En matemáticas , una ecuación diferencial algebraica es una ecuación diferencial que se puede expresar mediante álgebra diferencial . Existen varias nociones de este tipo, de acuerdo con el concepto de álgebra diferencial utilizado.
La intención es incluir ecuaciones formadas mediante operadores diferenciales , en los que los coeficientes son funciones racionales de las variables (por ejemplo, la ecuación hipergeométrica ). Las ecuaciones diferenciales algebraicas se usan ampliamente en álgebra computacional y teoría de números .
Un concepto simple es el de un campo vectorial polinomial , en otras palabras, un campo vectorial expresado con respecto a una base de coordenadas estándar como las primeras derivadas parciales con coeficientes polinomiales. Este es un tipo de operador diferencial algebraico de primer orden.
Formulaciones
- Las derivaciones D se pueden usar como análogos algebraicos de la parte formal del cálculo diferencial , de modo que las ecuaciones diferenciales algebraicas tengan sentido en anillos conmutativos .
- La teoría de campos diferenciales se estableció para expresar la teoría diferencial de Galois en términos algebraicos.
- Se puede considerar el álgebra de Weyl W de operadores diferenciales con coeficientes polinomiales; ciertos módulos M se pueden utilizar para expresar las ecuaciones diferenciales, de acuerdo con la presentación de M .
- El concepto de conexión de Koszul es algo que se transcribe fácilmente a la geometría algebraica , dando un análogo algebraico de la forma en que los sistemas de ecuaciones diferenciales se representan geométricamente por paquetes de vectores con conexiones.
- El concepto de chorro puede ser descrito en términos puramente algebraicas, como se hizo en parte de Grothendieck 's EGA proyecto.
- La teoría de módulos D es una teoría global de ecuaciones diferenciales lineales y se ha desarrollado para incluir resultados sustantivos en la teoría algebraica (incluida una correspondencia de Riemann-Hilbert para dimensiones superiores).
Soluciones algebraicas
Por lo general, no es el caso de que la solución general de una ecuación diferencial algebraica sea una función algebraica : resolver ecuaciones típicamente produce funciones trascendentales novedosas . Sin embargo, el caso de las soluciones algebraicas es de considerable interés; la lista clásica de Schwarz trata del caso de la ecuación hipergeométrica. En la teoría diferencial de Galois, el caso de las soluciones algebraicas es aquel en el que el grupo diferencial de Galois G es finito (de forma equivalente, de dimensión 0, o de un grupo de monodromía finito para el caso de superficies de Riemann y ecuaciones lineales). Este caso se relaciona con toda la teoría aproximadamente como la teoría invariante con la teoría de la representación de grupos . El grupo G es en general difícil de calcular, la comprensión de soluciones algebraicas es una indicación de los límites superiores para G .
enlaces externos
- Mikhalev, AV; Pankrat'ev, EV (2001) [1994], "Álgebra diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Mikhalev, AV; Pankrat'ev, EV (2001) [1994], "Extensión de un campo diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press