Un elipsoide de Jacobi es un elipsoide triaxial (es decir, escaleno) en equilibrio hidrostático que surge cuando un cuerpo fluido autogravitante de densidad uniforme gira con una velocidad angular constante. Lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi . [1]
Historia
Antes de Jacobi, el esferoide de Maclaurin , que se formuló en 1742, se consideraba el único tipo de elipsoide que puede estar en equilibrio. [2] [3] Lagrange en 1811 [4] consideró la posibilidad de que un elipsoide triaxial estuviera en equilibrio, pero concluyó que los dos ejes ecuatoriales del elipsoide deben ser iguales, lo que conduce a la solución del esferoide de Maclaurin . Pero Jacobi se dio cuenta de que la demostración de Lagrange es una condición de suficiencia, pero no necesaria. Él comentó: [5]
"Se cometería un grave error si se supusiera que los esferoides de revolución son las únicas figuras de equilibrio admisibles incluso bajo el supuesto restrictivo de superficies de segundo grado" (...) "De hecho, una simple consideración muestra que los elipsoides con tres ejes desiguales pueden muy bien ser figuras de equilibrio; y que uno puede asumir una elipse de forma arbitraria para la sección ecuatorial y determinar el tercer eje (que es también el menor de los tres ejes) y la velocidad angular de rotación de modo que el elipsoide sea un figura de equilibrio ".
Fórmula de Jacobi
Para un elipsoide con semiejes ecuatoriales principales y eje semi-principal polar , la velocidad angular acerca de es dado por
dónde es la densidad y es la constante gravitacional , sujeta a la condición
Para valores fijos de y , la condición anterior tiene solución para tal que
Las integrales se pueden expresar en términos de integrales elípticas incompletas . [6] En términos de la integral elíptica de la forma simétrica de Carlson, la fórmula de la velocidad angular se convierte en
y la condición sobre el tamaño relativo de los ejes semi-principales es
El momento angular del elipsoide de Jacobi viene dado por
dónde es la masa del elipsoide y es el radio medio , el radio de una esfera del mismo volumen que el elipsoide.
Relación con el elipsoide de Dedekind
Los elipsoides de Jacobi y Dedekind son figuras de equilibrio para un cuerpo de fluido autogravitante homogéneo en rotación. Sin embargo, mientras el elipsoide de Jacobi gira corporalmente, sin flujo interno del fluido en el marco giratorio, el elipsoide de Dedekind mantiene una orientación fija, con el fluido constituyente circulando dentro de él. Ésta es una consecuencia directa del teorema de Dedekind .
Para cualquier elipsoide de Jacobi dado, existe un elipsoide de Dedekind con los mismos ejes semi-principales y la misma masa y con un campo de velocidad de flujo de [7]
dónde son coordenadas cartesianas en los ejes alineado respectivamente con el ejes del elipsoide. Aquíes la vorticidad , que es uniforme en todo el esferoide (). La velocidad angulardel elipsoide de Jacobi y la vorticidad del elipsoide de Dedekind correspondiente están relacionados por [7]
Es decir, cada partícula del fluido del elipsoide de Dedekind describe un circuito elíptico similar en el mismo período en el que el esferoide de Jacobi realiza una rotación.
En el caso especial de , los elipsoides de Jacobi y Dedekind (y el esferoide de Maclaurin) se vuelven uno y lo mismo; la rotación corporal y el flujo circular equivalen a lo mismo. En este caso, como siempre ocurre con un cuerpo que gira rígidamente.
En el caso general, los elipsoides de Jacobi y Dedekind tienen la misma energía, [8] pero el momento angular del esferoide de Jacobi es mayor en un factor de [8]
Ver también
- Esferoide de Maclaurin
- Elipsoide de Riemann
- Elipsoide de Roche
- Problema elipsoidal de Dirichlet
- Esferoide
- Elipsoide
Referencias
- ↑ Jacobi, CG (1834). "Ueber die Figur des Gleichgewichts" . Annalen der Physik (en alemán). 109 (8-16): 229-233. Código Bibliográfico : 1834AnP ... 109..229J . doi : 10.1002 / yp.18341090808 .
- ^ Chandrasekhar, S. (1969). Figuras elipsoidales de equilibrio . Vol. 10. New Haven: Prensa de la Universidad de Yale. pag. 253.
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tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Chandrasekhar, S. (1967). "Figuras elipsoidales de equilibrio: un relato histórico". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 20 (2): 251-265. doi : 10.1002 / cpa.3160200203 .
- ↑ Lagrange, JL (1811). Secta Mécanique Analytique . IV 2 vol.
- ^ Dirichlet, GL (1856). "Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 52 : 193–217.
- ^ Darwin, GH (1886). "Sobre la figura de equilibrio de Jacobi para una masa de fluido en rotación" . Actas de la Royal Society de Londres . 41 (246–250): 319–336. Código Bibliográfico : 1886RSPS ... 41..319D . doi : 10.1098 / rspl.1886.0099 . S2CID 121948418 .
- ^ a b Chandrasekhar, Subrahmanyan (1965). "El equilibrio y la estabilidad de los elipsoides de Dedekind" . Revista astrofísica . 141 : 1043-1055. Código bibliográfico : 1965ApJ ... 141.1043C . doi : 10.1086 / 148195 .
- ^ a b Bardeen, James M. (1973). "Estrellas, discos y agujeros negros que giran rápidamente" . En DeWitt, C .; DeWitt, Bryce Seligman (eds.). Agujeros negros . Ciclo de conferencias de Houches. Prensa CRC. págs. 267–268. ISBN 9780677156101.