Un esferoide de Maclaurin es un esferoide achatado que surge cuando un cuerpo fluido autogravitante de densidad uniforme gira con una velocidad angular constante. Este esferoide lleva el nombre del matemático escocés Colin Maclaurin , quien lo formuló para la forma de la Tierra en 1742. [1] De hecho, la figura de la Tierra es mucho menos achatada de lo que sugiere la fórmula de Maclaurin, ya que la Tierra no es homogénea, pero tiene un núcleo de hierro denso. El esferoide de Maclaurin se considera el modelo más simple de figuras elipsoidales giratorias en equilibrio hidrostático, ya que asume una densidad uniforme.
Fórmula de Maclaurin
Para un esferoide con semieje mayor ecuatorial y eje semi-menor polar , la velocidad angular acerca de viene dada por la fórmula de Maclaurin [2]
dónde es la excentricidad de las secciones transversales meridionales del esferoide, es la densidad y es la constante gravitacional . La fórmula predice dos posibles cifras de equilibrio cuando, uno es una esfera) y el otro es un esferoide muy aplanado (). La velocidad angular máxima se produce en la excentricidad. y su valor es , de modo que por encima de esta velocidad, no existen cifras de equilibrio. El momento angular es
dónde es la masa del esferoide y es el radio medio , el radio de una esfera del mismo volumen que el esferoide.
Estabilidad
Para un esferoide de Maclaurin de excentricidad mayor que 0.812670, [3] un elipsoide de Jacobi del mismo momento angular tiene menor energía total. Si tal esferoide está compuesto de un fluido viscoso, y si sufre una perturbación que rompe su simetría rotacional, entonces gradualmente se alargará en la forma elipsoidal de Jacobi, mientras disipa su exceso de energía en forma de calor. Esto se denomina inestabilidad secular . Sin embargo, para un esferoide similar compuesto por un fluido no viscoso, la perturbación simplemente resultará en una oscilación no amortiguada. Esto se describe como estabilidad dinámica (u ordinaria ) .
Un esferoide de Maclaurin de excentricidad superior a 0,952887 [3] es dinámicamente inestable. Incluso si está compuesto de un fluido no viscoso y no tiene forma de perder energía, una perturbación adecuada crecerá (al menos inicialmente) exponencialmente. La inestabilidad dinámica implica inestabilidad secular (y la estabilidad secular implica estabilidad dinámica). [4]
Ver también
Referencias
- ^ Maclaurin, Colin. Tratado de fluxiones: en dos libros. 1. Vol. 1. Ruddimans, 1742.
- ^ Chandrasekhar, Subrahmanyan. Figuras elipsoidales de equilibrio. Vol. 10. New Haven: Yale University Press, 1969.
- ^ a b Poisson, Eric; Will, Clifford (2014). Gravedad: Newtoniana, Post-Newtoniana, Relativista . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 102-104. ISBN 978-1107032866.
- ^ Lyttleton, Raymond Arthur (1953). La estabilidad de masas líquidas giratorias . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781316529911.