En matemáticas , una identidad es una igualdad que relaciona una expresión matemática A con otra expresión matemática B , de manera que A y B (que pueden contener algunas variables ) producen el mismo valor para todos los valores de las variables dentro de un cierto rango de validez. [1] [2] En otras palabras, A = B es una identidad si A y B definen las mismas funciones , y una identidad es una igualdad entre funciones que se definen de manera diferente. Por ejemplo, y son identidades. [2] Las identidades a veces se indican mediante el símbolo de barra triple ≡ en lugar de = , el signo igual . [3]
Identidades comunes
Identidades algebraicas
Ciertas identidades, como y , forman la base del álgebra, [4] mientras que otras identidades, como y , puede ser útil para simplificar expresiones algebraicas y expandirlas. [5]
Identidades trigonométricas
Geométricamente, las identidades trigonométricas son identidades que involucran ciertas funciones de uno o más ángulos . [6] Son distintas de las identidades de triángulos , que son identidades que involucran tanto ángulos como longitudes de lados de un triángulo . En este artículo solo se tratan los primeros.
Estas identidades son útiles cuando es necesario simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es la integración de funciones no trigonométricas: una técnica común que implica primero usar la regla de sustitución con una función trigonométrica y luego simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.
Uno de los ejemplos más destacados de identidades trigonométricas involucra la ecuación que es cierto para todos los valores complejos de (ya que los números complejos forman el dominio del seno y el coseno). Por otro lado, la ecuación
solo es cierto para ciertos valores de , no todos (ni para todos los valores de un barrio ). Por ejemplo, esta ecuación es verdadera cuando pero falso cuando .
Otro grupo de identidades trigonométricas se refiere a las llamadas fórmulas de suma / resta (por ejemplo, la identidad de doble ángulo , la fórmula de suma para ), [3] [1] que se puede utilizar para dividir expresiones de ángulos más grandes en aquellos con componentes más pequeños.
Identidades exponenciales
Las siguientes identidades son válidas para todos los exponentes enteros, siempre que la base no sea cero:
A diferencia de la suma y la multiplicación, la potenciación no es conmutativa . Por ejemplo, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 y 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , pero 2 3 = 8 , mientras que 3 2 = 9 .
Y a diferencia de la suma y la multiplicación, la exponenciación tampoco es asociativa . Por ejemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 y (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , pero 2 3 al 4 es 8 4 (o 4,096), mientras que 2 a 3 4 es 2 81 (o 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Sin paréntesis para modificar el orden de cálculo, por convención el orden es de arriba hacia abajo, no de abajo hacia arriba:
Identidades logarítmicas
Varias fórmulas importantes, a veces llamadas identidades logarítmicas o leyes logarítmicas, relacionan los logaritmos entre sí. [a]
Producto, cociente, potencia y raíz
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los números que se multiplican; el logaritmo de la razón de dos números es la diferencia de los logaritmos. El logaritmo de la p -ésima potencia de un número es p multiplicado por el logaritmo del número mismo; el logaritmo de una raíz p - ésima es el logaritmo del número dividido por p . La siguiente tabla enumera estas identidades con ejemplos. Cada una de las identidades se puede derivar después de la sustitución de las definiciones de logaritmos x = b log b (x) , y / o y = b log b (y) , en los lados izquierdos.
Fórmula | Ejemplo | |
---|---|---|
producto | ||
cociente | ||
energía | ||
raíz |
Cambio de base
El logaritmo log b ( x ) se puede calcular a partir de los logaritmos de x y b con respecto a una base arbitraria k utilizando la siguiente fórmula:
Las calculadoras científicas típicas calculan los logaritmos en bases 10 ye . [7] Los logaritmos con respecto a cualquier base b se pueden determinar usando cualquiera de estos dos logaritmos mediante la fórmula anterior:
Dado un número x y su logaritmo log b ( x ) en una base desconocida b , la base está dada por:
Identidades de funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas de forma similar a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn [8] establece que uno puede convertir cualquier identidad trigonométrica en una identidad hiperbólica expandiéndola completamente en términos de potencias integrales de senos y cosenos, cambiando seno a seno y coseno a cosh, y cambiando el signo de cada término. que contiene un producto de 2, 6, 10, 14, ... sinhs. [9]
La función de Gudermann da una relación directa entre las funciones circulares y las hiperbólicas que no involucra números complejos.
Lógica y álgebra universal
En lógica matemática y en álgebra universal , una identidad se define como una fórmula de la forma " ∀ x 1 , ..., x n . S = t ", donde s y t son términos sin otras variables libres que x 1 , ..., x n . El prefijo cuantificador ("∀ x 1 , ..., x n .") A menudo se deja implícito, en particular en el álgebra universal. Por ejemplo, los axiomas de un monoide a menudo se dan como el conjunto de identidad
- { ∀ x , y , z . x * ( y * z ) = ( x * y ) * z , ∀ x . x * 1 = x , ∀ x . 1 * x = x },
o, en notación corta, como
- { x * ( y * z ) = ( x * y ) * z , x * 1 = x , 1 * x = x }.
Algunos autores utilizan el nombre "ecuación" en lugar de "identidad". [10] [11]
Ver también
Referencias
Notas
- ^ Todas las declaraciones de esta sección se pueden encontrar en Shirali 2002 , Sección 4, Downing 2003 , p. 275, o Kate y Bhapkar 2009 , pág. 1-1, por ejemplo.
Citas
- ^ a b "El glosario definitivo de jerga matemática superior - identidad" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ a b "Mathwords: identidad" . www.mathwords.com . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ a b "Identidad - definición de palabras matemáticas - referencia abierta de matemáticas" . www.mathopenref.com . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ "Identidades básicas" . www.math.com . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ "Identidades algebraicas" . www.sosmath.com . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ Stapel, Elizabeth. "Identidades trigonométricas" . Purplemath . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), esbozo de teoría y problemas de elementos de estadística de Schaum. I, Estadística descriptiva y probabilidad , serie de esquemas de Schaum, Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-005023-5, pag. 21
- ^ Osborn, G. (1 de enero de 1902). "109. Mnemónico para fórmulas hiperbólicas" . La Gaceta Matemática . 2 (34): 189. doi : 10.2307 / 3602492 . JSTOR 3602492 .
- ^ Peterson, John Charles (2003). Matemática técnica con cálculo (3ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., Capítulo 26, página 1155
- ^ Nachum Dershowitz ; Jean-Pierre Jouannaud (1990). "Reescribir sistemas". En Jan van Leeuwen (ed.). Modelos formales y semántica . Manual de Informática Teórica. B . Elsevier. págs. 243–320.
- ^ Wolfgang Wechsler (1992). Wilfried Brauer ; Grzegorz Rozenberg ; Arto Salomaa (eds.). Álgebra universal para informáticos . Monografías de la EATCS sobre informática teórica. 25 . Berlín: Springer. ISBN 3-540-54280-9. Aquí: Def.1 de la Sección 3.2.1, p.160.
Fuentes
- Downing, Douglas (2003). Álgebra de la manera fácil . Serie Educativa Barrons. ISBN 978-0-7641-1972-9.
- Kate, SK; Bhapkar, HR (2009). Conceptos básicos de las matemáticas . Publicaciones técnicas. ISBN 978-81-8431-755-8.
- Shirali, S. (2002). Aventuras en la resolución de problemas . Prensa de Universidades. ISBN 978-81-7371-413-9.
enlaces externos
- The Encyclopedia of Equation Enciclopedia en línea de identidades matemáticas (archivada)
- Una colección de identidades algebraicas