En matemáticas , una serie de Madhava o serie de Leibniz es cualquiera de las series en una colección de expresiones de series infinitas, todas las cuales se cree que fueron descubiertas por Madhava de Sangamagrama (c. 1350 - c. 1425), el fundador de Kerala. escuela de astronomía y matemáticas y más tarde por Gottfried Wilhelm Leibniz , entre otros. Estas expresiones son las expansiones de la serie de Maclaurin de las funciones trigonométricas seno , coseno y arcotangente ., y el caso especial de la expansión en serie de potencias de la función arcangente que produce una fórmula para calcular π. Las expansiones en serie de potencia de las funciones seno y coseno se denominan respectivamente serie seno de Madhava y serie coseno de Madhava . La expansión de la serie de potencias de la función arcangente a veces se denomina serie Madhava-Gregory [1] [2] o serie Gregory-Madhava . Estas series de potencia también se denominan colectivamente series Taylor-Madhava . [3] La fórmula para π se conoce como Madhava- Newton serie o Madhava- Leibniz serie oFórmula de Leibniz para pi o series Leibnitz – Gregory – Madhava. [4] Estos nombres adicionales para las diversas series reflejan los nombres de los descubridores o divulgadores occidentales de las respectivas series.
Las derivaciones utilizan muchos conceptos relacionados con el cálculo, como la suma, la tasa de cambio y la interpolación, lo que sugiere que los matemáticos indios tenían una comprensión sólida del concepto de límite y los conceptos básicos del cálculo mucho antes de que se desarrollaran en Europa. Otra evidencia de las matemáticas indias hasta este punto, como el interés en las series infinitas y el uso de un sistema decimal de base diez, también sugiere que era posible que el cálculo se hubiera desarrollado en la India casi 300 años antes de su nacimiento reconocido en Europa. [5]
Ninguna obra superviviente de Madhava contiene declaraciones explícitas con respecto a las expresiones que ahora se conocen como series de Madhava. Sin embargo, en los escritos de miembros posteriores de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala, como Nilakantha Somayaji y Jyeshthadeva, se pueden encontrar atribuciones inequívocas de estas series a Madhava. También en los trabajos de estos astrónomos y matemáticos posteriores se pueden rastrear las pruebas indias de las expansiones de estas series. Estas pruebas proporcionan suficientes indicaciones sobre el enfoque que Madhava había adoptado para llegar a las expansiones de su serie.
A diferencia de la mayoría de las culturas anteriores, que habían estado bastante nerviosas por el concepto de infinito, Madhava estaba más que feliz de jugar con el infinito, particularmente con las series infinitas. Mostró cómo, aunque el número 1 se puede aproximar sumando la mitad más un cuarto más un octavo más un dieciseisavo, etc., (como incluso los antiguos egipcios y griegos habían sabido), el total exacto de 1 solo se puede lograr mediante sumando infinitas fracciones. Pero Madhava fue más allá y vinculó la idea de una serie infinita con geometría y trigonometría. Se dio cuenta de que, al sumar y restar sucesivamente diferentes fracciones de números impares hasta el infinito, podía encontrar una fórmula exacta para pi (esto fue dos siglos antes de que Leibniz llegara a la misma conclusión en Europa). [6]
La serie de Madhava en notaciones modernas
En los escritos de los matemáticos y astrónomos de la escuela de Kerala , las series de Madhava se describen expresadas en la terminología y los conceptos de moda en ese momento. Cuando traducimos estas ideas en notaciones y conceptos de las matemáticas modernas, obtenemos los equivalentes actuales de la serie de Madhava. Estas contrapartes actuales de las expresiones de series infinitas descubiertas por Madhava son las siguientes:
No. | Serie | Nombre | Descubridores occidentales de la serie y fechas aproximadas de descubrimiento [7] |
---|---|---|---|
1 | sin x = x -x 3/3! + x 5/5! - x 7/7! + ... | Serie del seno de Madhava | Isaac Newton (1670) y Wilhelm Leibniz (1676) |
2 | cos x = 1 - x 2/2! + x 4/4! - x 6/6! + ... | Serie de coseno de Madhava | Isaac Newton (1670) y Wilhelm Leibniz (1676) |
3 | arctan x = x - x 3/3 + x 5/5 - x 7/7 + ... | Serie de Madhava para arctangent | James Gregory (1671) y Wilhelm Leibniz (1676) |
4 | π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... | Fórmula de Madhava para π | James Gregory (1671) y Wilhelm Leibniz (1676) |
Serie Madhava en "las propias palabras de Madhava"
Ninguna de las obras de Madhava, que contiene alguna de las expresiones de la serie que se le atribuyen, ha sobrevivido. Estas expresiones en serie se encuentran en los escritos de los seguidores de Madhava en la escuela de Kerala . En muchos lugares, estos autores han declarado claramente que estos son "según lo dicho por Madhava". Por lo tanto, se puede asumir con seguridad que las enunciaciones de las diversas series que se encuentran en Tantrasamgraha y sus comentarios están en "las propias palabras de Madhava". A continuación se reproducen las traducciones de los versículos relevantes que se dan en el comentario de Yuktidipika de Tantrasamgraha (también conocido como Tantrasamgraha-vyakhya ) por Sankara Variar (circa 1500-1560 EC). A continuación, se representan en notaciones matemáticas actuales. [8] [9]
Serie del seno de Madhava
En las propias palabras de Madhava
La serie de senos de Madhava se establece en los versículos 2.440 y 2.441 en el comentario de Yukti-dipika ( Tantrasamgraha-vyakhya ) de Sankara Variar . Sigue una traducción de los versículos.
Multiplica el arco por el cuadrado del arco y obtén el resultado de repetirlo (cualquier número de veces). Divida (cada uno de los numeradores anteriores) por los cuadrados de los números pares sucesivos aumentados por ese número y multiplicados por el cuadrado del radio. Colocar el arco y los resultados sucesivos así obtenidos uno debajo del otro, y restar cada uno del anterior. Estos juntos dan el jiva, como se recoge en el verso que comienza con "vidvan", etc.
Representación en notaciones modernas
Sea r el radio del círculo y s la longitud del arco.
- Primero se forman los siguientes numeradores:
- Luego, estos se dividen por las cantidades especificadas en el versículo.
- Coloque el arco y los resultados sucesivos así obtenidos uno debajo del otro, y reste cada uno del anterior para obtener jiva :
Transformación a notación actual
Sea θ el ángulo subtendido por los arcos s en el centro del círculo. Entonces s = r θ y jiva = r sin θ . Sustituyendo estos en la última expresión y simplificando obtenemos
que es la expansión en serie de potencias infinitas de la función seno.
Reformulación de Madhava para el cálculo numérico
La última línea del verso ′ tal como se recopila en el verso que comienza con "vidvan", etc. ′ es una referencia a una reformulación de la serie introducida por el propio Madhava para que sea conveniente para cálculos sencillos para valores específicos del arco y el radio. . Para tal reformulación, Madhava considera un círculo, un cuarto del cual mide 5400 minutos (digamos C minutos) y desarrolla un esquema para los cálculos fáciles de los jiva 's de los varios arcos de dicho círculo. Sea R el radio de un círculo cuya cuarta parte mide C. Madhava ya había calculado el valor de π usando su fórmula de serie para π. [10] Usando este valor de π, a saber, 3,1415926535922, el radio R se calcula de la siguiente manera: Entonces
- R = 2 × 5400 / π = 3437.74677078493925 = 3437 minutos de arco 44 segundos de arco 48 sexagésimas de segundo de arco = 3437 ′ 44 ′ ′ 48 ′ ′ ′.
La expresión de Madhava para jiva correspondiente a cualquier arco s de un círculo de radio R es equivalente a la siguiente:
Madhava ahora calcula los siguientes valores:
No. | Expresión | Valor | Valor en el sistema Katapayadi |
---|---|---|---|
1 | R x (π / 2) 3 /3! | 2220 ′ 39 ′ ′ 40 ′ ′ ′ | ni-rvi-ddhā-nga-na-rē-ndra-rung |
2 | R x (π / 2) 5 /5! | 273 ′ 57 ′ ′ 47 ′ ′ ′ | sa-rvā-rtha-śī-la-sthi-ro |
3 | R x (π / 2) 7 /7! | 16 ′ 05 ′ ′ 41 ′ ′ ′ | ka-vī-śa-ni-ca-ya |
4 | R x (π / 2) 9 /9! | 33 ′ ′ 06 ′ ′ ′ | tu-nna-ba-la |
5 | R x (π / 2) 11 /11! | 44 ′ ′ ′ | vi-dvān |
El jiva ahora se puede calcular usando el siguiente esquema:
- jiva = s - ( s / C ) 3 [(2220 ′ 39 ′ ′ 40 ′ ′ ′) - ( s / C ) 2 [(273 ′ 57 ′ ′ 47 ′ ′ ′) - ( s / C ) 2 [( 16 ′ 05 ′ ′ 41 ′ ′ ′) - ( s / C ) 2 [(33 ′ ′ 06 ′ ′ ′) - ( s / C ) 2 (44 ′ ′ ′)]]]].
Esto da una aproximación de jiva por su polinomio de Taylor de undécimo orden. Se trata de una división, seis multiplicaciones y cinco restas únicamente. Madhava prescribe este esquema computacional numéricamente eficiente en las siguientes palabras (traducción del verso 2.437 en Yukti-dipika ):
vi-dvān, tu-nna-ba-la, ka-vī-śa-ni-ca-ya, sa-rvā-rtha-śī-la-sthi-ro, ni-rvi-ddhā-nga-na-rē- ndra-peldaño. Multiplique sucesivamente estos cinco números en orden por el cuadrado del arco dividido por el cuarto de la circunferencia (5400 ′) y reste del siguiente número. (Continúe este proceso con el resultado así obtenido y el siguiente número). Multiplique el resultado final por el cubo del arco dividido por un cuarto de la circunferencia y reste del arco.
Serie de coseno de Madhava
En las propias palabras de Madhava
La serie de coseno de Madhava se establece en los versículos 2.442 y 2.443 en el comentario de Yukti-dipika ( Tantrasamgraha-vyakhya ) de Sankara Variar . Sigue una traducción de los versículos.
Multiplique el cuadrado del arco por la unidad (es decir, el radio) y obtenga el resultado de repetirlo (cualquier número de veces). Divida (cada uno de los numeradores anteriores) por el cuadrado de los números pares sucesivos disminuidos por ese número y multiplicados por el cuadrado del radio. Pero el primer término es (ahora) (el que está) dividido por el doble del radio. Coloque los resultados sucesivos así obtenidos uno debajo del otro y reste cada uno del anterior. Estos juntos dan el śara reunido en el verso que comienza con stena, Stri, etc.
Representación en notaciones modernas
Sea r el radio del círculo y s la longitud del arco.
- Primero se forman los siguientes numeradores:
- Luego, estos se dividen por las cantidades especificadas en el versículo.
- Coloque el arco y los resultados sucesivos así obtenidos uno debajo del otro, y reste cada uno del anterior para obtener śara :
Transformación a notación actual
Sea θ el ángulo subtendido por los arcos s en el centro del círculo. Entonces s = rθ y Sara = r (1 - cos θ ). Sustituyendo estos en la última expresión y simplificando obtenemos
lo que da la expansión en serie de potencia infinita de la función coseno.
Reformulación de Madhava para el cálculo numérico
La última línea en el verso ′ tal como se recopila en el verso que comienza con stena, Stri, etc. ′ es una referencia a una reformulación introducida por el mismo Madhava para hacer que la serie sea conveniente para cálculos sencillos para valores específicos del arco y el radio. Como en el caso de la serie sinusoidal, Madhava considera un círculo, un cuarto del cual mide 5400 minutos (digamos C minutos) y desarrolla un esquema para los cálculos fáciles de los śara de los diversos arcos de dicho círculo. Sea R el radio de un círculo cuya cuarta parte mide C. Entonces, como en el caso de la serie sinusoidal, Madhava obtiene R = 3437 ′ 44 ′ ′ 48 ′ ′ ′.
La expresión de Madhava para Sara correspondiente a cualquier arco s de un círculo de radio R es equivalente a la siguiente:
Madhava ahora calcula los siguientes valores:
No. | Expresión | Valor | Valor en el sistema Katapayadi |
---|---|---|---|
1 | R x (π / 2) 2 /2! | 4241 ′ 09 ′ ′ 00 ′ ′ ′ | u-na-dha-na-krt-bhu-re-va |
2 | R x (π / 2) 4 /4! | 872 ′ 03 ′ ′ 05 ′ ′ ′ | mī-nā-ngo-na-ra-sim-ha |
3 | R x (π / 2) 6 /6! | 071 ′ 43 ′ ′ 24 ′ ′ ′ | bha-drā-nga-bha-vyā-sa-na |
4 | R x (π / 2) 8 /8! | 03 ′ 09 ′ ′ 37 ′ ′ ′ | su-ga-ndhi-na-ga-nud |
5 | R x (π / 2) 10 /10! | 05 ′ ′ 12 ′ ′ ′ | strī-pi-śu-na |
6 | R x (π / 2) 12 /12! | 06 ′ ′ ′ | ste-na |
El śara ahora se puede calcular usando el siguiente esquema:
- śara = ( s / C ) 2 [(4241 ′ 09 ′ ′ 00 ′ ′ ′) - ( s / C ) 2 [(872 ′ 03 ′ ′ 05 ′ ′ ′) - ( s / C ) 2 [(071 ′ 43 ′ ′ 24 ′ ′ ′) - ( s / C ) 2 [(03 ′ 09 ′ ′ 37 ′ ′ ′) - ( s / C ) 2 [(05 ′ ′ 12 ′ ′ ′) - (s / C) 2 (06 ′ ′ ′)]]]]]
Esto da una aproximación de śara por su polinomio de Taylor del orden 12º. Esto también implica una división, seis multiplicaciones y cinco restas solamente. Madhava prescribe este esquema computacional numéricamente eficiente en las siguientes palabras (traducción del verso 2.438 en Yukti-dipika ):
Los seis stena, strīpiśuna, sugandhinaganud, bhadrāngabhavyāsana, mīnāngonarasimha, unadhanakrtbhureva. Multiplica por el cuadrado del arco dividido por el cuarto de la circunferencia y resta del siguiente número. (Continúe con el resultado y el siguiente número). El resultado final será utkrama-jya (signo R versado).
La serie arcangente de Madhava
En las propias palabras de Madhava
La serie arcangente de Madhava se expresa en los versículos 2.206 - 2.209 en el comentario de Yukti-dipika ( Tantrasamgraha-vyakhya ) de Sankara Variar . A continuación se ofrece una traducción de los versículos. [11] Jyesthadeva también ha dado una descripción de esta serie en Yuktibhasa . [12] [13] [14]
Ahora, con el mismo argumento, se puede (hacer) la determinación del arco de un seno deseado. Eso es como sigue: El primer resultado es el producto del seno deseado y el radio dividido por el coseno del arco. Cuando se ha hecho que el cuadrado del seno sea el multiplicador y el cuadrado del coseno el divisor, ahora se determinará un grupo de resultados a partir de los resultados (anteriores) comenzando por el primero. Cuando estos se dividen en orden por los números impares 1, 3, etc., y cuando se ha restado la suma de los resultados pares (numerados) de la suma de los impares (unos), ese debería ser el arco. Aquí se requiere que el más pequeño del seno y el coseno se considere como el deseado (seno). De lo contrario, los resultados no terminarían, incluso si se calculan repetidamente.
Mediante el mismo argumento, la circunferencia también se puede calcular de otra manera. Eso es como (sigue): El primer resultado debe ser la raíz cuadrada del cuadrado del diámetro multiplicada por doce. A partir de ese momento, el resultado debe dividirse entre tres (en) cada (caso) sucesivo. Cuando estos se dividen en orden por los números impares, comenzando con 1, y cuando se han restado los resultados (pares) de la suma de los impares, (esa) debería ser la circunferencia.
Representación en notaciones modernas
Sea s el arco del seno deseado ( jya o jiva ) y . Sea r el radio yx el coseno ( kotijya ).
- El primer resultado es .
- Forma el multiplicador y el divisor .
- Forme el grupo de resultados:
- Estos se dividen en orden por los números 1, 3, etc.
- Suma de resultados impares:
- Suma de resultados pares:
- El arco ahora está dado por
Transformación a notación actual
Sea θ el ángulo subtendido por los arcos s en el centro del círculo. Entonces s = r θ, x = kotijya = r cos θ y y = jya = r sin θ. Entonces y / x = tan θ. Sustituyendo estos en la última expresión y simplificando obtenemos
- .
Dejando tan θ = q finalmente tenemos
Otra fórmula para la circunferencia de un círculo.
La segunda parte del texto citado especifica otra fórmula para el cálculo de la circunferencia c de un círculo que tiene un diámetro d . Esto es como sigue.
Dado que c = π d, esto se puede reformular como una fórmula para calcular π de la siguiente manera.
Esto se obtiene sustituyendo q =(por lo tanto, θ = π / 6) en la expansión de la serie de potencias para tan −1 q anterior.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Comparison_pi_infinite_series.svg/400px-Comparison_pi_infinite_series.svg.png)
Ver también
- Madhava de Sangamagrama
- Tabla de seno de Madhava
- Padé aproximado
- Serie de taylor
- Serie Laurent
- Serie Puiseux
Referencias
- ^ Referencia a la serie Gregory-Madhava: "Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas" . Consultado el 11 de febrero de 2010 .
- ^ Referencia a la serie Gregory-Madhava: Jaime Carvalho e Silva (julio de 1994). "Historia de las Matemáticas en el aula" . Consultado el 15 de febrero de 2010 .
- ^ "Entrada de tema sobre análisis complejo: Introducción" . PlanetMath.org . Consultado el 10 de febrero de 2010 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Pascal Sebah; Xavier Gourdon (2004). "Colección de series para pi" (PDF) . Consultado el 10 de febrero de 2010 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Webb, Phoebe (diciembre de 2014). "El desarrollo del cálculo en la escuela de Kerala" . TME . 11 (3): 495–512.
- ^ Allen, David (2013). How Mechanics Shaped the Modern World (edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pag. 156. ISBN 978-3-319-01701-3. Extracto de la página 156
- ^ Charles Henry Edwards (1994). El desarrollo histórico del cálculo . Springer Study Edition Series (3 ed.). Saltador. pag. 205. ISBN 978-0-387-94313-8.
- ^ AK Bag (1975). "Serie de seno y coseno de Madhava" (PDF) . Revista India de Historia de la Ciencia . 11 (1): 54–57. Archivado desde el original (PDF) el 14 de febrero de 2010 . Consultado el 11 de febrero de 2010 .
- ^ CK Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI. CE . Historia de la ciencia, la filosofía y la cultura en la civilización india. X Parte 4. Nueva Delhi: Centro de Estudios en Civilización. págs. 114-120. ISBN 978-81-317-0871-2.
- ^ CK Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: la naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI. CE . Historia de la filosofía, la ciencia y la cultura en la civilización india. X Parte 4. Delhi: Centro de Estudios de Civilizaciones. pag. 119.
- ^ CK Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI. CE . Historia de la ciencia, la filosofía y la cultura en la civilización india. X Parte 4. Nueva Delhi: Centro de Estudios en Civilización. pag. 231. ISBN 978-81-317-0871-2.
- ^ JJ O'Connor y EF Robertson (noviembre de 2000). "Madhava de Sangamagramma" . Escuela de Matemáticas y Estadística de la Universidad de St Andrews, Escocia. Archivado desde el original el 14 de mayo de 2006 . Consultado el 14 de febrero de 2010 .
- ^ RC Gupta, La serie Madhava-Gregory, Matemáticas. Educación 7 (1973), B67-B70.
- ^ KV Sarma , Historia de la escuela de astronomía hindú de Kerala (Hoshiarpur, 1972).
Otras lecturas
- Joseph, George Gheverghese (octubre de 2010) [1991]. La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-13526-7.
- KV Sarma , Historia de la Escuela de Astronomía Hindú de Kerala (Hoshiarpur, 1972).
- AK Bag, serie de seno y coseno de Madhava, Indian J. History Sci. 11 (1) (1976), 54–57.
- D. Gold y D Pingree, un trabajo sánscrito hasta ahora desconocido sobre la derivación de Madhava de la serie de potencias para seno y coseno, Historia Sci. No. 42 (1991), 49–65.
- RC Gupta, Madhava y otros valores indios medievales de pi, Math. Educación 9 (3) (1975), B45 – B48.
- RC Gupta, Cálculo del seno en series de potencias de Madhava, Ganita 27 (1–2) (1976), 19–24.
- RC Gupta, Sobre el término restante en la serie de Madhava-Leibniz, Ganita Bharati 14 (1-4) (1992), 68-71.
- RC Gupta, La serie Madhava – Gregory, Math. Educación 7 (1973), B67 – B70.
- T. Hayashi, T. Kusuba y M. Yano, La corrección de la serie Madhava para la circunferencia de un círculo, Centaurus 33 (2-3) (1990), 149-174.
- RC Gupta, La serie Madhava-Gregory para tan −1 x , Indian Journal of Mathematics Education, 11 (3), 107-110, 1991.
- Kim Plofker (2009). Matemáticas en India . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 217-254. ISBN 978-0-691-12067-6.
- "El descubrimiento de la fórmula de la serie para π por Leibniz, Gregory y Nilakantha" por Ranjan Roy en: Marlow Anderson; Victor Katz; Robin Wilson, eds. (2004). Sherlock Holmes en Babylon y otros cuentos de historia matemática . La Asociación Matemática de América . págs. 111-121. ISBN 0-88385-546-1.
- "Ideas de cálculo en el Islam y la India" por Victor J Katz en: Marlow Anderson; Victor Katz; Robin Wilson, eds. (2004). Sherlock Holmes en Babylon y otros cuentos de historia matemática . La Asociación Matemática de América. págs. 122–130. ISBN 0-88385-546-1.
- "¿Se inventó el cálculo en la India?" por David Bressoud en: Marlow Anderson; Victor Katz; Robin Wilson, eds. (2004). Sherlock Holmes en Babylon y otros cuentos de historia matemática . La Asociación Matemática de América. págs. 131-137. ISBN 0-88385-546-1.
- Victor J. Katz, ed. (2007). "Capítulo 4: Matemáticas en la India IV. Escuela de Kerala". Las matemáticas de Egipto, Mesopotemia, China, India e Islam: un libro de consulta . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 480–495. ISBN 978-0-691-11485-9.
- Glen Van Brummelen (2009). Las matemáticas de los cielos y la tierra: la historia temprana de la trigonometría . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 113–120. ISBN 978-0-691-12973-0.
- D. Pouvreau, Trigonométrie et "développements en séries" en Inde médiévale, IREM de l'Université de Toulouse III (2003), 162 páginas. OCLC 758823300
- D. Pouvreau, "Sur l'accélération de la convergence de la série de Madhava-Leibniz", Cuadratura, n ° 97 (2015), págs. 17-25. ISBN 978-2-7598-0528-0