En matemáticas , una serie es, en términos generales, una descripción de la operación de sumar infinitas cantidades, una tras otra, a una cantidad inicial dada. [1] El estudio de series es una parte importante del cálculo y su generalización, análisis matemático . Las series se utilizan en la mayoría de las áreas de las matemáticas, incluso para estudiar estructuras finitas (como en combinatoria ) mediante funciones generadoras . Además de su ubicuidad en las matemáticas, las series infinitas también se utilizan ampliamente en otras disciplinas cuantitativas como la física , la informática , la estadística yfinanzas .
Durante mucho tiempo, la idea de que una suma tan potencialmente infinita pudiera producir un resultado finito se consideró paradójica . Esta paradoja se resolvió utilizando el concepto de límite durante el siglo XVII. La paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga ilustra esta propiedad contraintuitiva de las sumas infinitas: Aquiles corre tras una tortuga, pero cuando alcanza la posición de la tortuga al comienzo de la carrera, la tortuga ha alcanzado una segunda posición; cuando alcanza esta segunda posición, la tortuga está en una tercera posición, y así sucesivamente. Zenón concluyó que Aquiles nunca podría alcanzar la tortuga y, por lo tanto, ese movimiento no existe. Zeno dividió la carrera en infinitas subrazas, cada una de las cuales requirió una cantidad finita de tiempo, de modo que el tiempo total para que Aquiles atrapara la tortuga viene dado por una serie. La resolución de la paradoja es que, aunque la serie tiene un número infinito de términos, tiene una suma finita, lo que da el tiempo necesario para que Aquiles alcance a la tortuga.
En terminología moderna, cualquier secuencia infinita (ordenada) de términos (es decir, números, funciones o cualquier cosa que se pueda agregar) define una serie, que es la operación de sumar el a i uno después del otro. Para enfatizar que hay un número infinito de términos, una serie puede llamarse serie infinita . Tal serie está representada (o denotada) por una expresión como
La secuencia infinita de adiciones que implica una serie no puede llevarse a cabo de manera efectiva (al menos en una cantidad de tiempo finita). Sin embargo, si el conjunto al que pertenecen los términos y sus sumas finitas tiene una noción de límite , a veces es posible asignar un valor a una serie, llamado suma de la serie. Este valor es el límite ya que n tiende a infinito (si el límite existe) de las sumas finitas de los n primeros términos de la serie, que se denominan las n- ésimas sumas parciales de la serie. Es decir, [2]
La notación denota tanto la serie, que es el proceso implícito de sumar los términos uno tras otro indefinidamente, como, si la serie es convergente, la suma de la serie, el resultado del proceso. Ésta es una generalización de la convención similar de denotar portanto la adición proceso -el de añadir-y su resultado-la suma de una y b .
Generalmente, los términos de una serie provienen de un anillo , a menudo el campo de los números reales o del campode los números complejos . En este caso, el conjunto de todas las series es en sí mismo un anillo (e incluso un álgebra asociativa ), en el que la suma consiste en sumar la serie término por término, y la multiplicación es el producto de Cauchy .
Propiedades básicas
Una serie infinita o simplemente una serie es una suma infinita, representada por una expresión infinita de la forma [4]
Si un grupo abeliano A de términos tiene un concepto de límite (por ejemplo, si es un espacio métrico ), entonces alguna serie, la serie convergente , puede interpretarse como que tiene un valor en A , llamado suma de la serie . Esto incluye los casos comunes del cálculo , en los que el grupo es el campo de números reales o el campo de números complejos . Dada una serie, Su k ésimo suma parcial es [3]
Serie convergente
Se dice que una serie ∑ a n converge o es convergente cuando la secuencia ( s k ) de sumas parciales tiene un límite finito . Si el límite de s k es infinito o no existe, se dice que la serie diverge . [5] [3] Cuando existe el límite de sumas parciales, se llama valor (o suma) de la serie.
Una forma fácil de que una serie infinita pueda converger es si todos los a n son cero para n lo suficientemente grande. Tal serie se puede identificar con una suma finita, por lo que solo es infinita en un sentido trivial.
Resolver las propiedades de las series que convergen, incluso si un número infinito de términos no son cero, es la esencia del estudio de las series. Considere el ejemplo
El idioma puede extenderse a otras nociones equivalentes de serie. Por ejemplo, un decimal recurrente , como en
Dado que estas series siempre convergen en números reales (debido a lo que se llama la propiedad de completitud de los números reales), hablar de la serie de esta manera es lo mismo que hablar de los números que representan. En particular, la expansión decimal 0.111 ... se puede identificar con 1/9. Esto lleva a un argumento de que 9 × 0.111 ... = 0.999 ... = 1 , que solo se basa en el hecho de que las leyes de límites para las series preservan las operaciones aritméticas; para más detalles sobre este argumento, véase 0.999 ... .
Ejemplos de series numéricas
- Una serie geométrica es aquella en la que cada término sucesivo se produce multiplicando el término anterior por un número constante (llamado razón común en este contexto). Por ejemplo: [3]En general, la serie geométricaconverge si y solo si , en cuyo caso converge a .
- La serie armónica es la serie [6]La serie armónica es divergente .
- Una serie alterna es una serie donde los términos alternan signos. Ejemplos: ( serie armónica alterna ) y
- Una serie telescópicaconverge si la secuencia b n converge a un límite L , cuando n llega al infinito. El valor de la serie es entonces b 1 - L .
- Una serie aritmético-geométrica es una generalización de la serie geométrica, que tiene coeficientes de la razón común iguales a los términos en una secuencia aritmética . Ejemplo:
- Los p -seriesconverge si p > 1 y diverge para p ≤ 1, lo que se puede mostrar con el criterio integral que se describe a continuación en las pruebas de convergencia . En función de p , la suma de esta serie es la función zeta de Riemann .
- Serie hipergeométrica : y sus generalizaciones (como las series hipergeométricas básicas y las series hipergeométricas elípticas ) aparecen con frecuencia en sistemas integrables y física matemática . [7]
- Hay algunas series elementales cuya convergencia aún no se conoce / prueba. Por ejemplo, se desconoce si la serie Flint Hillsconverge o no. La convergencia depende de qué tan biense puede aproximar con números racionales (que aún se desconoce). Más específicamente, los valores de n con grandes contribuciones numéricas a la suma son los numeradores de las fracciones continuas convergentes de, una secuencia que comienza con 1, 3, 22, 333, 355, 103993,… (secuencia A046947 en la OEIS ). Estos son números enteros que están cerca depara algún número entero n , de modo queestá cerca de 0 y su recíproco es grande. Alekseyev (2011) demostró que si la serie converge, entonces la medida de irracionalidad dees menor que 2.5, que es mucho menor que el límite conocido actual de 7.10320533…. [8] [9]
π
Logaritmo natural de 2
Logaritmo natural base e
Cálculo y suma parcial como operación en sucesiones
La suma parcial toma como entrada una secuencia, ( a n ), y da como salida otra secuencia, ( S N ). Por tanto, es una operación unaria sobre secuencias. Además, esta función es lineal y, por lo tanto, es un operador lineal en el espacio vectorial de secuencias, denotado Σ. El operador inverso es el operador de diferencias finitas , denotado Δ. Estos se comportan como análogos discretos de integración y diferenciación , solo para series (funciones de un número natural) en lugar de funciones de una variable real. Por ejemplo, la sucesión (1, 1, 1, ...) tiene series (1, 2, 3, 4, ...) como su suma parcial, que es análoga al hecho de que
En informática , se conoce como suma de prefijo .
Propiedades de la serie
Las series se clasifican no solo por si convergen o divergen, sino también por las propiedades de los términos a n (convergencia absoluta o condicional); tipo de convergencia de la serie (puntual, uniforme); la clase del término a n (si es un número real, progresión aritmética, función trigonométrica); etc.
Términos no negativos
Cuando a n es un número real no negativo para cada n , la secuencia S N de sumas parciales no es decreciente. De ello se deduce que una serie ∑ a n con términos no negativos converge si y solo si la secuencia S N de sumas parciales está acotada.
Por ejemplo, la serie
Convergencia absoluta
Una serie
Convergencia condicional
Se dice que una serie de números reales o complejos es condicionalmente convergente (o semi-convergente ) si es convergente pero no absolutamente convergente. Un ejemplo famoso es la serie alterna
La prueba de Abel es una herramienta importante para manejar series semi-convergentes. Si una serie tiene la forma
Evaluación de errores de truncamiento
La evaluación de errores de truncamiento es un procedimiento importante en el análisis numérico (especialmente en pruebas numéricas validadas y asistidas por computadora ).
Serie alternante
Cuando las condiciones de la prueba de la serie alterna son satisfechas por, hay una evaluación exacta del error. [10] Establecer ser la suma parcial de la serie alterna dada . Entonces la siguiente desigualdad se mantiene:
Serie de taylor
El teorema de Taylor es un enunciado que incluye la evaluación del término de error cuando la serie de Taylor está truncada.
Serie hipergeométrica
Al usar la razón , podemos obtener la evaluación del término de error cuando se trunca la serie hipergeométrica . [11]
Matriz exponencial
Para la matriz exponencial :
Pruebas de convergencia
Existen muchas pruebas que pueden usarse para determinar si una serie particular converge o diverge.
- Prueba de n-ésimo término : Si, entonces la serie diverge; Si, entonces la prueba no es concluyente.
- Prueba de comparación 1 (consulte Prueba de comparación directa ): Sies una serie absolutamente convergente tal que por algún número y para lo suficientemente grande , luego converge absolutamente también. Si diverge, y para todo lo suficientemente grande , luego también falla en converger absolutamente (aunque todavía podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si el alterno en signo).
- Prueba de comparación 2 (consulte Prueba de comparación de límites ): Si es una serie absolutamente convergente tal que para suficientemente grande , luego converge absolutamente también. Si diverge, y para todo lo suficientemente grande , luego también falla en converger absolutamente (aunque todavía podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si el alterno en signo).
- Prueba de relación : si existe una constante tal que para todo lo suficientemente grande , luego converge absolutamente. Cuando la relación es menor que, pero no menos de una constante menos de , la convergencia es posible pero esta prueba no la establece.
- Prueba de raíz : si existe una constante tal que para todo lo suficientemente grande , luego converge absolutamente.
- Prueba integral : sies una función decreciente monótona positiva definida en el intervalo con para todos , luego converge si y solo si la integral es finito.
- Prueba de condensación de Cauchy : Si es no negativo y no creciente, entonces las dos series y son de la misma naturaleza: ambos convergentes o ambos divergentes.
- Prueba de series alternas : una serie de la forma (con ) se llama alternante . Tal serie converge si la secuencia es monótono decreciente y converge a . En general, lo contrario no es cierto.
- Para algunos tipos específicos de series existen pruebas de convergencia más especializadas, por ejemplo, para las series de Fourier existe la prueba de Dini .
Serie de funciones
Una serie de funciones de valor real o complejo
converge puntualmente en un conjunto E , si la serie converge para cada x en E como una serie ordinaria de números reales o complejos. De manera equivalente, las sumas parciales
Una noción más fuerte de convergencia de una serie de funciones es la convergencia uniforme . A serie converge uniformemente si converge puntualmente a la función ƒ ( x ), y el error en la aproximación el límite por el N º suma parcial,
La convergencia uniforme es deseable para una serie porque el límite retiene muchas propiedades de los términos de la serie. Por ejemplo, si una serie de funciones continuas converge uniformemente, entonces la función límite también es continua. De manera similar, si f n son integrables en un intervalo cerrado y acotado I y convergen uniformemente, entonces la serie también es integrable en I y puede integrarse término por término. Las pruebas para la convergencia uniforme incluyen la Weierstrass M-test , prueba de la convergencia uniforme de Abel , prueba de Dini , y el criterio de Cauchy .
También se pueden definir tipos más sofisticados de convergencia de una serie de funciones. En la teoría de la medida , por ejemplo, una serie de funciones converge casi en todas partes si converge puntualmente excepto en un determinado conjunto de medidas cero . Otros modos de convergencia dependen de una estructura espacial métrica diferente del espacio de funciones en consideración. Por ejemplo, una serie de funciones converge en media en un conjunto E a una función límite ƒ siempre que
Serie de potencia
Una serie de potencias es una serie de la forma
La serie de Taylor en un punto c de una función es una serie de potencias que, en muchos casos, converge a la función en una vecindad de c . Por ejemplo, la serie
A menos que converja solo en x = c , tal serie converge en un cierto disco abierto de convergencia centrado en el punto c en el plano complejo, y también puede converger en algunos de los puntos del límite del disco. El radio de este disco se conoce como el radio de convergencia , y en principio se puede determinar a partir de los asintótica de los coeficientes de un n . La convergencia es uniforme en subconjuntos cerrados y acotados (es decir, compactos ) del interior del disco de convergencia: es decir, es uniformemente convergente en conjuntos compactos .
Históricamente, matemáticos como Leonhard Euler operaron liberalmente con series infinitas, incluso si no eran convergentes. Cuando el cálculo se estableció sobre una base sólida y correcta en el siglo XIX, siempre se requirieron pruebas rigurosas de la convergencia de las series.
Serie de poder formal
Si bien muchos usos de las series de potencias se refieren a sus sumas, también es posible tratar las series de potencias como sumas formales , lo que significa que en realidad no se realizan operaciones de suma, y el símbolo "+" es un símbolo abstracto de conjunción que no se interpreta necesariamente como correspondiente a la suma. En este contexto, la secuencia de coeficientes en sí es de interés, más que la convergencia de la serie. Las series de potencias formales se utilizan en combinatoria para describir y estudiar secuencias que de otro modo serían difíciles de manejar, por ejemplo, utilizando el método de generar funciones . La serie de Hilbert-Poincaré es una serie de potencias formales que se utiliza para estudiar álgebras graduadas .
Incluso si no se considera el límite de la serie de potencias, si los términos apoyan la estructura apropiada, entonces es posible definir operaciones como suma , multiplicación , derivada , antiderivada para series de potencias "formalmente", tratando el símbolo "+" como si correspondía a la adición. En la configuración más común, los términos provienen de un anillo conmutativo , de modo que la serie de potencias formales se puede agregar término por término y multiplicar mediante el producto de Cauchy . En este caso, el álgebra de series de potencias formales es el álgebra total del monoide de números naturales sobre el anillo de término subyacente. [15] Si el anillo de términos subyacente es un álgebra diferencial , entonces el álgebra de series de potencias formales también es un álgebra diferencial, con la diferenciación realizada término por término.
Serie Laurent
Las series de Laurent generalizan series de potencias admitiendo términos en la serie con exponentes tanto negativos como positivos. Una serie de Laurent es, por tanto, cualquier serie de la forma
Serie Dirichlet
Una serie de Dirichlet es una de las formas
Al igual que la función zeta, las series de Dirichlet en general juegan un papel importante en la teoría analítica de números . Generalmente, una serie de Dirichlet converge si la parte real de s es mayor que un número llamado abscisa de convergencia. En muchos casos, una serie de Dirichlet puede extenderse a una función analítica fuera del dominio de convergencia mediante la continuación analítica . Por ejemplo, la serie de Dirichlet para la función zeta converge absolutamente cuando Re ( s )> 1, pero la función zeta puede extenderse a una función holomórfica definida en con un poste simple en 1.
Esta serie se puede generalizar directamente a la serie general de Dirichlet .
Serie trigonométrica
Una serie de funciones en las que los términos son funciones trigonométricas se denomina serie trigonométrica :
Historia de la teoría de las series infinitas
Desarrollo de series infinitas
El matemático griego Arquímedes produjo la primera suma conocida de una serie infinita con un método que todavía se usa en el área del cálculo en la actualidad. Usó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita, y dio una aproximación de π notablemente precisa . [16] [17]
Los matemáticos de Kerala, India, estudiaron series infinitas alrededor de 1350 EC. [18]
En el siglo XVII, James Gregory trabajó en el nuevo sistema decimal en series infinitas y publicó varias series de Maclaurin . En 1715, Brook Taylor proporcionó un método general para construir la serie de Taylor para todas las funciones para las que existen . Leonhard Euler en el siglo XVIII, desarrolló la teoría de series hipergeométricas y series q .
Criterios de convergencia
Se considera que la investigación de la validez de las series infinitas comienza con Gauss en el siglo XIX. Euler ya había considerado la serie hipergeométrica
Cauchy (1821) insistió en pruebas estrictas de convergencia; demostró que si dos series son convergentes su producto no es necesariamente así, y con él comienza el descubrimiento de criterios efectivos. Gregory (1668) había introducido los términos convergencia y divergencia mucho antes . Leonhard Euler y Gauss habían dado varios criterios, y Colin Maclaurin había anticipado algunos de los descubrimientos de Cauchy. Cauchy avanzó la teoría de las series de potencia mediante la expansión de una función compleja en tal forma.
Abel (1826) en sus memorias sobre la serie binomial
corrigió algunas de las conclusiones de Cauchy, y dio una suma completamente científica de la serie para valores complejos de y . Mostró la necesidad de considerar el tema de la continuidad en cuestiones de convergencia.
Los métodos de Cauchy llevaron a criterios especiales más que generales, y lo mismo puede decirse de Raabe (1832), quien hizo la primera investigación elaborada del tema, de De Morgan (de 1842), cuya prueba logarítmica DuBois-Reymond (1873) y Pringsheim (1889) ha demostrado fallar en una determinada región; de Bertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten (1846, 1847, este último sin integración); Stokes (1847), Paucker (1852), Chebyshev (1852) y Arndt (1853).
Los criterios generales comenzaron con Kummer (1835) y han sido estudiados por Eisenstein (1847), Weierstrass en sus diversas contribuciones a la teoría de funciones, Dini (1867), DuBois-Reymond (1873) y muchos otros. Las memorias de Pringsheim (1889) presentan la teoría general más completa.
Convergencia uniforme
La teoría de la convergencia uniforme fue tratada por Cauchy (1821), sus limitaciones fueron señaladas por Abel, pero los primeros en atacarla con éxito fueron Seidel y Stokes (1847-1848). Cauchy retomó el problema (1853), reconociendo la crítica de Abel y llegando a las mismas conclusiones que ya había encontrado Stokes. Thomae utilizó la doctrina (1866), pero hubo un gran retraso en reconocer la importancia de distinguir entre convergencia uniforme y no uniforme, a pesar de las exigencias de la teoría de funciones.
Semi-convergencia
Se dice que una serie es semi-convergente (o condicionalmente convergente) si es convergente pero no absolutamente convergente .
Las series semi-convergentes fueron estudiadas por Poisson (1823), quien también dio una forma general para el resto de la fórmula de Maclaurin. La solución más importante del problema se debe, sin embargo, a Jacobi (1834), quien atacó la cuestión del resto desde un punto de vista diferente y llegó a una fórmula diferente. Esta expresión también fue elaborada, y otra dada, por Malmsten (1847). Schlömilch ( Zeitschrift , Vol. I, p. 192, 1856) también mejoró el resto de Jacobi y mostró la relación entre el resto y la función de Bernoulli
Entre los primeros escritores se encontraba Wronski , cuyo "loi suprême" (1815) apenas fue reconocido hasta que Cayley (1873) lo destacó.
series de Fourier
Las series de Fourier se estaban investigando como resultado de consideraciones físicas al mismo tiempo que Gauss, Abel y Cauchy estaban elaborando la teoría de las series infinitas. Las series para la expansión de senos y cosenos, de arcos múltiples en potencias del seno y coseno del arco habían sido tratadas por Jacob Bernoulli (1702) y su hermano Johann Bernoulli (1701) y aún antes por Vieta . Euler y Lagrange simplificaron el tema, al igual que Poinsot , Schröter , Glaisher y Kummer .
Fourier (1807) se propuso un problema diferente, expandir una función dada de x en términos de los senos o cosenos de múltiplos de x , problema que encarnó en su Théorie analytique de la chaleur (1822). Euler ya había dado las fórmulas para determinar los coeficientes de la serie; Fourier fue el primero en afirmar e intentar probar el teorema general. Poisson (1820–23) también abordó el problema desde un punto de vista diferente. Fourier, sin embargo, no resolvió la cuestión de la convergencia de su serie, cuestión que quedó para que Cauchy (1826) intentara y Dirichlet (1829) la manejara de una manera completamente científica (ver convergencia de las series de Fourier ). El tratamiento de Dirichlet ( Crelle , 1829) de las series trigonométricas fue objeto de críticas y mejoras por parte de Riemann (1854), Heine, Lipschitz , Schläfli y du Bois-Reymond . Entre otros contribuyentes destacados a la teoría de las series trigonométricas y de Fourier se encontraban Dini , Hermite , Halphen , Krause, Byerly y Appell .
Generalizaciones
Serie asintótica
Las series asintóticas , por lo demás expansiones asintóticas , son series infinitas cuyas sumas parciales se convierten en buenas aproximaciones en el límite de algún punto del dominio. En general, no convergen, pero son útiles como secuencias de aproximaciones, cada una de las cuales proporciona un valor cercano a la respuesta deseada para un número finito de términos. La diferencia es que no se puede hacer que una serie asintótica produzca una respuesta tan exacta como se desee, de la forma en que lo hacen las series convergentes. De hecho, después de un cierto número de términos, una serie asintótica típica alcanza su mejor aproximación; si se incluyen más términos, la mayoría de estas series producirán peores respuestas.
Serie divergente
En muchas circunstancias, es deseable asignar un límite a una serie que no converge en el sentido habitual. Un método de sumabilidad es la asignación de un límite a un subconjunto del conjunto de series divergentes que amplía adecuadamente la noción clásica de convergencia. Los métodos de sumabilidad incluyen suma Cesàro , suma ( C , k ), suma Abel y suma Borel , en orden creciente de generalidad (y por lo tanto aplicable a series cada vez más divergentes).
Se conocen diversos resultados generales relacionados con los posibles métodos de sumabilidad. El teorema de Silverman-Toeplitz caracteriza los métodos de sumabilidad de matrices , que son métodos para sumar una serie divergente aplicando una matriz infinita al vector de coeficientes. El método más general para sumar una serie divergente no es constructivo y se refiere a los límites de Banach .
Sumas sobre conjuntos de índices arbitrarios
Definiciones Se pueden administrar por sumas más de un conjunto de índices arbitraria I . [19] Hay dos diferencias principales con la noción habitual de serie: primero, no hay un orden específico dado en el conjunto I ; en segundo lugar, este conjunto I puede ser incontable. Es necesario fortalecer la noción de convergencia, porque el concepto de convergencia condicional depende del orden del conjunto de índices.
Si es una función de un conjunto de índices I a un conjunto G , luego la "serie" asociada aes la suma formal de los elementos sobre los elementos del índice denotado por el
Cuando el conjunto de índices son los números naturales , la función es una secuencia denotada por. Una serie indexada en números naturales es una suma formal ordenada, por lo que reescribimos como para enfatizar el orden inducido por los números naturales. Así, obtenemos la notación común para una serie indexada por los números naturales.
Familias de números no negativos
Al sumar una familia { a i }, i ∈ I , de números no negativos, se puede definir
Cuando el supremo es finito, el conjunto de i ∈ I tal que a i > 0 es contable. De hecho, para cada n ≥ 1, el conjunto es finito, porque
Si I es numerablemente infinito y se enumera como I = { i 0 , i 1 ,…} entonces la suma definida anteriormente satisface
siempre que se permita el valor ∞ para la suma de la serie.
Cualquier suma sobre reales no negativos puede entenderse como la integral de una función no negativa con respecto a la medida de conteo , lo que explica las muchas similitudes entre las dos construcciones.
Grupos topológicos abelianos
Sea a : I → X , donde I es cualquier conjunto y X es un grupo topológico abeliano de Hausdorff . Sea F la colección de todos los subconjuntos finitos de I , con F visto como un conjunto dirigido , ordenado bajo inclusión con unión como unión . Definir la suma S de la familia a como límite.
Dado que F no está totalmente ordenado , esto no es un límite de una secuencia de sumas parciales, sino más bien de una red . [20] [21]
Por cada W , entorno de 0 en X , existe un entorno más pequeño V tal que V - V ⊂ W . De ello se deduce que las sumas parciales finitas de una familia sumable incondicionalmente a i , i ∈ I , forman una red de Cauchy , es decir, para cada W , vecindad de 0 en X , hay un subconjunto finito A 0 de I tal que
Cuando X está completo , una familia a es incondicionalmente sumable en X si y solo si las sumas finitas satisfacen la última condición neta de Cauchy. Cuando X es completa y una i , i ∈ I , es incondicionalmente sumable en X , entonces para cada subconjunto J ⊂ I , la correspondiente subfamilia una j , j ∈ J , también es incondicionalmente sumable en X .
Cuando la suma de una familia de números no negativos, en el sentido ampliada definida antes, es finito, a continuación, coincide con la suma en el grupo topológico X = R .
Si una familia a en X es incondicionalmente sumable, entonces para cada W , vecindad de 0 en X , hay un subconjunto finito A 0 de I tal que a i ∈ W para todo i no en A 0 . Si X es contable primero , se deduce que el conjunto de i ∈ I tal que a i ≠ 0 es contable. Esto no tiene por qué ser cierto en un grupo topológico abeliano general (ver ejemplos a continuación).
Serie incondicionalmente convergente
Supongamos que I = N . Si una familia a n , n ∈ N , es incondicionalmente sumable en un grupo topológico abeliano de Hausdorff X , entonces la serie en el sentido habitual converge y tiene la misma suma,
Por naturaleza, la definición de sumabilidad incondicional es insensible al orden de la suma. Cuando ∑ a n es incondicionalmente sumable, entonces la serie permanece convergente después de cualquier permutación σ del conjunto N de índices, con la misma suma,
Por el contrario, si cada permutación de una serie sigma a n converge, a continuación, la serie es incondicionalmente convergente. Cuando X está completo, la convergencia incondicional también equivale al hecho de que todas las subseries son convergentes; si X es un espacio de Banach, esto equivale a decir que para cada secuencia de signos ε n = ± 1, la serie
Serie en espacios vectoriales topológicos
Si X es un espacio vectorial topológico (TVS) yes una familia (posiblemente incontable ) en X, entonces esta familia es sumable [22] si el límitede la red converge en X , dondees el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de A dirigido por inclusión y .
Se llama absolutamente sumable si además, para cada seminorma continuo p en X , la familiaes sumable. Si X es un espacio normal y sies una familia absolutamente sumable en X , entonces necesariamente todo menos una colección contable deLos de son 0. Por lo tanto, en los espacios normativos, generalmente solo es necesario considerar series con muchos términos numerables.
Las familias sumables juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares .
Serie en Banach y espacios semi-normativos
La noción de serie se puede extender fácilmente al caso de un espacio seminorizado . Si x n es una secuencia de elementos de un espacio normado X y si x está en X , entonces la serie ∑ x n converge ax en X si la secuencia de sumas parciales de la serieconverge ax en X ; esto es,
De manera más general, la convergencia de series se puede definir en cualquier grupo topológico abeliano de Hausdorff . Específicamente, en este caso, ∑ x n converge ax si la secuencia de sumas parciales converge ax .
Si ( X , | · |) es un espacio semi-normado , entonces la noción de convergencia absoluta se convierte en: Una seriede vectores en X converge absolutamente si
Si una serie contable de vectores en un espacio de Banach converge absolutamente, entonces converge incondicionalmente, pero lo contrario solo se cumple en espacios de Banach de dimensión finita (teorema de Dvoretzky y Rogers (1950) ).
Sumas bien ordenadas
Se pueden considerar series condicionalmente convergentes si I es un conjunto bien ordenado , por ejemplo, un número ordinal α 0 . Se puede definir por recursividad transfinita :
Ejemplos de
- Dada una función f : X → Y , con Y un grupo topológico abeliano, defina para todo a ∈ Xuna función cuyo soporte es un singleton { a }. Luegoen la topología de convergencia puntual (es decir, la suma se toma en el grupo de productos infinito Y X ).
- En la definición de particiones de unidad , se construyen sumas de funciones sobre el conjunto de índices arbitrario I , Si bien, formalmente, esto requiere una noción de sumas de series incontables, por construcción hay, para cada x dada , solo un número finito de términos distintos de cero en la suma, por lo que no surgen problemas con respecto a la convergencia de tales sumas. En realidad, se suele suponer más: la familia de funciones es localmente finita , es decir, para cada x hay una vecindad de x en la que todas las funciones, excepto un número finito, desaparecen. Cualquier propiedad de regularidad de φ i , como continuidad, diferenciabilidad, que se conserve en sumas finitas se conservará para la suma de cualquier subcolección de esta familia de funciones.
- En el primer ordinal incontable ω 1 visto como un espacio topológico en la topología de orden , la función constante f : [0, ω 1 ) → [0, ω 1 ] dada por f ( α ) = 1 satisface (en otras palabras, ω 1 copias de 1 es ω 1 ) solo si se toma un límite sobre todas las sumas parciales contables , en lugar de las sumas parciales finitas. Este espacio no es separable.
Ver también
- Fracción continua
- Pruebas de convergencia
- Serie convergente
- Serie divergente
- Composiciones infinitas de funciones analíticas
- Expresión infinita
- Producto infinito
- Operación binaria iterada
- Lista de series matemáticas
- Suma de prefijo
- Transformación de secuencia
- Expansión de la serie
Notas
- ^ Thompson, Silvanus ; Gardner, Martin (1998). Cálculo simplificado . ISBN 978-0-312-18548-0.
- ^ "Lista de símbolos de cálculo y análisis" . Bóveda de matemáticas . 2020-05-11 . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
- ^ a b c d e Weisstein, Eric W. "Serie" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
- ↑ a b Swokowski 1983 , p. 501
- ^ Michael Spivak, cálculo
- ^ "Serie Infinita" . www.mathsisfun.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
- ^ Gasper, G., Rahman, M. (2004). Serie hipergeométrica básica. Prensa de la Universidad de Cambridge .
- ^ Max A. Alekseyev, Sobre la convergencia de la serie Flint Hills , arXiv: 1104.5100, 2011.
- ^ Weisstein, Eric W. "Serie Flint Hills" . MathWorld .
- ^ Términos positivos y negativos: series alternas
- ^ Johansson, F. (2016). Calcular funciones hipergeométricas de forma rigurosa. preimpresión de arXiv arXiv: 1606.06977.
- ^ Higham, Nueva Jersey (2008). Funciones de matrices: teoría y computación. Sociedad de matemáticas industriales y aplicadas .
- ^ Higham, Nueva Jersey (2009). Se revisó el método de escalado y cuadrado para la matriz exponencial. Revisión de SIAM, 51 (4), 747-764.
- ^ Cómo y cómo no calcular la exponencial de una matriz
- ^ Nicolas Bourbaki (1989), Álgebra , Springer: §III.2.11.
- ^ O'Connor, JJ & Robertson, EF (febrero de 1996). "Una historia del cálculo" . Universidad de St Andrews . Consultado el 7 de agosto de 2007 .
- ^ K., Bidwell, James (30 de noviembre de 1993). "Archimedes y Pi-Revisited" . Escuela de Ciencias y Matemáticas . 94 (3).
- ^ "Los indios precedieron al 'descubrimiento' de Newton en 250 años" . manchester.ac.uk .
- ^ Jean Dieudonné, Fundamentos del análisis matemático , Academic Press
- ^ Bourbaki, Nicolas (1998). Topología general: Capítulos 1–4 . Saltador. págs. 261-270. ISBN 978-3-540-64241-1.
- ^ Choquet, Gustave (1966). Topología . Prensa académica. págs. 216-231. ISBN 978-0-12-173450-3.
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , págs. 179–180.
Referencias
- Bromwich, TJ Una introducción a la teoría de la serie infinita MacMillan & Co. 1908, revisada en 1926, reimpresa en 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
- Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Convergencia absoluta e incondicional en espacios lineales normativos" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 36 (3): 192-197. Código bibliográfico : 1950PNAS ... 36..192D . doi : 10.1073 / pnas.36.3.192 . PMC 1063182 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (Ed. Alternativa), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
- Walter Rudin, Principios del análisis matemático (McGraw-Hill: Nueva York, 1964).
- Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541 .
- Robertson, AP (1973). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge, Inglaterra: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250 .
- Ryan, Raymond (2002). Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach . Londres Nueva York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wong (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .
SEÑOR0033975
enlaces externos
- "Serie" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Tutorial de Infinite Series
- "Series-TheBasics" . Notas de matemáticas en línea de Paul.