Polinomios de Macdonald
En matemáticas, los polinomios de Macdonald P λ ( x ; t , q ) son una familia de polinomios simétricos ortogonales en varias variables, introducidos por Macdonald en 1987. Más tarde introdujo una generalización no simétrica en 1995. Macdonald originalmente asoció sus polinomios con pesos λ de sistemas de raíces finitos y usó solo una variable t , pero luego se dio cuenta de que es más natural asociarlos con sistemas de raíces afines en lugar de sistemas de raíces finitos, en cuyo caso la variable t puede ser reemplazada por varias variables diferentes t =( t1 ,..., t k ), uno para cada una de las k órbitas de raíces en el sistema de raíces afines. Los polinomios de Macdonald son polinomios en n variables x =( x 1 ,..., x n ), donde n es el rango del sistema raíz afín. Generalizan muchas otras familias de polinomios ortogonales, como los polinomios de Jack y los polinomios de Hall-Littlewood y los polinomios de Askey-Wilson , que a su vez incluyen la mayoría de los polinomios ortogonales de 1 variable nombrados como casos especiales. Polinomios de Koornwinderson polinomios de Macdonald de ciertos sistemas de raíces no reducidos. Tienen profundas relaciones con las álgebras afines de Hecke y los esquemas de Hilbert , que se utilizaron para probar varias conjeturas hechas por Macdonald sobre ellas.
En otras palabras, los polinomios de Macdonald se obtienen ortogonalizando la base obvia de A W . La existencia de polinomios con estas propiedades es fácil de demostrar (para cualquier producto interior). Una propiedad clave de los polinomios de Macdonald es que son ortogonales : 〈P λ , P μ〉 = 0 siempre que λ ≠ μ. Esta no es una consecuencia trivial de la definición porque P +no está totalmente ordenado, por lo que tiene muchos elementos que son incomparables. Por tanto, hay que comprobar que los polinomios correspondientes siguen siendo ortogonales. La ortogonalidad se puede demostrar mostrando que los polinomios de Macdonald son vectores propios para un álgebra de operadores autoadjuntos conmutables con espacios propios unidimensionales, y usando el hecho de que los espacios propios para diferentes valores propios deben ser ortogonales.
En el caso de sistemas de raíz no enlazados simplemente (B, C, F, G), el parámetro t se puede elegir para variar con la longitud de la raíz, dando una familia de tres parámetros de polinomios de Macdonald. También se puede extender la definición al sistema de raíces no reducido BC, en cuyo caso se obtiene una familia de seis parámetros (un t para cada órbita de las raíces, más q ) conocidos como polinomios de Koornwinder . A veces es mejor considerar que los polinomios de Macdonald dependen de un sistema raíz afín posiblemente no reducido. En este caso, hay un parámetro t asociado a cada órbita de raíces en el sistema de raíces afines, más un parámetro q . El número de órbitas de las raíces puede variar de 1 a 5.
Esto fue conjeturado por Macdonald (1982) como una generalización de la conjetura de Dyson , y Cherednik (1995) lo demostró para todos los sistemas de raíces (reducidos) usando propiedades de álgebras de Hecke doblemente afines . La conjetura había sido probada previamente caso por caso para todos los sistemas de raíces excepto los de tipo E n por varios autores.
Hay otras dos conjeturas que, junto con la conjetura de la norma, se denominan colectivamente conjeturas de Macdonald en este contexto: además de la fórmula de la norma, Macdonald conjeturó una fórmula para el valor de P λ en el punto t ρ , y una simetría
Nuevamente, Cherednik ( 1995 ) demostró esto para sistemas de raíces reducidos generales , utilizando álgebras de Hecke doblemente afines , con la extensión al caso BC poco después a través del trabajo de van Diejen, Noumi y Sahi.
