En matemáticas , en el campo del álgebra homológica , la secuencia espectral de Grothendieck , introducida por Alexander Grothendieck en su artículo de Tôhoku , es una secuencia espectral que calcula los functores derivados de la composición de dos functores , A partir del conocimiento de los funtores derivados de F y G .
Si y son dos functores aditivos y exactos izquierdos entre categorías abelianas, de modo que ambos y tener suficientes inyectables ylleva objetos inyectivos a-objetos acíclicos, luego para cada objeto de hay una secuencia espectral:
dónde denota el p -ésimo functor derivado a la derecha deetc.
Muchas secuencias espectrales en geometría algebraica son instancias de la secuencia espectral de Grothendieck, por ejemplo, la secuencia espectral de Leray .
La secuencia exacta de grados bajos dice
La secuencia espectral de Leray
Si y son espacios topológicos , dejemos
- y ser la categoría de gavillas de grupos abelianos en X e Y , respectivamente y
- ser la categoría de grupos abelianos.
Para un mapa continuo
existe el functor de imagen directo (exacto a la izquierda)
- .
También tenemos los functors de la sección global
- ,
y
Entonces desde
y los functors y satisfacer las hipótesis (dado que el functor de imagen directo tiene un adjunto izquierdo exacto , los empujes hacia adelante de inyectivos son inyectivos y, en particular, acíclicos para el functor de sección global), la secuencia en este caso se convierte en:
por una gavilla de grupos abelianos en , y esta es exactamente la secuencia espectral de Leray .
Secuencia espectral externa local a global
Hay una secuencia espectral relativa del mundial Ext y la Ext gavilla: dejar que F , G sea gavillas de módulos sobre un espacio anillado ; por ejemplo, un esquema. Luego
- [1]
Este es un ejemplo de la secuencia espectral de Grothendieck: de hecho,
- , y .
Es más, envía inyectivo -módulos a poleas de matraz, [2] que son-acíclico. Por tanto, se satisface la hipótesis.
Usaremos el siguiente lema:
Lema : si K es un complejo inyectivo en una categoría abeliana C tal que los núcleos de los diferenciales son objetos inyectivos, entonces para cada n ,
es un objeto inyectivo y para cualquier funtor aditivo exacto a la izquierda G en C ,
Prueba: dejar ser el núcleo y la imagen de . Tenemos
que se divide. Esto implica que cadaes inyectable. A continuación miramos
Se divide, lo que implica la primera parte del lema, así como la exactitud de
De manera similar tenemos (usando la división anterior):
La segunda parte sigue ahora.
Ahora construimos una secuencia espectral. Dejarser un F resolución acíclicos de A . Escritura por , tenemos:
Toma resoluciones inyectivas y del primer y tercer término distintos de cero. Por el lema de herradura , su suma directa es una resolución inyectiva de . Por lo tanto, encontramos una resolución inyectiva del complejo:
tal que cada fila satisface la hipótesis del lema (cf. la resolución de Cartan-Eilenberg ).
Ahora, el doble complejo da lugar a dos secuencias espectrales, horizontal y vertical, que ahora vamos a examinar. Por un lado, por definición,
- ,
que siempre es cero a menos que q = 0 ya quees G- acíclico por hipótesis. Por eso, y . Por otro lado, por la definición y el lema,
Desde es una resolución inyectiva de (es una resolución ya que su cohomología es trivial),
Desde y tienen el mismo plazo límite, la prueba está completa.
Ejemplos computacionales
Este artículo incorpora material de la secuencia espectral de Grothendieck en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .