Celosía vectorial localmente convexa

En matemáticas, específicamente en la teoría del orden y el análisis funcional , una red vectorial localmente convexa (LCVL) es una red vectorial topológica que también es un espacio localmente convexo . ^{[1] Las} LCVL son importantes en la teoría de las redes de vectores topológicos .

Semi-normas de celosía

La función de Minkowski de un conjunto convexo, absorbente y sólido se denomina semi-norma de celosía . De manera equivalente, es una semi-norma p tal que implica . La topología de una red vectorial localmente convexa es generada por la familia de todas las semi-normas de red continua. ^[1]${\displaystyle \left|y\right|\leq \left|x\right|}$${\displaystyle p(y)\leq p(x)}$

Propiedades

Cada red vectorial localmente convexa posee una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos absorbentes sólidos balanceados convexos . ^[1]

El dual fuerte de un retículo vectorial localmente convexo X es un retículo vectorial localmente convexo completo de orden (bajo su orden canónico) y es un subespacio sólido del orden dual de X ; además, si X es un espacio en barril, entonces el espacio dual continuo de X es una banda en el orden dual de X y el dual fuerte de X es un TVS localmente convexo completo. ^[1]

Si un enrejado vectorial localmente convexo tiene un barril, entonces su fuerte espacio dual está completo (esto no es necesariamente cierto si el espacio es simplemente un espacio en barril localmente convexo pero no un enrejado vectorial localmente convexo). ^[1]

Si una red vectorial X localmente convexa es semi-reflexiva, entonces es un orden completo y (es decir, ) es un TVS completo; además, si además todo funcional lineal positivo en X es continuo, entonces X es de X es de tipo mínimo , la topología de orden en X es igual a la topología de Mackey y es reflexiva . ^[1] Todo retículo vectorial reflexivo localmente convexo tiene un orden completo y un TVS localmente convexo completo cuyo dual fuerte es un cañón${\displaystyle X_{b}}$${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {O} }}$ ${\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right)}$${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {O} }\right)}$TVS reflexivos localmente convexos que pueden identificarse bajo el mapa de evaluación canónico con el bidual fuerte (es decir, el dual fuerte del dual fuerte). ^[1]

Si un retículo vectorial localmente convexo X es un TVS infrabarreled, entonces se puede identificar bajo el mapa de evaluación con un subreticulado vectorial topológico de su bidual fuerte, que es un retículo vectorial localmente convexo completo de orden bajo su orden canónico. ^[1]

Si X es un separable metrizable localmente convexa ordenado espacio vectorial topológico cuya positivo cono C es un subconjunto completo y total de X , entonces el conjunto de puntos cuasi interior de C es denso en C . ^[1]

Teorema ^[1]  -  Suponga que X es una red vectorial localmente convexa completa de orden con topología 𝜏 y dote al bidual de X con su topología natural (es decir, la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de ) y orden canónico (bajo el cual se convierte en un orden completa celosía vectorial localmente convexa). Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

1. El mapa de evaluación induce un isomorfismo de X con una subred completa de orden de${\displaystyle X\to X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$
2. Para cada subconjunto mayorizado y dirigido S de X , el filtro de sección de S converge en ( X , 𝜏) (en cuyo caso necesariamente converge a ).${\displaystyle \sup S}$
3. Todo filtro convergente de orden en X converge en ( X , 𝜏) (en cuyo caso converge necesariamente a su límite de orden).

Corolario ^[1]  -  Sea X un retículo vectorial completo de orden con un orden regular . Los siguientes son equivalentes:

1. X es de tipo mínimo .
2. Para cada subconjunto mayorizado y directo S de X , el filtro de sección de S converge en X cuando X está dotado de la topología de orden .
3. Todo filtro convergente de orden en X converge en X cuando X está dotado de la topología de orden .

Además, si X es de tipo mínimo, entonces la topología de orden en X es la topología localmente convexa más fina en X para la cual converge cada filtro convergente de orden.

Si ( X , 𝜏) es un retículo vectorial localmente convexo que es bornológico y secuencialmente completo , entonces existe una familia de espacios compactos y una familia de incrustaciones de retículo vectorial con índice A tal que 𝜏 es la topología localmente convexa más fina en X, lo que hace que cada continuo. ^[2]${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle f_{\alpha }:C_{\mathbb {R} }\left(K_{\alpha }\right)\to X}$${\displaystyle f_{\alpha }}$

Ejemplos

Cada celosía de Banach , celosía normalizada y celosía de Fréchet es una celosía vectorial localmente convexa.

Ver también

• Celosía Banach
• Celosía Fréchet
• Celosía normada
• Celosía de vector

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999 , págs. 234–242.
2. Schaefer y Wolff 1999 , págs. 242-250.

• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .