En matemáticas , un hipercubo mágico es la generalización k -dimensional de cuadrados mágicos y cubos mágicos , es decir, una matriz n × n × n × ... × n de enteros tal que las sumas de los números en cada pilar (a lo largo de cualquier eje), así como en el espacio principal, las diagonales son todas iguales. La suma común se denomina constante mágica del hipercubo y, a veces, se denota M k ( n ). Si un hipercubo mágico consta de los números 1, 2, ..., n k, entonces tiene un número mágico
- .
Para k = 4, un hipercubo mágico puede llamarse tesseract mágico , con una secuencia de números mágicos dada por OEIS : A021003 .
La longitud lateral n del hipercubo mágico se llama orden . JR Hendricks ha construido hipercubos mágicos de cuatro, cinco, seis, siete y ocho dimensiones de orden tres .
Marian Trenkler demostró el siguiente teorema: Un hipercubo mágico p- dimensional de orden n existe si y sólo si p > 1 yn es diferente de 2 op = 1. La construcción de un hipercubo mágico se sigue de la demostración.
El lenguaje de programación R incluye un módulo, biblioteca (mágico) , que creará hipercubos mágicos de cualquier dimensión con n múltiplo de 4.
Hipercubos mágicos perfectos y nasik
Si, además, los números en cada diagonal de sección transversal también suman el número mágico del hipercubo, el hipercubo se llama hipercubo mágico perfecto ; de lo contrario, se le llama hipercubo mágico semiperfecto . El número n se llama el orden del hipercubo mágico.
La definición anterior de "perfecto" asume que se usa una de las definiciones más antiguas de cubos mágicos perfectos. Consulte Clases de cubo mágico . El Sistema de Clasificación Universal para Hipercubos (John R. Hendricks) requiere que para cualquier hipercubo de dimensión, todas las líneas posibles sumen correctamente para que el hipercubo se considere magia perfecta . Debido a la confusión con el término perfecto , nasik es ahora el término preferido para cualquier hipercubo mágico donde todo es posible líneas suma de S . Nasik fue definido de esta manera por C. Planck en 1905. Un hipercubo mágico nasik ha1/2(3 n - 1) líneas de m números que pasan por cada una de las m n celdas.
Notaciones
Para tener las cosas a mano, se desarrolló una notación especial:
- : posiciones dentro del hipercubo
- : vector a través del hipercubo
Nota: La notación de la posición también se puede utilizar para el valor de esa posición. Luego, donde sea apropiado, se le puede agregar dimensión y orden, formando así: n [ k i] m
Como se indica, 'k' corre a través de las dimensiones, mientras que la coordenada 'i' corre a través de todos los valores posibles, cuando los valores 'i' están fuera del rango, simplemente se mueve de regreso al rango agregando o restando múltiplos apropiados de m, como el hipercubo mágico reside en un espacio modular n-dimensional.
Puede haber múltiples 'k' entre paréntesis, estos no pueden tener el mismo valor, aunque en orden indeterminado, lo que explica la igualdad de:
Por supuesto, dado 'k' también se hace referencia a un valor 'i'.
Cuando se menciona un valor de coordenada específico, los otros valores se pueden tomar como 0, que es especialmente el caso cuando la cantidad de 'k's está limitada usando pe. # k = 1 como en:
("axial" -vecino de )
(# j = n-1 puede dejarse sin especificar) j ahora recorre todos los valores en [0..k-1, k + 1..n-1].
Además: sin restricciones, la 'k' especificada y la 'i' recorren todos los valores posibles, en combinaciones, las mismas letras asumen los mismos valores. Por lo tanto, hace posible especificar una línea particular dentro del hipercubo (ver r-agonal en la sección de Pathfinder)
Nota: hasta donde yo sé, esta notación aún no es de uso general (?), Los hipercubos generalmente no se analizan de esta manera en particular.
Además: " perm (0..n-1) " especifica una permutación de los n números 0..n-1.
Construcción
Además de construcciones más específicas, se notan dos métodos de construcción más generales:
Construcción KnightJump
Esta construcción generaliza el movimiento de los caballos de tablero de ajedrez (vectores ) a movimientos más generales (vectores ). El método comienza en la posición P 0 y los números adicionales se colocan secuencialmente en las posicionesmás hasta que (después de m pasos) se alcanza una posición que ya está ocupada, se necesita un vector adicional para encontrar la siguiente posición libre. Por lo tanto, el método está especificado por la matriz n por n + 1:
Esto coloca el número 'k' en la posición:
C. Planck da en su artículo de 1905 " La teoría de Path Nasiks " las condiciones para crear con este método hipercubos "Path Nasik" (o modernos {perfectos}).
Construcción de prescripción latina
(ecuaciones modulares). Este método también se especifica mediante una matriz de n por n + 1. Sin embargo esta vez multiplica el vector n + 1 [x 0 , .., x n-1 , 1], luego de esta multiplicación se toma el resultado del módulo m para lograr los n hipercubos (latinos):
LP k = ( l = 0 Σ n-1 LP k, l x l + LP k, n )% m
de números de base m (también llamados " dígitos "). En estos LP k , el " cambio de dígitos " (es decir, manipulación básica) se aplica generalmente antes de que estos LP k se combinen en el hipercubo:
norte H m = k = 0 Σ n-1 LP k m k
JRHendricks a menudo usa ecuaciones modulares, las condiciones para hacer hipercubos de diversa calidad se pueden encontrar en http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia en varios lugares (especialmente p-section)
Ambos métodos llenan el hipercubo con números, el salto a caballo garantiza (dados los vectores apropiados) que todos los números están presentes. La prescripción latina solo si los componentes son ortogonales (no hay dos dígitos que ocupen la misma posición)
Multiplicación
Entre las diversas formas de composición, la multiplicación [1] puede considerarse como el más básico de estos métodos. La multiplicación básica viene dada por:
norte H metro 1 * norte H metro 2 : norte [ k yo] metro 1 metro 2 = norte [[[ k yo \ metro 2 ] metro 1 metro 1 norte ] metro 2 + [ k yo% metro 2 ] metro 2 ] metro 1 m 2
La mayoría de los métodos de composición pueden verse como variaciones de los anteriores.Como la mayoría de los calificadores son invariantes en la multiplicación, se puede, por ejemplo, colocar cualquier variante de aspecto de n H m 2 en la ecuación anterior, además de que en el resultado se puede aplicar una manipulación para mejorar la calidad. . Por lo tanto, se puede especificar la duplicación de JR Hendricks / M. Trenklar. Estas cosas van más allá del alcance de este artículo.
Aspectos
¡Un hipercubo sabe n! 2 n Variantes de aspecto, que se obtienen por reflexión de coordenadas ([ k i] -> [ k (-i)]) y permutaciones de coordenadas ([ k i] -> [ perm [k] i]) dando efectivamente el aspecto variante:
n H m ~ R permanente (0..n-1) ; R = k = 0 Σ n-1 ((refleja (k))? 2 k : 0); perm (0..n-1) una permutación de 0..n-1
Donde reflect (k) es verdadero sif la coordenada k se refleja, solo entonces 2 k se agrega a R. Como es fácil de ver, solo n coordenadas pueden reflejarse explicando 2 n , ¡n! La permutación de n coordenadas explica el otro factor de la cantidad total de "variantes de aspecto".
Las variantes de aspecto generalmente se consideran iguales. Por lo tanto, cualquier hipercubo se puede representar en "posición normal" mediante:
[ k 0] = min ([ k θ; θ ε {-1,0}]) (por reflexión)[ k 1; # k = 1] <[ k + 1 1; # k = 1]; k = 0..n-2 (por permutación de coordenadas)
(indicado aquí explícitamente: [ k 0] el mínimo de todos los puntos de las esquinas. El vecino axial secuencialmente basado en el número axial)
Manipulaciones básicas
Además de manipulaciones más específicas, las siguientes son de naturaleza más general
- # [perm (0..n-1)] : permutación de componentes
- ^ [perm (0..n-1)] : permutación de coordenadas (n == 2: transponer)
- _2 eje [perm (0..m-1)] : permutación monagonal (eje ε [0..n-1])
- = [perm (0..m-1)] : cambio de dígito
Nota: '#', '^', '_' y '=' son parte esencial de la notación y se utilizan como selectores de manipulación.
Permutación de componentes
Definido como el intercambio de componentes, variando así el factor m k en m perm (k) , debido a que hay n componentes hipercubos la permutación es sobre estos n componentes
Permutación de coordenadas
El intercambio de coordenada [ k i] en [ perm (k) i], debido a n coordenadas, se requiere una permutación sobre estas n direcciones.
El término transposición (generalmente denotado por t ) se usa con matrices bidimensionales, en general, aunque quizás sea preferible la "permutación de coordenadas".
Permutación monagonal
Definido como el cambio de [ k i ] en [ k perm (i) ] junto con la dirección "axial" dada. La permutación igual a lo largo de varios ejes se puede combinar sumando los factores de 2 ejes . Definiendo así todo tipo de permutaciones r-agónicas para cualquier r. Es fácil ver que todas las posibilidades están dadas por la correspondiente permutación de m números.
Tenga en cuenta que la reflexión es el caso especial:
~ R = _R [n-1, .., 0]
Además, cuando todos los ejes experimentan lo mismo; permutación (R = 2 n -1) se logra una permutación n-agonal , en este caso especial, la 'R' generalmente se omite, por lo que:
_ [permanente (0..n-1)] = _ (2 n -1) [permanente (0..n-1)]
Cambio de dígitos
Usualmente se aplica a nivel de componente y puede verse como dado por [ k i] en perm ([ k i] ) dado que un componente se llena con radix m dígitos, una permutación sobre m números es una manera apropiada de denotarlos.
Conquistadores
JR Hendricks llamó a las direcciones dentro de un hipercubo " pioneros ", estas direcciones son las más simples denotadas en un sistema numérico ternario como:
Pf p donde: p = k = 0 Σ n-1 ( k i + 1) 3 k <==> < k i>; i ε {-1,0,1}
Esto da 3 n direcciones. dado que cada dirección se atraviesa en ambos sentidos, se puede limitar a la mitad superior [(3 n -1) / 2, .., 3 n -1)] del rango completo.
Con estos exploradores se puede especificar cualquier línea a sumar (o r-agonal):
[ j 0 k p l q; # j = 1 # k = r-1; k> j] < j 1 k θ l 0; θ ε {-1,1}>; p, q ε [0, .., m-1]
que especifica todos los rangos r (rotos), pyq podrían omitirse de esta descripción. Los principales r-agonales (ininterrumpidos) vienen dados por la ligera modificación de lo anterior:
[ j 0 k 0 l -1 s p; # j = 1 # k + # l = r-1; k, l> j] < j 1 k 1 l -1 s 0>
Calificaciones
Un hipercubo n H m con números en el rango numérico analítico [0..m n -1] tiene la suma mágica:
norte S m = metro (metro norte - 1) / 2.
Además de las calificaciones más específicas, las siguientes son las más importantes, "sumar", por supuesto, significa "sumar correctamente a la suma mágica".
- { r-agonal }: todos los r-agonals principales (ininterrumpidos) se suman.
- { pan r-agonal }: todos los r-agonals (ininterrumpidos y rotos) se suman.
- { magia }: {1-agonal n-agonal}
- { perfecto }: {pan r-agonal; r = 1..n}
Nota: Esta serie no comienza con 0 ya que no existe un nill-agonal, los números se corresponden con los apodos habituales: 1-agonal = monagonal, 2-agonal = diagonal, 3-agonal = triagonal etc. Aparte de esto, el número corresponde a la cantidad de "-1" y "1" en el buscador de caminos correspondiente.
En caso de que el hipercubo también sume cuando todos los números se elevan a la potencia p, se obtienen hipercubos p-multimágicos. Los calificadores anteriores simplemente se anteponen al calificador p-multimagic. Esto define las calificaciones como {r-agonal 2-magic}. Aquí también "2-" generalmente se reemplaza por "bi", "3-" por "tri", etc. ("1-magic" sería "monomágico" pero "mono" generalmente se omite). La suma de los hipercubos p-Multimagic se puede encontrar usando la fórmula de Faulhaber y dividirla por m n-1 .
También se suele asumir "mágico" (es decir, {1-agonal n-agonal}), el cubo {diagonal} de Trump / Boyer se ve técnicamente {1-agonal 2-agonal 3-agonal}.
El hipercubo mágico de Nasik da argumentos para usar { nasik } como sinónimo de { perfecto }. Sin embargo, la extraña generalización del cuadrado 'perfecto' para usarlo como sinónimo de {diagonal} en cubos también se resuelve poniendo corchetes alrededor de los calificadores, por lo que { perfecto } significa {pan r-agonal; r = 1..n} (como se mencionó anteriormente).
algunas calificaciones menores son:
- { n compacto }: {todos los cubos subhyper de orden 2 suman 2 n n S m / m}
- { n completo }: {todos los pares reducen a la mitad una suma separada n-agonal igual (a (m n - 1)}
{ n compacto } se puede poner en notación como: (k) Σ [ j i + k 1] = 2 n n S m / m .
{ n completo } se puede escribir simplemente como: [ j i] + [ j i + k (m / 2); # k = n] = m norte - 1 .
Donde:
(k) Σ es simbólico para sumar todas las k posibles, hay 2 n posibilidades para k 1.
[ j i + k 1] expresa [ j i] y todos sus vecinos r-agonales.
para {completo} el complemento de [ j i] está en la posición [ j i + k (m / 2); # k = n].
para cuadrados: { 2 compact 2 complete } es la "calificación moderna / alternativa" de lo que Dame Kathleen Ollerenshaw llamó el cuadrado mágico más perfecto , { n compact n complete} es la calificación para la función en más de 2 dimensiones
Precaución: algunas personas parece equiparar {compacto} con { 2 compacto} en lugar de { n compacto}. Dado que este artículo introductorio no es el lugar para discutir este tipo de cuestiones, puse en el pre-superíndice dimensional n para ambos calificadores (que se definen como se muestra), las
consecuencias de { n compact} es que varias cifras también suman, ya que pueden ser formado sumando / restando orden 2 sub-hipercubos. Problemas como estos van más allá del alcance de este artículo.
Ver también
Referencias
- ^ esta es una versión n-dimensional de (pe.): Multiplicación de cuadrados mágicos de Alan Adler
Otras lecturas
- JRHendricks: Magic Squares to Tesseract by Computer, autoeditado, 1998, 0-9684700-0-9
- Planck, C., MA, MRCS, The Theory of Paths Nasik, 1905, impreso para circulación privada. Carta de presentación al periódico
enlaces externos
- Artículos de la Enciclopedia Mágica de Aale de Winkel
- Cubos mágicos e hipercubos: referencias recopiladas por Marian Trenkler
- Un algoritmo para hacer cubos mágicos de Marian Trenkler
- multimagie.com Artículos de Christian Boyer
- magichypercube.com Un generador de cubos mágicos