En matemáticas , la positividad estricta es un concepto en la teoría de la medida . Intuitivamente, una medida estrictamente positiva es aquella que es "cero en ninguna parte", o que es cero "solo en puntos".
Definición
Sea ( X , T ) un espacio topológico de Hausdorff y sea Σ un σ-álgebra en X que contiene la topología T (de modo que todo conjunto abierto es un conjunto medible , y Σ es al menos tan fino como el σ-álgebra de Borel en X ). Entonces, una medida μ en ( X , Σ) se llama estrictamente positiva si cada subconjunto abierto no vacío de X tiene una medida estrictamente positiva.
En notación más condensada, μ es estrictamente positivo si y solo si
Ejemplos de
- El conteo de medidas en cualquier conjunto X (con cualquier topología) es estrictamente positivo.
- La medida de Dirac no suele ser estrictamente positiva a menos que la topología T sea particularmente "gruesa" (contiene "pocos" conjuntos). Por ejemplo, δ 0 en la línea real R con su topología de Borel habitual y σ-álgebra no es estrictamente positiva; sin embargo, si R está equipado con la topología trivial T = {∅, R }, entonces δ 0 es estrictamente positivo. Este ejemplo ilustra la importancia de la topología para determinar la positividad estricta.
- La medida gaussiana en el espacio euclidiano R n (con su topología de Borel y σ-álgebra) es estrictamente positiva.
- La medida de Wiener en el espacio de trayectorias continuas en R n es una medida estrictamente positiva; la medida de Wiener es un ejemplo de una medida gaussiana en un espacio de dimensión infinita.
- La medida de Lebesgue en R n (con su topología de Borel y σ-álgebra) es estrictamente positiva.
- La medida trivial nunca es estrictamente positiva, independientemente del espacio X o la topología utilizada, excepto cuando X está vacío.
Propiedades
- Si μ y ν son dos medidas en un espacio topológico medible (X, Σ), con μ estrictamente positivo y también absolutamente continuo con respecto a ν , entonces ν también es estrictamente positivo. La demostración es simple: sea U ⊆ X un conjunto abierto arbitrario; dado que μ es estrictamente positivo, μ ( U )> 0; por continuidad absoluta, ν ( U )> 0 también.
- Por tanto, la positividad estricta es invariante con respecto a la equivalencia de medidas .
Ver también
- Soporte (teoría de la medida) : una medida es estrictamente positiva si y solo si su soporte es todo el espacio.