En matemáticas , una transformación fraccionaria lineal es, en términos generales, una transformación de la forma
que tiene una inversa . La definición precisa depende de la naturaleza de a , b , c , d y z . En otras palabras, una transformación fraccionaria lineal es una transformación que está representada por una fracción cuyo numerador y denominador son lineales .
En la configuración más básica, a , b , c , d y z son números complejos (en cuyo caso la transformación también se llama transformación de Möbius ), o más generalmente elementos de un campo . La condición de invertibilidad es entonces ad - bc ≠ 0 . Sobre un campo, una transformación fraccionaria lineal es la restricción al campo de una transformación proyectiva u homografía de la línea proyectiva .
Cuando a , b , c , d son números enteros (o, más generalmente, pertenecen a un dominio integral ), se supone que z es un número racional (o pertenece al campo de fracciones del dominio integral. En este caso, el La condición de invertibilidad es que ad - bc debe ser una unidad del dominio (es decir1 o−1 en el caso de números enteros). [1]
En la configuración más general, a , b , c , d y z son matrices cuadradas o, más generalmente, elementos de un anillo . Un ejemplo de tal transformación fraccional lineal es la transformada de Cayley , que se definió originalmente en el anillo de la matriz real de 3 x 3 .
Las transformaciones lineales fraccionarias se usan ampliamente en diversas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones a la ingeniería, como la geometría clásica , la teoría de números (se usan, por ejemplo, en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat ), la teoría de grupos , la teoría de control .