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El cálculo estocástico es una rama de las matemáticas que opera sobre procesos estocásticos . Permite definir una teoría de integración consistente para integrales de procesos estocásticos con respecto a procesos estocásticos.
El proceso estocástico más conocido al que se aplica el cálculo estocástico es el proceso de Wiener (nombrado en honor a Norbert Wiener ), que se utiliza para modelar el movimiento browniano descrito por Louis Bachelier en 1900 y por Albert Einstein en 1905 y otros procesos de difusión física. en el espacio de partículas sujetas a fuerzas aleatorias. Desde la década de 1970, el proceso de Wiener se ha aplicado ampliamente en matemáticas y economía financieras para modelar la evolución en el tiempo de los precios de las acciones y las tasas de interés de los bonos.
Los principales sabores del cálculo estocástico son el cálculo de Itô y su pariente variacional el cálculo de Malliavin . Por razones técnicas, la integral Itô es la más útil para clases generales de procesos, pero la integral de Stratonovich relacionada es frecuentemente útil en la formulación de problemas (particularmente en disciplinas de ingeniería). La integral de Stratonovich se puede expresar fácilmente en términos de la integral Itô. El principal beneficio de la integral de Stratonovich es que obedece a la regla de la cadena habitual y, por lo tanto, no requiere el lema de Itô . Esto permite que los problemas se expresen en una forma invariante del sistema de coordenadas, lo cual es invaluable al desarrollar cálculo estocástico en variedades distintas de Rn . El teorema de la convergencia dominada no es válido para la integral de Stratonovich; en consecuencia, es muy difícil probar resultados sin volver a expresar las integrales en forma Itô.
La integral Itô es fundamental para el estudio del cálculo estocástico. La integral se define para una semimartingala X y un proceso predecible H delimitado localmente . [ cita requerida ]
La integral de Stratonovich de una semimartingale contra otra semimartingale Y se puede definir en términos de la integral de Itô como
donde [ X , Y ] t c indica la covariación cuadrática de las partes continuas de X y Y . La notación alternativa
también se utiliza para denotar la integral de Stratonovich.
Una aplicación importante del cálculo estocástico se encuentra en las finanzas matemáticas , en las que a menudo se supone que los precios de los activos siguen ecuaciones diferenciales estocásticas . En el modelo de Black-Scholes , se supone que los precios siguen el movimiento browniano geométrico .