binario . Se sabe en la teoría de celosía, que esta condición es equivalente a su dual, es decir, la función v: L -> L preservando los mínimos binarios. De manera similar, se ve que la ley de distributividad infinita
de álgebras de Heyting completas (ver también topología sin sentido ) es equivalente a la función de encuentro ^ preservando suprema arbitrario. Esta condición, sin embargo, no implica su dualidad.
Scott-continuidad
Las funciones que conservan el suprema dirigido se denominan continuas de Scott o, a veces, simplemente continuas , si esto no causa confusiones con el concepto correspondiente de análisis y topología . Un uso similar del término continuo para la preservación de límites también se puede encontrar en la teoría de categorías.
Propiedades y resultados importantes
La definición anterior de conservación de límites es bastante fuerte. De hecho, toda función que conserva al menos el suprema o infima de las cadenas de dos elementos, es decir, de conjuntos de dos elementos comparables, es necesariamente monótona. Por tanto, todas las propiedades especiales de conservación mencionadas anteriormente inducen a la monotonicidad.
Partiendo del hecho de que algunos límites pueden expresarse en términos de otros, se pueden derivar conexiones entre las propiedades de conservación. Por ejemplo, una función f conserva el suprema dirigido si y sólo si conserva el suprema de todos los ideales. Además, un mapeo f de un poset en el que existe todo supremum finito no vacío (un supuesto sup-semirretículo) conserva el suprema arbitrario si y solo si conserva tanto el supremo dirigido como el finito (posiblemente vacío).
Sin embargo, no es cierto que una función que preserva todo suprema también preservaría todo infima o viceversa.