En matemáticas , la conjetura de Littlewood es un problema abierto (en mayo de 2021 [actualizar]) en la aproximación diofántica , propuesta por John Edensor Littlewood alrededor de 1930. Establece que para dos números reales cualesquiera α y β,
dónde es aquí la distancia al entero más cercano.
Formulación y explicación
Esto significa lo siguiente: tome un punto (α, β) en el plano y luego considere la secuencia de puntos
- (2α, 2β), (3α, 3β), ....
Para cada uno de estos, multiplique la distancia a la línea más cercana con la coordenada x entera por la distancia a la línea más cercana con la coordenada y entera. Este producto será sin duda un máximo de 1/4. La conjetura no hace ninguna afirmación sobre si esta secuencia de valores convergerá ; de hecho, normalmente no lo hace. La conjetura establece algo sobre el límite inferior , y dice que hay una subsecuencia para la cual las distancias decaen más rápido que el recíproco, es decir
- o (1 / n )
en la notación de o pequeña .
Conexión con más conjeturas
Se sabe que esto se seguiría de un resultado en la geometría de números , aproximadamente el mínimo en un punto de celosía distinto de cero de un producto de tres formas lineales en tres variables reales: la implicación fue mostrada en 1955 por JWS Cassels y Swinnerton- Dyer . [1] Esto se puede formular de otra manera, en términos de teoría de grupos. Ahora hay otra conjetura, se espera que el asimiento para n ≥ 3: se afirma en términos de G = SL n ( R ), Γ = SL n ( Z ), y el subgrupo D de matrices diagonales en G .
Conjetura : para cualquier g en G / Γ tal que Dg sea relativamente compacto (en G / Γ), entonces Dg es cerrado.
Este, a su vez, es un caso especial de una conjetura general de Margulis sobre los grupos de Lie .
Resultados parciales
Borel demostró en 1909 que el conjunto excepcional de pares reales (α, β) que viola el enunciado de la conjetura es de medida de Lebesgue cero. [2] Manfred Einsiedler , Anatole Katok y Elon Lindenstrauss han demostrado [3] que debe tener una dimensión cero de Hausdorff ; [4] y de hecho es una unión de innumerables conjuntos compactos de dimensión cero de recuento de cajas . El resultado se demostró mediante el uso de un teorema de clasificación de medidas para acciones diagonalizables de grupos de rango superior, y un teorema de aislamiento probado por Lindenstrauss y Barak Weiss.
Estos resultados implican que existen pares no triviales que satisfacen la conjetura: de hecho, dado un número real α tal que , es posible construir un β explícito tal que (α, β) satisfaga la conjetura. [5]
Ver también
Referencias
- ^ JWS Cassels; HPF Swinnerton-Dyer (23 de junio de 1955). "Sobre el producto de tres formas lineales homogéneas y las formas cuadráticas ternarias indefinidas". Philosophical Transactions de la Royal Society A . 248 (940): 73–96. Código Bibliográfico : 1955RSPTA.248 ... 73C . doi : 10.1098 / rsta.1955.0010 . JSTOR 91633 . Señor 0070653 . Zbl 0065.27905 .
- ^ Adamczewski y Bugeaud (2010) p.444
- ^ M. Einsiedler; A. Katok; E. Lindenstrauss (1 de septiembre de 2006). "Medidas invariantes y el conjunto de excepciones a la conjetura de Littlewood". Annals of Mathematics . 164 (2): 513–560. arXiv : matemáticas.DS / 0612721 . doi : 10.4007 / annals.2006.164.513 . Señor 2247967 . Zbl 1109.22004 .
- ^ Adamczewski y Bugeaud (2010) p.445
- ^ Adamczewski y Bugeaud (2010) p.446
- Adamczewski, Boris; Bugeaud, Yann (2010). "8. Trascendencia y aproximación diofántica". En Berthé, Valérie ; Rigo, Michael (eds.). Combinatoria, autómatas y teoría de números . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. 135 . Cambridge: Cambridge University Press . págs. 410–451. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1271.11073 .
Otras lecturas
- Akshay Venkatesh (29 de octubre de 2007). "El trabajo de Einsiedler, Katok y Lindenstrauss en la conjetura de Littlewood" (PDF) . Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) . 45 (1): 117-134. doi : 10.1090 / S0273-0979-07-01194-9 . Señor 2358379 . Zbl 1194.11075 . Archivado desde el original (PDF) el 20 de mayo de 2011 . Consultado el 27 de marzo de 2011 .