En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el sistema de vecindad , sistema completo de vecindad , [1] o filtro de vecindad por un punto es la colección de todos los barrios del punto
Definiciones
Un vecindario abierto de un subconjuntode un espacio topológico es cualquier conjunto abierto tal que A barrio de en es cualquier subconjunto tal que contiene un vecindario abierto de; explícitamente, esto significa que es un barrio de en si y solo si existe algún conjunto abierto tal que [2] [3] El sistema de vecindad para cualquier conjunto no vacíoes un filtro llamado filtro de vecindario para El filtro de vecindad para un punto es el mismo que el filtro de vecindad del conjunto singleton
Es importante destacar que un "vecindario" no tiene por qué ser un conjunto abierto; esos barrios que también son conjuntos abiertos se conocen como "barrios abiertos". Del mismo modo, aquellos barrios que también resultan ser conjuntos cerrados se conocen comobarrios cerrados . Hay muchos otros tipos de vecindarios que se utilizan en Topología y campos relacionados como elanálisis funcional. La familia de todos los vecindarios que tienen cierta propiedad "útil" a menudo forma una base de vecindario, aunque muchas veces, estos vecindarios no son necesariamente abiertos.
Base
A base de vecindario obase local (obase de barrio obase local ) por un puntoes una base de filtro del filtro de vecindad; esto significa que es un subconjunto
Equivalentemente, es una base local en si y solo si el filtro de barrio se puede recuperar de en el sentido de que se cumple la siguiente igualdad: [4]
Subbasis
A subbase de barrio en es una familia de subconjuntos de cada uno de los cuales contiene tal que la colección de todas las posibles intersecciones finitas de elementos de forma una base de vecindario en
Ejemplos de
- En cualquier espacio topológico, el sistema de vecindad para un punto es también una base de vecindad para el punto.
- El conjunto de todos los vecindarios abiertos en un punto forma una base de vecindario en ese punto.
- Dado un espacio con la topología indiscreta el sistema de vecindad para cualquier punto solo contiene todo el espacio,
- En un espacio métrico , para cualquier puntola secuencia de bolas abiertas alrededor con radio formar una base de vecindario contableEsto significa que cada espacio métrico es contable primero .
En la topología débil en el espacio de medidas en un espacio una base de vecindario sobre es dado por
Propiedades
En un espacio seminormado , es decir, un espacio vectorial con la topología inducida por una seminorma , todos los sistemas de vecindad se pueden construir mediante la traducción del sistema de vecindad para el origen,
Esto se debe a que, por supuesto, la suma de vectores es continua por separado en la topología inducida. Por lo tanto, la topología está determinada por su sistema de vecindad en el origen. De manera más general, esto sigue siendo cierto siempre que el espacio sea un grupo topológico o la topología esté definida por una pseudometría .
Ver también
- Base (topología) : colección de conjuntos abiertos que es suficiente para definir una topología
- Filtro (matemáticas) : en matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado
- Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Vecindad (matemáticas) : conjunto abierto en un espacio topológico que contiene un punto o subconjunto determinado
- Subbase : colección de subconjuntos cuyo cierre por intersecciones finitas forman la base de una topología
Referencias
Bibliografía
- Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topología general: Capítulos 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
- Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5–10 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . 4 . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 .
- Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de Licenciatura en Matemáticas. Traducido por Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 .
- Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Dover Books on Mathematics (Primera ed.). Mineola, NY : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .