En matemáticas , las funciones de Liouvillian comprenden un conjunto de funciones que incluyen las funciones elementales y sus integrales repetidas . Las funciones de Liouvillian se pueden definir de forma recursiva como integrales de otras funciones de Liouvillian.
Más explícitamente, es una función de una variable que es la composición de un número finito de operaciones aritméticas (+, -, ×, ÷) , exponenciales , constantes , soluciones de ecuaciones algebraicas (una generalización de n- ésimas raíces ) y antiderivadas. . La función logaritmo no necesita incluirse explícitamente ya que es la integral de.
Se deduce directamente de la definición que el conjunto de funciones de Liouvillian está cerrado bajo operaciones aritméticas, composición e integración. También está cerrado bajo diferenciación . No se cierra bajo límites y sumas infinitas . [ ejemplo necesario ]
Las funciones de Liouvillian fueron introducidas por Joseph Liouville en una serie de artículos de 1833 a 1841.
Ejemplos de
Todas las funciones elementales son Liouvillian.
Ejemplos de funciones bien conocidas que son de Liouvillian pero no elementales son las integrales no elementales , por ejemplo:
- La función de error ,
- Las integrales exponencial ( Ei ), logarítmica ( Li o li ) y Fresnel ( S y C ).
Todas las funciones de Liouvillian son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas , pero no a la inversa. Ejemplos de funciones que son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas pero no de Liouvillian incluyen: [1]
- las funciones de Bessel (salvo casos especiales);
- las funciones hipergeométrica (excepto en casos especiales).
Ejemplos de funciones que no son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas y, por lo tanto, no son de Liouvillian incluyen todas las funciones trascendentalmente trascendentales , tales como:
- la función gamma ;
- la función zeta .
Ver también
Referencias
- ^ L. Chan, ES Cheb-Terrab, "Soluciones no liouvillianas para EDO lineales de segundo orden", Actas del simposio internacional de 2004 sobre cálculo simbólico y algebraico (ISSAC '04) , 2004, págs. 80-86 doi : 10.1145 / 1005285.1005299
Otras lecturas
- Davenport, JH (2007). "Lo que podría significar 'entender una función'". En Kauers, M .; Kerber, M .; Miner, R .; Windsteiger, W. (eds.). Hacia Asistentes Matemáticos Mecanizados . Berlín / Heidelberg: Springer. págs. 55 –65. ISBN 3-540-73083-4.