Los números de Lucas o la serie de Lucas son una secuencia entera que lleva el nombre del matemático François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), quien estudió tanto esa secuencia como los números de Fibonacci estrechamente relacionados . Los números de Lucas y los números de Fibonacci forman instancias complementarias de secuencias de Lucas .
La secuencia de Lucas tiene la misma relación recursiva que la secuencia de Fibonacci , donde cada término es la suma de los dos términos anteriores, pero con valores iniciales diferentes. [1] Esto produce una secuencia en la que las proporciones de los términos sucesivos se acercan a la proporción áurea y, de hecho, los términos en sí son redondeos de potencias enteras de la proporción áurea. [2] La secuencia también tiene una variedad de relaciones con los números de Fibonacci, como el hecho de que agregar dos números de Fibonacci cualesquiera dos términos en la secuencia de Fibonacci da como resultado el número de Lucas en el medio. [3]
Los primeros números de Lucas son
- 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ....
Definición
Similar a los números de Fibonacci, cada número de Lucas se define como la suma de sus dos términos previos inmediatos, formando así una secuencia entera de Fibonacci . Los dos primeros números de Lucas son y a diferencia de los dos primeros números de Fibonacci y . Aunque estrechamente relacionados en definición, los números de Lucas y Fibonacci exhiben propiedades distintas.
Por tanto, los números de Lucas pueden definirse de la siguiente manera:
(donde n pertenece a los números naturales)
La secuencia de los primeros doce números de Lucas es:
Todas las secuencias enteras similares a Fibonacci aparecen en forma desplazada como una fila de la matriz de Wythoff ; la secuencia de Fibonacci en sí es la primera fila y la secuencia de Lucas es la segunda fila. Además, como todas las secuencias enteras similares a Fibonacci, la proporción entre dos números consecutivos de Lucas converge a la proporción áurea .
Extensión a enteros negativos
Utilizando , se pueden extender los números de Lucas a enteros negativos para obtener una secuencia doblemente infinita:
- ..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (términos por son exhibidos).
La fórmula para términos con índices negativos en esta secuencia es
Relación con los números de Fibonacci
Los números de Lucas están relacionados con los números de Fibonacci por muchas identidades. Entre estos se encuentran los siguientes:
- , y así como se acerca a + ∞ , la relación enfoques
- ; En particular,
Su fórmula cerrada se da como:
dónde es la proporción áurea . Alternativamente, en cuanto a la magnitud del término es menos de 1/2, es el entero más cercano a o, de manera equivalente, la parte entera de , también escrito como .
Combinando lo anterior con la fórmula de Binet ,
una fórmula para es obtenido:
Relaciones de congruencia
Si es un número de Fibonacci, entonces ningún número de Lucas es divisible por .
es congruente con 1 mod Si es primo, pero algunos valores compuestos de También tengo esta propiedad. Estos son los pseudoprimes de Fibonacci .
es congruente con 0 mod 5 .
Lucas primos
Un número primo de Lucas es un número de Lucas que es primo . Los primeros números primos de Lucas son
- 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (secuencia A005479 en la OEIS ).
Los índices de estos primos son (por ejemplo, L 4 = 7)
- 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (secuencia A001606 en la OEIS ).
Si L n es primo, entonces n es 0, primo o una potencia de 2. [4] L 2 m es primo para m = 1, 2, 3 y 4 y ningún otro valor conocido de m .
Generando series
Dejar
ser la serie generadora de los números de Lucas. Por un cálculo directo,
que se puede reorganizar como
La descomposición de la fracción parcial está dada por
dónde es la proporción áurea y es su conjugado.
Polinomios de Lucas
De la misma manera que los polinomios de Fibonacci se derivan de los números de Fibonacci , los polinomios de Lucas son una secuencia polinomial derivada de los números de Lucas.
Aplicaciones
Los números de Lucas son el segundo patrón más común en girasoles después de los números de Fibonacci, cuando se cuentan las espirales en sentido horario y antihorario, según un análisis de 657 girasoles en 2016 .
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Número de Lucas" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
- ^ Parker, Matt (2014). "13". Cosas para hacer y hacer en la cuarta dimensión . Farrar, Straus y Giroux. pag. 284. ISBN 978-0-374-53563-6.
- ^ Parker, Matt (2014). "13". Cosas para hacer y hacer en la cuarta dimensión . Farrar, Straus y Giroux. pag. 282. ISBN 978-0-374-53563-6.
- ^ Chris Caldwell, " The Prime Glossary: Lucas prime " de The Prime Pages .
enlaces externos
- "Polinomios de Lucas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Número de Lucas" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Lucas Polynomial" . MathWorld .
- " Los números de Lucas ", Dr. Ron Knott
- Números de Lucas y la sección dorada
- Puede encontrar una calculadora de números de Lucas aquí.
- Secuencia OEIS A000032 (números de Lucas que comienzan en 2)