En matemáticas , el teorema de interpolación de Marcinkiewicz , descubierto por Józef Marcinkiewicz ( 1939 ), es un resultado que limita las normas de los operadores no lineales que actúan sobre L p espacios .
El teorema de Marcinkiewicz es similar al teorema de Riesz-Thorin sobre los operadores lineales , pero también se aplica a los operadores no lineales.
Preliminares
Sea f una función medible con valores reales o complejos, definida en un espacio de medida ( X , F , ω). La función de distribución de f está definida por
Entonces f se llama débilsi existe una constante C tal que la función de distribución de f satisface la siguiente desigualdad para todo t > 0:
La constante C más pequeña en la desigualdad anterior se llama débilnorma y generalmente se denota por o De manera similar, el espacio generalmente se denota por L 1, w o L 1, ∞ .
(Nota: esta terminología es un poco engañosa ya que la norma débil no satisface la desigualdad del triángulo como se puede ver al considerar la suma de las funciones en dada por y , que tiene la norma 4 no 2.)
Alguna La función pertenece a L 1, w y además uno tiene la desigualdad
Esto no es más que la desigualdad de Markov (también conocida como Desigualdad de Chebyshev ). Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, la función 1 / x pertenece a L 1, w pero no a L 1 .
Del mismo modo, uno puede definir el débilespacio como el espacio de todas las funciones f tales quepertenecen a L 1, w , y los débilesnorma de uso
Más directamente, la norma L p , w se define como la mejor constante C en la desigualdad
para todo t > 0.
Formulación
De manera informal, el teorema de Marcinkiewicz es
- Teorema. Sea T un operador lineal acotado de a y al mismo tiempo desde a . Entonces T también es un operador acotado de a para cualquier r entre p y q .
En otras palabras, incluso si sólo necesita acotación débil en el extremo p y q , sigue recibiendo el interior de la acotación regular. Para hacer esto más formal, hay que explicar que T está limitado solo a un subconjunto denso y se puede completar. Consulte el teorema de Riesz-Thorin para conocer estos detalles.
Donde el teorema de Marcinkiewicz es más débil que el teorema de Riesz-Thorin es en las estimaciones de la norma. El teorema da límites para elnorma de T, pero este límite aumenta hasta el infinito cuando r converge hacia p o q . Específicamente ( DiBenedetto 2002 , Teorema VIII.9.2), suponga que
de modo que la norma del operador de T de L p a L p , w es como máximo N p , y la norma del operador de T de L q a L q , w es como máximo N q . A continuación, la siguiente desigualdad interpolación se mantiene para todos los r entre p y q y todo f ∈ L r :
dónde
y
Las constantes δ y γ también se pueden dar para q = ∞ pasando al límite.
Una versión del teorema también se cumple de manera más general si solo se supone que T es un operador cuasilineal en el siguiente sentido: existe una constante C > 0 tal que T satisface
para casi cada x . El teorema se cumple exactamente como se indica, excepto con γ reemplazado por
Un operador T (posiblemente cuasilineal) que satisface una estimación de la forma
se dice que es de tipo débil ( p , q ) . Un operador es simplemente de tipo ( p , q ) si T es una transformación acotada de L p a L q :
Una formulación más general del teorema de interpolación es la siguiente:
- Si T es un operador cuasilineal de tipo débil ( p 0 , q 0 ) y de tipo débil ( p 1 , q 1 ) donde q 0 ≠ q 1 , entonces para cada θ ∈ (0,1), T es de tipo ( p , q ), para p y q con p ≤ q de la forma
La última formulación se deriva de la primera a través de una aplicación de la desigualdad de Hölder y un argumento de dualidad. [ cita requerida ]
Aplicaciones y ejemplos
Un ejemplo de aplicación famoso es la transformación de Hilbert . Considerada como un multiplicador , la transformada de Hilbert de una función f puede calcularse tomando primero la transformada de Fourier de f , luego multiplicándola por la función de signo y finalmente aplicando la transformada de Fourier inversa .
Por tanto, el teorema de Parseval muestra fácilmente que la transformada de Hilbert está limitada por a . Un hecho mucho menos obvio es que se limita a a . Por tanto, el teorema de Marcinkiewicz muestra que está acotado de a para cualquier 1 < p <2. Los argumentos de dualidad muestran que también está acotado para 2 < p <∞. De hecho, la transformada de Hilbert es realmente ilimitada para p igual a 1 o ∞.
Otro ejemplo famoso es la función máxima de Hardy-Littlewood , que es solo un operador sublineal en lugar de lineal. Tiempo a Los límites se pueden derivar inmediatamente de la a débil Estimación mediante un cambio inteligente de variables, la interpolación de Marcinkiewicz es un enfoque más intuitivo. Dado que la función máxima de Hardy-Littlewood está limitada trivialmente de a , fuerte delimitación para todos se deduce inmediatamente de la estimación e interpolación débiles (1,1). La estimación débil (1,1) se puede obtener del lema de cobertura de Vitali .
Historia
El teorema fue anunciado por primera vez por Marcinkiewicz (1939) , quien mostró este resultado a Antoni Zygmund poco antes de morir en la Segunda Guerra Mundial. El teorema casi fue olvidado por Zygmund y estuvo ausente en sus trabajos originales sobre la teoría de los operadores integrales singulares . Más tarde, Zygmund (1956) se dio cuenta de que el resultado de Marcinkiewicz podría simplificar enormemente su trabajo, momento en el que publicó el teorema de su antiguo alumno junto con una generalización propia.
En 1964, Richard A. Hunt y Guido Weiss publicaron una nueva prueba del teorema de interpolación de Marcinkiewicz. [1]
Ver también
Referencias
- ^ Hunt, Richard A .; Weiss, Guido (1964). "El teorema de interpolación de Marcinkiewicz" . Actas de la American Mathematical Society . 15 (6): 996–998. doi : 10.1090 / S0002-9939-1964-0169038-4 . ISSN 0002-9939 .
- DiBenedetto, Emmanuele (2002), Análisis real , Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
- Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7.
- Marcinkiewicz, J. (1939), "Sur l'interpolation d'operations" , CR Acad. Sci. París , 208 : 1272–1273
- Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier sobre espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
- Zygmund, A. (1956), "Sobre un teorema de Marcinkiewicz sobre la interpolación de operaciones", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 35 : 223–248, ISSN 0021-7824 , MR 0080887