En matemáticas , el teorema de Maharam es un resultado profundo sobre la descomponibilidad de los espacios de medida , que juega un papel importante en la teoría de los espacios de Banach . En resumen, establece que todo espacio de medida completo se puede descomponer en "partes no atómicas" (copias de productos del intervalo unitario [0,1] en los reales) y "partes puramente atómicas", utilizando la medida de conteo en algunos espacio discreto. [1] El teorema se debe a Dorothy Maharam . Se extendió a localizables espacios medida por Irving Segal . [2]
El resultado es importante para la teoría clásica del espacio de Banach, ya que, al considerar el espacio de Banach dado como un espacio de funciones mensurables sobre un espacio general mensurable, es suficiente entenderlo en términos de su descomposición en partes atómicas y no atómicas.
El teorema de Maharam también se puede traducir al lenguaje de las álgebras abelianas de von Neumann . Cada álgebra abeliana de von Neumann es isomórfica a un producto de álgebras abelianas de von Neumann finitas σ, y cada álgebra abeliana de von Neumann σ-finita es isomórfica a un tensor espacial producto de álgebras abelianas de von Neumann discretas, es decir, álgebras de funciones acotadas en un conjunto discreto .
Kazimierz Kuratowski dio un teorema similar para los espacios polacos , afirmando que son isomorfos, como espacios de Borel , a los reales, los enteros o un conjunto finito.
Referencias
- ^ Maharam, Dorothy (1942). "Sobre álgebras de medidas homogéneas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 28 : 108-111.
- ^ Segal, Irving E. (1951). "Equivalencias de espacios de medida". Revista Estadounidense de Matemáticas . 73 : 275–313.