En matemáticas, específicamente en análisis funcional y teoría de órdenes , una red de vectores topológicos es un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS)que tiene un orden parcial convirtiéndolo en una red vectorial que posee una base de vecindad en el origen que consta de conjuntos sólidos . [1] Las redes vectoriales ordenadas tienen aplicaciones importantes en la teoría espectral .
Definición
Si es una celosía vectorial, entonces por operaciones de celosía vectorial nos referimos a los siguientes mapas:
- los tres mapas a sí mismo definido por , , , y
- los dos mapas de dentro definido por y.
Si es un TVS sobre los reales y una celosía vectorial, entonces es localmente sólido si y solo si (1) su cono positivo es un cono normal , y (2) las operaciones de la red vectorial son continuas. [1]
Si es una celosía vectorial y un espacio vectorial topológico ordenado que es un espacio de Fréchet en el que el cono positivo es un cono normal , entonces las operaciones de la celosía son continuas. [1]
Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y un espacio vectorial ordenado, entoncesse llama localmente sólido siPosee una base vecinal en el origen que consta de conjuntos sólidos . [1] Una red de vectores topológicos es un TV de Hausdorff.que tiene un orden parcial convirtiéndolo en una red vectorial que es localmente sólida. [1]
Propiedades
Cada red de vectores topológicos tiene un cono positivo cerrado y, por lo tanto, es un espacio vectorial topológico ordenado . [1] Deja denotar el conjunto de todos los subconjuntos acotados de una red de vectores topológicos con cono positivo y para cualquier subconjunto , dejar ser el -casco saturado de. Entonces el cono positivo de la red topológica del vector es un estricto -cone, [1] dondees un estricto-cone significa que es una subfamilia fundamental de es decir, cada está contenido como un subconjunto de algún elemento de ). [2]
Si una celosía de vectores topológicos Si el pedido está completo , todas las bandas se cierran en. [1]
Ejemplos de
Los espacios de Banach () son celosías de Banach bajo sus ordenamientos canónicos. Estos espacios están completos para.
Ver también
- Celosía Banach
- Celosía Fréchet
- Celosía vectorial localmente convexa
- Celosía normada
- Espacio vectorial ordenado
- Espacio de Riesz: espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una celosía
Referencias
Bibliografía
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .