Multiplicador (análisis de Fourier)

Este artículo incluye una lista de referencias generales , pero permanece en gran parte sin verificar porque carece de suficientes citas en línea correspondientes . Ayude a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( Febrero de 2016 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

En el análisis de Fourier , un operador multiplicador es un tipo de operador lineal o transformación de funciones . Estos operadores actúan sobre una función alterando su transformada de Fourier . Específicamente, multiplican la transformada de Fourier de una función por una función específica conocida como multiplicador o símbolo . Ocasionalmente, el término operador multiplicador en sí mismo se abrevia simplemente a multiplicador . ^[1] En términos simples, el multiplicador cambia la forma de las frecuencias involucradas en cualquier función. Esta clase de operadores resulta ser amplia: la teoría general muestra que un operador invariante en traducción en unEl grupo que obedece a algunas condiciones de regularidad (muy leves) se puede expresar como un operador multiplicador y viceversa. ^[2] Muchos operadores familiares, como las traducciones y la diferenciación , son operadores multiplicadores, aunque hay muchos ejemplos más complicados como la transformada de Hilbert .

En el procesamiento de señales , un operador multiplicador se denomina " filtro " y el multiplicador es la respuesta de frecuencia del filtro (o función de transferencia ).

En el contexto más amplio, los operadores multiplicadores son casos especiales de operadores multiplicadores espectrales, que surgen del cálculo funcional de un operador (o familia de operadores de conmutación). También son casos especiales de operadores pseudo-diferenciales y, más generalmente, operadores integrales de Fourier . Hay preguntas naturales en este campo que aún están abiertas, como la caracterización de los operadores multiplicadores acotados L ^p (ver más abajo).

Los operadores multiplicadores no están relacionados con los multiplicadores de Lagrange , excepto que ambos involucran la operación de multiplicación.

Para obtener los antecedentes necesarios sobre la transformada de Fourier , consulte esa página. Se pueden encontrar antecedentes importantes adicionales en la norma del operador de páginas y el espacio L ^p .

Ejemplos de

En el establecimiento de funciones periódicas definidas en el círculo unitario , la transformada de Fourier de una función es simplemente la secuencia de sus coeficientes de Fourier . Para ver que la diferenciación se puede realizar como un multiplicador, considere la serie de Fourier para la derivada de una función periódica Después de usar la integración por partes en la definición del coeficiente de Fourier, tenemos que${\displaystyle f(t).}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$.

Entonces, formalmente, se sigue que la serie de Fourier para la derivada es simplemente la serie de Fourier para multiplicada por un factor . Esto es lo mismo que decir que la diferenciación es un operador multiplicador con multiplicador .${\displaystyle f}$${\displaystyle in}$${\displaystyle in}$

Un ejemplo de un operador multiplicador que actúa sobre funciones en la línea real es la transformada de Hilbert . Se puede demostrar que la transformada de Hilbert es un operador multiplicador cuyo multiplicador viene dado por , donde sgn es la función signum .${\displaystyle m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )}$

Finalmente otro ejemplo importante de un multiplicador es la función característica del cubo unitario en el que surge en el estudio de las "sumas parciales" para la transformada de Fourier (ver Convergencia de series de Fourier ).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición

Los operadores multiplicadores se pueden definir en cualquier grupo G para el que también se define la transformada de Fourier (en particular, en cualquier grupo abeliano localmente compacto ). La definición general es la siguiente. Si es una función suficientemente regular , denotemos su transformada de Fourier (donde es el dual de Pontryagin de G ). Dejar que denotan otra función, que llamaremos el multiplicador . Entonces el operador multiplicador asociado a este símbolo m se define mediante la fórmula${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle m:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle {\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi ).}$

En otras palabras, la transformada de Fourier de Tf a una frecuencia ξ viene dada por la transformada de Fourier de f a esa frecuencia, multiplicada por el valor del multiplicador a esa frecuencia. Esto explica la terminología "multiplicador".

Tenga en cuenta que la definición anterior solo define Tf implícitamente; para recuperar Tf explícitamente, es necesario invertir la transformada de Fourier. Esto se puede hacer fácilmente si tanto f como m son lo suficientemente suaves e integrables. Uno de los principales problemas del tema es determinar, para cualquier multiplicador especificado m , si el correspondiente operador del multiplicador de Fourier sigue estando bien definido cuando f tiene una regularidad muy baja, por ejemplo, si solo se supone que se encuentra en un L ^p espacio. Vea la discusión sobre el "problema de delimitación" a continuación. Como mínimo, normalmente se requiere que el multiplicador m sea ​​acotado y medible; esto es suficiente para establecer la delimitación, pero en general no es lo suficientemente fuerte como para dar delimitación a otros espacios.${\displaystyle L^{2}}$

Se puede ver el operador multiplicador T como la composición de tres operadores, a saber, la transformada de Fourier, la operación de multiplicación puntual por my luego la transformada de Fourier inversa. De manera equivalente, T es la conjugación del operador de multiplicación puntual por la transformada de Fourier. Por tanto, uno puede pensar en los operadores multiplicadores como operadores que están diagonalizados por la transformada de Fourier.

Operadores multiplicadores en grupos comunes

Ahora nos especializamos la definición general anterior a grupos específicos G . En primer lugar, considere que las funciones del círculo unitario en G pueden considerarse funciones periódicas 2π en la línea real. En este grupo, el dual de Pontryagin es el grupo de enteros, La transformada de Fourier (para funciones suficientemente regulares f ) viene dada por${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ;}$${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {Z} .}$

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt}$

y la transformada de Fourier inversa está dada por

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.}$

Un multiplicador en esta configuración es simplemente una secuencia de números, y el operador asociado a este multiplicador viene dado por la fórmula${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle (Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},}$

al menos para elecciones suficientemente correctas del multiplicador y la función f .${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$

Ahora sea G un espacio euclidiano . Aquí el grupo dual también es euclidiano, y las transformadas de Fourier y de Fourier inversa están dadas por las fórmulas${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{aligned}}}$

Un multiplicador en esta configuración es una función y el operador del multiplicador asociado se define por${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,}$

nuevamente asumiendo suposiciones de regularidad y delimitación suficientemente fuertes sobre el multiplicador y la función.

En el sentido de distribuciones , no hay diferencia entre operadores multiplicadores y operadores de convolución ; cada multiplicador T también se puede expresar en la forma Tf = f * K por alguna distribución K , conocido como el núcleo de convolución de T . En este punto de vista, la traslación en una cantidad x ₀ es una convolución con una función delta de Dirac δ (· -  x ₀ ), la diferenciación es una convolución con δ '. En la tabla siguiente se dan más ejemplos .

Diagramas

Más ejemplos

En el círculo unitario

La siguiente tabla muestra algunos ejemplos comunes de operadores multiplicadores en el círculo unitario ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$

Nombre	Multiplicador, ${\displaystyle m_{n}}$	Operador, ${\displaystyle Tf(t)}$	Núcleo, ${\displaystyle K(t)}$
Operador de identidad	1	f ( t )	Función delta de Dirac ${\displaystyle \delta (t)}$
Multiplicación por una constante c	C	cf ( t )	${\displaystyle c\delta (t)}$
Traducción por s	${\displaystyle e^{-ins}}$	f ( t  -  s )	${\displaystyle \delta (t-s)}$
Diferenciación	en	${\displaystyle f'(t)}$	${\displaystyle \delta '(t)}$
diferenciación de k -fold	${\displaystyle (in)^{k}}$	${\displaystyle f^{(k)}(t)}$	${\displaystyle \delta ^{(k)}(t)}$
Operador diferencial de coeficiente constante	${\displaystyle P(in)}$	${\displaystyle P\left({\frac {d}{dt}}\right)f(t)}$	${\displaystyle P\left({\frac {d}{dt}}\right)\delta (t)}$
Derivada fraccional de orden${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle |n|^{\alpha }}$	${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }f(t)}$	${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }\delta (t)}$
Valor medio	${\displaystyle 1_{n=0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt}$	1
Componente libre de media	${\displaystyle 1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle f(t)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt}$	${\displaystyle \delta (t)-1}$
Integración (de componente libre de media)	${\displaystyle {\frac {1}{in}}1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(\pi -s)f(t-s)\,ds}$	Función de diente de sierra ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-\left\{{\frac {t}{2\pi }}\right\}\right)}$
Transformada periódica de Hilbert H	${\displaystyle 1_{n\geq 0}-1_{n<0}}$	${\displaystyle Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds}$	${\displaystyle p.v.2{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds}$
Suma de Dirichlet ${\displaystyle D_{N}}$	${\displaystyle 1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{int}}$	Núcleo de Dirichlet ${\displaystyle {\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}}$
Suma de Fejér ${\displaystyle F_{N}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {|n|}{N}}\right)1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right){\hat {f}}(n)e^{int}}$	Núcleo de fejér ${\displaystyle {\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}Nt\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}\right)^{2}}$
Multiplicador general	${\displaystyle m_{n}}$	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int}}$	${\displaystyle T\delta (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}e^{int}}$
Operador de convolución general	${\displaystyle {\hat {K}}(n)}$	${\displaystyle f*K(t):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(s)K(t-s)\,ds}$	${\displaystyle K(t)}$

En el espacio euclidiano

La siguiente tabla muestra algunos ejemplos comunes de operadores multiplicadores en el espacio euclidiano .${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$

Nombre	Multiplicador, ${\displaystyle m(\xi )}$	Operador, ${\displaystyle Tf(x)}$	Núcleo, ${\displaystyle K(x)}$
Operador de identidad	1	f ( x )	${\displaystyle \delta (x)}$
Multiplicación por una constante c	C	cf ( x )	${\displaystyle c\delta (x)}$
Traducción por y	${\displaystyle e^{2\pi iy\cdot \xi }}$	${\displaystyle f(x-y)}$	${\displaystyle \delta (x-y)}$
Derivado (solo una dimensión)${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$	${\displaystyle 2\pi i\xi }$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)}$	${\displaystyle \delta '(x)}$
Derivada parcial ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$	${\displaystyle 2\pi i\xi _{j}}$	${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)}$	${\displaystyle {\frac {\partial \delta }{\partial x_{j}}}(x)}$
Laplaciano ${\displaystyle \Delta }$	${\displaystyle -4\pi ^{2}|\xi |^{2}}$	${\displaystyle \Delta f(x)}$	${\displaystyle \Delta \delta (x)}$
Operador diferencial de coeficiente constante ${\displaystyle P(\nabla )}$	${\displaystyle P(i\xi )}$	${\displaystyle P(\nabla )f(x)}$	${\displaystyle P(\nabla )\delta (x)}$
Derivada fraccional de orden ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (2\pi |\xi |)^{\alpha }}$	${\displaystyle (-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}f(x)}$	${\displaystyle (-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\delta (x)}$
Riesz potencial de orden${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (2\pi |\xi |)^{-\alpha }}$	${\displaystyle (-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)}$	${\displaystyle (-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}\delta (x)=c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}}$
Bessel potencial de orden${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \left(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2}\right)^{-{\frac {\alpha }{2}}}}$	${\displaystyle (1-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi )^{\frac {\alpha }{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\pi }{s}}|x|^{2}}e^{-{\frac {s}{4\pi }}}s^{\frac {-n+\alpha }{2}}{\frac {ds}{s}}}$
Operador de flujo de calor ${\displaystyle \exp(t\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left(-4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)}$	${\displaystyle \exp(t\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy}$	Núcleo de calor ${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {|x|^{2}}{4t}}}}$
Operador de evolución de la ecuación de Schrödinger${\displaystyle \exp(it\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left(-i4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)}$	${\displaystyle \exp(it\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy}$	Núcleo de Schrödinger ${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}e^{i{\frac {|x|^{2}}{4t}}}}$
Transformada de Hilbert H (solo una dimensión)	${\displaystyle -i\operatorname {sgn}(\xi )}$	${\displaystyle Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(y)}{x-y}}\,dy}$	${\displaystyle p.v.{\frac {1}{\pi x}}}$
Riesz transforma R j	${\displaystyle -i{\frac {\xi _{j}}{|\xi |}}}$	${\displaystyle R_{j}f:=p.v.c_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)(x_{j}-y_{j})}{|x-y|^{n+1}}}\,dy}$	${\displaystyle p.v.{\frac {c_{n}x_{j}}{|x|^{n+1}}},\quad c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}(n+1)\right)}{\pi ^{{\frac {1}{2}}(n+1)}}}}$
Integral de Fourier parcial (solo una dimensión)${\displaystyle S_{R}^{0}}$	${\displaystyle 1_{-R\leq \xi \leq R}}$	${\displaystyle \int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx}$	${\displaystyle {\frac {\sin(2\pi Rx)}{\pi x}}}$
Multiplicador de disco ${\displaystyle S_{R}^{0}}$	${\displaystyle 1_{|\xi |\leq R}}$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx}$	${\displaystyle |x|^{-{\frac {n}{2}}}J_{\frac {n}{2}}(2\pi |x|)}$( J es una función de Bessel )
Operadores de Bochner – Riesz ${\displaystyle S_{R}^{\delta }}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }}$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi }$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi }$
Multiplicador general	${\displaystyle m(\xi )}$	${\displaystyle \int _{R^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi }$	${\displaystyle \int _{R^{n}}m(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi }$
Operador de convolución general	${\displaystyle {\hat {K}}(\xi )}$	${\displaystyle f*K(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)K(x-y)\,dy}$	${\displaystyle K(x)}$

Consideraciones Generales

El mapa es un homomorfismo de C * -álgebras . Esto se debe a que la suma de dos operadores multiplicadores y es un operador multiplicador con multiplicador , la composición de estos dos operadores multiplicador es un operador multiplicador con multiplicador y el adjunto de un operador multiplicador es otro operador multiplicador con multiplicador .${\displaystyle m\mapsto T_{m}}$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle T_{m'}}$${\displaystyle m+m'}$${\displaystyle mm',}$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle {\overline {m}}}$

En particular, vemos que dos operadores multiplicadores se conmutan entre sí. Se sabe que los operadores multiplicadores son invariantes en la traducción. A la inversa, se puede mostrar que cualquier operador lineal invariante en la traducción que esté limitado a L ² ( G ) es un operador multiplicador.

El problema de la delimitación de L ^p

El problema de acotación de L ^p (para cualquier p en particular ) para un grupo G dado es, expresado simplemente, para identificar los multiplicadores m de manera que el correspondiente operador del multiplicador esté acotado de L ^p ( G ) a L ^p ( G ). Por lo general, estos multiplicadores se denominan simplemente " multiplicadores L ^p ". Tenga en cuenta que, dado que los operadores multiplicadores son siempre lineales, dichos operadores están limitados si y solo si son continuos . Este problema se considera extremadamente difícil en general, pero se pueden tratar muchos casos especiales. El problema depende en gran medida de p, aunque hay una relación de dualidad : si y 1 ≤ p , q ≤ ∞, entonces un operador multiplicador está acotado en L ^p si y solo si está acotado en L ^q .${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

El teorema de Riesz-Thorin muestra que si un operador multiplicador está acotado en dos espacios L ^p diferentes , entonces también está acotado en todos los espacios intermedios. Por lo tanto, obtenemos que el espacio de multiplicadores es más pequeño para L ¹ y L ^∞ y crece a medida que uno se acerca a L ² , que tiene el espacio de multiplicador más grande.

Delimitación en L ²

Este es el caso más sencillo. El teorema de Parseval permite resolver este problema por completo y obtener que una función m es un multiplicador L ² ( G ) si y solo si es acotado y medible.

Delimitación en L ¹ o L ^∞

Este caso es más complicado que el caso Hilbertiano ( L ² ), pero está completamente resuelto. Lo siguiente es cierto:

Teorema : En el espacio euclidiano, una función es un multiplicador L ¹ (equivalentemente un multiplicador L ^∞ ) si y solo si existe una medida finita de Borel μ tal que m es la transformada de Fourier de μ.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m(\xi )}$

(La parte "si" es un cálculo simple. La parte "solo si" aquí es más complicada).

Delimitación en L ^p para 1 < p <∞

En este caso general, no se han establecido las condiciones necesarias y suficientes para la delimitación, incluso para el espacio euclidiano o el círculo unitario. Sin embargo, se conocen varias condiciones necesarias y varias condiciones suficientes. Por ejemplo, se sabe que para que un operador multiplicador esté acotado incluso en un solo espacio L ^p , el multiplicador debe ser acotado y medible (esto se sigue de la caracterización de los multiplicadores L ² anterior y la propiedad de inclusión). Sin embargo, esto no es suficiente excepto cuando p = 2.

Los resultados que dan condiciones suficientes para la delimitación se conocen como teoremas del multiplicador . A continuación se dan tres de estos resultados.

Teorema del multiplicador de Marcinkiewicz

Sea una función acotada que es continuamente diferenciable en cada conjunto de la forma ^{[ aclaración necesaria ]} para y tiene una derivada tal que${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)}$${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi \right)<\infty .}$

Entonces m es un multiplicador de L ^p para todo 1 < p <∞.

Teorema del multiplicador de Mikhlin

Sea m una función acotada sobre la cual es suave excepto posiblemente en el origen, y tal que la función esté acotada para todos los enteros : entonces m es un multiplicador L ^p para todo 1 < p <∞ .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle |x|^{k}\left|\nabla ^{k}m\right|}$${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$

Este es un caso especial del teorema del multiplicador de Hörmander-Mikhlin.

Las demostraciones de estos dos teoremas son bastante complicadas, e involucran técnicas de la teoría de Calderón-Zygmund y el teorema de interpolación de Marcinkiewicz : para la demostración original, vea Mikhlin (1956) o Mikhlin (1965 , pp. 225-240).

Multiplicadores radiales

Para los multiplicadores radiales , se conoce una condición necesaria y suficiente para la delimitación para algún rango parcial de . Deja y . Suponga que es un multiplicador radial apoyado de forma compacta lejos del origen. Entonces es un multiplicador si y solo si la transformada de Fourier de pertenece a .${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n\geq 4}$${\textstyle 1<p<2{\frac {n-1}{n+1}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

Este es un teorema de Heo, Nazarov y Seeger . ^[3] También proporcionaron una condición necesaria y suficiente que es válida sin el supuesto de soporte compacto en .${\displaystyle m}$

Ejemplos de

Las traducciones son operadores acotados en cualquier L ^p . La diferenciación no está limitada a ningún L ^p . La transformada de Hilbert está limitada solo para p estrictamente entre 1 y ∞. El hecho de que no esté acotado en L ^∞ es fácil, ya que es bien sabido que la transformada de Hilbert de una función escalonada es ilimitada. La dualidad da lo mismo para p = 1 . Sin embargo, los teoremas del multiplicador de Marcinkiewicz y Mikhlin muestran que la transformada de Hilbert está acotada en L ^p para todo 1 < p <∞ .

Otro caso interesante en el círculo unitario es cuando la secuencia que se propone como multiplicador es constante para n en cada uno de los conjuntos y del teorema del multiplicador de Marcinkiewicz (adaptado al contexto del círculo unitario) vemos que cualquier secuencia ( también se supone que está acotado, por supuesto) ^{[ aclaración necesaria ]} es un multiplicador por cada 1 < p <∞ .${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}}$${\displaystyle \left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}.}$

En una dimensión, el operador del multiplicador de disco (ver tabla anterior) está limitado a L ^p para cada 1 < p <∞ . Sin embargo, en 1972, Charles Fefferman mostró el sorprendente resultado de que en dos dimensiones o más, el operador del multiplicador de disco es ilimitado en L ^p para cada p ≠ 2 . El problema correspondiente para los multiplicadores de Bochner-Riesz solo se resuelve parcialmente; véase también la conjetura de Bochner-Riesz .${\displaystyle S_{R}^{0}}$${\displaystyle S_{R}^{0}}$

Ver también

• Lema de Calderón – Zygmund
• Teorema de Marcinkiewicz
• Integrales singulares
• Operadores integrales singulares de tipo convolución

Notas

1. Duoandikoetxea 2001 , sección 3.5.
2. Stein 1970 , Capítulo II.
3. Heo, Yaryong; Nazarov, Fëdor; Seeger, Andreas. Multiplicadores radiales de Fourier en grandes dimensiones. Acta Math. 206 (2011), núm. 1, 55--92. doi: 10.1007 / s11511-011-0059-x. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892528

Trabajos citados

• Duoandikoetxea, Javier (2001), Análisis de Fourier , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2172-5
• Stein, Elias M. (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciación de funciones , Princeton University Press

Referencias generales

• Grafakos, Loukas (2008), Análisis clásico de Fourier (2a ed.), Springer, ISBN 978-0-387-09431-1
• Katznelson, Yitzhak (2004), Introducción al análisis armónico , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
• Hörmander, Lars (1960), "Estimaciones para operadores invariantes de traducción en espacios L ^p ", Acta Mathematica , 104 : 93–140, doi : 10.1007 / bf02547187
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales, I.Teoría de la distribución y análisis de Fourier (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
• Mikhlin, Solomon G. (1956), "Sobre los multiplicadores de las integrales de Fourier", Doklady Akademii Nauk SSSR , 109 : 701–703, Zbl  0073.08402(en ruso ).
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Integrales singulares multidimensionales y ecuaciones integrales , Serie internacional de monografías en matemáticas puras y aplicadas, 83 , Pergamon Press , Zbl  0129.07701. Contiene un estudio completo de todos los resultados conocidos en el momento de la publicación, incluido un bosquejo de la historia.
• Rudin, Walter (1962), Análisis de Fourier sobre grupos , Interscience
• Torchinsky, Alberto (2004), Métodos de variables reales en análisis armónico , Dover, ISBN 0-486-43508-3