En matemáticas, la dualidad de Pontryagin es una dualidad entre grupos abelianos compactos localmente que permite generalizar la transformada de Fourier a todos esos grupos, que incluyen el grupo circular (el grupo multiplicativo de números complejos de módulo uno), los grupos abelianos finitos (con la topología discreta) , y el grupo aditivo de los enteros (también con la topología discreta), los números reales y cada espacio vectorial de dimensión finita sobre los reales o un campo p -ádico .
El dual de Pontryagin de un grupo abeliano localmente compacto, es el grupo formado por los homomorfismos de grupo continuo del grupo al grupo del círculo. El teorema de la dualidad de Pontryagin establece la dualidad de Pontryagin al afirmar que cualquier grupo abeliano localmente compacto es naturalmente isomórfico con su bidual (el dual de su dual). El teorema de la inversión de Fourier es un caso especial de este teorema.
El tema lleva el nombre de Lev Pontryagin, quien sentó las bases de la teoría de los grupos abelianos localmente compactos y su dualidad durante sus primeros trabajos matemáticos en 1934. El tratamiento de Pontryagin se basó en que el grupo era el segundo contable y compacto o discreto. Esto fue mejorado para cubrir los grupos abelianos compactos locales generales por Egbert van Kampen en 1935 y André Weil en 1940.
Introducción
La dualidad de Pontryagin coloca en un contexto unificado una serie de observaciones sobre funciones en la línea real o en grupos abelianos finitos:
- Las funciones periódicas de valores complejos adecuadamente regulares en la línea real tienen series de Fourier y estas funciones pueden recuperarse de sus series de Fourier;
- Las funciones de valor complejo adecuadamente regulares en la línea real tienen transformadas de Fourier que también son funciones en la línea real y, al igual que para las funciones periódicas, estas funciones se pueden recuperar de sus transformadas de Fourier; y
- Las funciones de valores complejos en un grupo abeliano finito tienen transformadas discretas de Fourier , que son funciones en el grupo dual , que es un grupo isomórfico (no canónicamente). Además, cualquier función en un grupo abeliano finito puede recuperarse de su transformada de Fourier discreta.
La teoría, introducida por Lev Pontryagin y combinada con la medida de Haar introducida por John von Neumann , André Weil y otros, depende de la teoría del grupo dual de un grupo abeliano localmente compacto .
Es análogo al espacio vectorial dual de un espacio vectorial: un espacio vectorial de dimensión finita V y su espacio vectorial dual V * no son naturalmente isomorfos, pero el álgebra de endomorfismo (álgebra matricial) de uno es isomorfo al opuesto del endomorfismo. álgebra del otro:a través de la transposición. De manera similar, un grupo G y su grupo dual no son en general isomorfos, pero sus anillos de endomorfismo son opuestos entre sí: . Más categóricamente, esto no es solo un isomorfismo de álgebras de endomorfismo, sino una equivalencia contravariante de categorías; ver consideraciones categóricas .
Definición
Un grupo topológico es un grupo localmente compacto si el espacio topológico subyacente es localmente compacto y de Hausdorff ; un grupo topológico es abeliano si el grupo subyacente es abeliano . Ejemplos de grupos abelianos localmente compactos incluyen grupos abelianos finitos, los enteros (ambos para la topología discreta , que también es inducida por la métrica habitual), los números reales, el grupo circular T (ambos con su topología métrica habitual) y también la números p -ádicos (con su topología p -ádica habitual ).
Para un grupo abeliano G localmente compacto , el dual de Pontryagin es el grupode continuas homomorfismo de grupos de G al grupo círculo T . Es decir,
El dual de Pontryagin generalmente está dotado de la topología dada por la convergencia uniforme en conjuntos compactos (es decir, la topología inducida por la topología compacta-abierta en el espacio de todas las funciones continuas de a ).
Por ejemplo,
El teorema de la dualidad de Pontryagin
- Teorema. [1] [2] Hay un isomorfismo canónico entre cualquier grupo abeliano localmente compacto y su doble dual.
Canónico significa que hay un mapa definido naturalmente ; que es más importante, el mapa debe ser funtorial en. El isomorfismo canónico se define en como sigue:
En otras palabras, cada elemento del grupo se identifica con el carácter de evaluación en el dual. Esto es fuertemente análogo al isomorfismo canónico entre un espacio vectorial de dimensión finita y su doble dual ,, y vale la pena mencionar que cualquier espacio vectorial es un grupo abeliano . Si es un grupo abeliano finito, entonces pero este isomorfismo no es canónico. Hacer esta afirmación precisa (en general) requiere pensar en la dualización no solo en grupos, sino también en mapas entre los grupos, para tratar la dualización como un funtor y probar que el funtor identidad y el funtor de dualización no son naturalmente equivalentes. Además, el teorema de la dualidad implica que para cualquier grupo (no necesariamente finito) el funtor de dualización es un funtor exacto.
La dualidad de Pontryagin y la transformada de Fourier
Medida de Haar
Uno de los hechos notables de un grupo localmente compacto G es que lleva un naturales esencialmente única medida , la medida de Haar , que permite medir constantemente el "tamaño" de subconjuntos suficientemente regulares de G . "Subconjunto suficientemente regular" aquí significa un conjunto Borel ; es decir, un elemento del σ-álgebra generado por los conjuntos compactos . Más precisamente, una medida Haar derecha en un grupo localmente compacto G es una medida aditiva contable μ definida en los conjuntos de Borel de G que es invariante a la derecha en el sentido de que μ ( Ax ) = μ ( A ) para x un elemento de G y A es un subconjunto Borel de G y también satisface algunas condiciones de regularidad (detalladas en el artículo sobre la medida Haar ). Excepto por los factores de escala positivos, una medida de Haar en G es única.
La medida de Haar en G nos permite definir la noción de integral para funciones de Borel (de valor complejo ) definidas en el grupo. En particular, se pueden considerar varios espacios L p asociados a la medida de Haar μ. Específicamente,
Tenga en cuenta que, dado que dos medidas de Haar cualesquiera en G son iguales hasta un factor de escala, este espacio L p es independiente de la elección de la medida Haar y, por lo tanto, tal vez podría escribirse como L p (G) . Sin embargo, la L p -norm en este espacio depende de la elección de la medida de Haar, por lo que si se quiere hablar de isometrías, es importante realizar un seguimiento de la medida de Haar que se está utilizando.
Transformada de Fourier y fórmula de inversión de Fourier para funciones L 1
El grupo dual de un grupo abeliano localmente compacto se utiliza como espacio subyacente para una versión abstracta de la transformada de Fourier . Si, entonces la transformada de Fourier es la función en definido por
donde la integral es relativa a la medida de Haar en . Esto también se denota. Tenga en cuenta que la transformada de Fourier depende de la elección de la medida de Haar. No es demasiado difícil demostrar que la transformada de Fourier de una funcionar en es una función continua acotada en que se desvanece en el infinito .
- Fórmula de inversión de Fourier para -Funciones. Para cada medida de Haar en hay una medida de Haar única en tal que siempre que y , tenemos
- Si es continuo, entonces esta identidad es válida para todos .
La transformada de Fourier inversa de una función integrable en es dado por
donde la integral es relativa a la medida de Haar en el grupo dual . La medida en que aparece en la fórmula de inversión de Fourier se llama la medida dual para y se puede denotar .
Las diversas transformadas de Fourier se pueden clasificar en términos de su dominio y dominio de transformación (el grupo y el grupo dual) de la siguiente manera (tenga en cuenta que es el grupo del círculo ):
Transformar | Dominio original | Transformar dominio | La medida |
---|---|---|---|
Transformada de Fourier | |||
series de Fourier | |||
Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) | |||
Transformada discreta de Fourier (DFT) |
Como ejemplo, suponga , para que podamos pensar en como por el emparejamiento Si es la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano, obtenemos la transformada de Fourier ordinaria eny la medida dual necesaria para la fórmula de inversión de Fourier es. Si queremos obtener una fórmula de inversión de Fourier con la misma medida en ambos lados (es decir, ya que podemos pensar en como su propio espacio dual podemos pedir A igual ) entonces necesitamos usar
Sin embargo, si cambiamos la forma en que identificamos con su grupo dual, utilizando el emparejamiento
luego Lebesgue mide en es igual a su propia medida dual . Esta convención minimiza el número de factores deque aparecen en varios lugares al calcular las transformadas de Fourier o las transformadas de Fourier inversas en el espacio euclidiano. (En efecto, limita la sólo al exponente en lugar de como un prefactor fuera del signo integral.) Tenga en cuenta que la elección de cómo identificar con su grupo dual afecta el significado del término "función auto-dual", que es una función en igual a su propia transformada de Fourier: usando el emparejamiento clásico la función es auto-dual. Pero usando el emparejamiento, que mantiene el prefactor como unidad, hace auto-dual en su lugar. Esta segunda definición de la transformada de Fourier tiene la ventaja de que asigna la identidad multiplicativa a la identidad de convolución, que es útil comoes un álgebra de convolución. Vea la siguiente sección sobre el álgebra de grupos . Además, esta forma también es necesariamente isométrica enespacios. Vea a continuación los teoremas de inversión de Plancherel y L 2 de Fourier
El álgebra de grupo
El espacio de funciones integrables en un grupo abeliano localmente compacto G es un álgebra , donde la multiplicación es convolución: la convolución de dos funciones integrables f y g se define como
- Teorema. El espacio Banach es un álgebra asociativa y conmutativa en convolución.
Esta álgebra se conoce como el Grupo Algebra de G . Según el teorema de Fubini-Tonelli , la convolución es submultiplicativa con respecto a la norma un álgebra de Banach . El álgebra de Banachtiene un elemento de identidad multiplicativo si y solo si G es un grupo discreto, es decir, la función que es 1 en la identidad y cero en el resto. En general, sin embargo, tiene una identidad aproximada que es una red (o secuencia generalizada) indexado en un conjunto dirigido tal que
La transformada de Fourier lleva la convolución a la multiplicación, es decir, es un homomorfismo de las álgebras abelianas de Banach. (de norma ≤ 1):
En particular, a cada carácter de grupo en G corresponde un funcional lineal multiplicativo único en el álgebra de grupo definido por
Es una propiedad importante del álgebra de grupos que estos agotan el conjunto de funcionales lineales multiplicativos no triviales (es decir, no idénticamente cero) en el álgebra de grupos; ver la sección 34 de ( Loomis 1953 ). Esto significa que la transformada de Fourier es un caso especial de la transformada Gelfand .
Teoremas de inversión de Plancherel y L 2 Fourier
Como hemos dicho, el grupo dual de un grupo abeliano localmente compacto es un grupo abeliano localmente compacto por derecho propio y, por lo tanto, tiene una medida Haar, o más precisamente una familia completa de medidas Haar relacionadas con la escala.
- Teorema. Elija una medida Haar en y deja ser la medida dual en como se define arriba. Si es continuo con soporte compacto entonces y
- En particular, la transformada de Fourier es una isometría de las funciones continuas de valor complejo de soporte compacto en G a la -funciones en (utilizando la -norm con respecto a μ para funciones en G y el -norm con respecto a ν para funciones en ).
Dado que las funciones continuas de valor complejo del soporte compacto en G son-denso, hay una extensión única de la transformada de Fourier de ese espacio a un operador unitario
y tenemos la formula
Tenga en cuenta que para grupos localmente compactos no compactos G el espacio no contiene , por lo que la transformada de Fourier de general -las funciones en G "no" están dadas por ningún tipo de fórmula de integración (o realmente cualquier fórmula explícita). Para definir elLa transformada de Fourier se tiene que recurrir a algún truco técnico como comenzar en un subespacio denso como las funciones continuas con soporte compacto y luego extender la isometría por continuidad a todo el espacio. Esta extensión unitaria de la transformada de Fourier es lo que queremos decir con la transformada de Fourier en el espacio de funciones cuadradas integrables.
El grupo dual también tiene una transformada de Fourier inversa por derecho propio; puede caracterizarse como la inversa (o adjunta, ya que es unitaria) de laTransformada de Fourier. Este es el contenido de la Fórmula de inversión de Fourier que sigue.
- Teorema. El adjunto de la transformada de Fourier restringida a funciones continuas de soporte compacto es la transformada de Fourier inversa
- dónde es la medida dual para .
En el caso el grupo dual es naturalmente isomorfo al grupo de enteros y la transformada de Fourier se especializa en el cálculo de coeficientes de series de Fourier de funciones periódicas.
Si G es un grupo finito, recuperamos la transformada discreta de Fourier . Tenga en cuenta que este caso es muy fácil de probar directamente.
Compactificación y casi periodicidad de Bohr
Una aplicación importante de la dualidad de Pontryagin es la siguiente caracterización de grupos topológicos abelianos compactos:
- Teorema . Un grupo abeliano G localmente compacto es compacto si y solo si el grupo dual es discreto. Por el contrario, G es discreto si y solo si es compacto.
Que G sea compacto implicaes discreto o que G es discreto implica que es compacto es una consecuencia elemental de la definición de la topología compacta-abierta en y no necesita la dualidad de Pontryagin. Uno usa la dualidad de Pontryagin para probar lo contrario.
La compactación de Bohr se define para cualquier grupo topológico G , independientemente de si G es localmente compacto o abeliano. Un uso que se hace de la dualidad de Pontryagin entre grupos abelianos compactos y grupos abelianos discretos es caracterizar la compactación de Bohr de un grupo topológico localmente compacto abeliano arbitrario . La compactación de Bohr B (G) de G es, donde H tiene la estructura de grupo, pero dada la topología discreta . Desde el mapa de inclusión
es continuo y un homomorfismo, el morfismo dual
es un morfismo en un grupo compacto que se muestra fácilmente para satisfacer la propiedad universal requerida .
Ver también función casi periódica .
Consideraciones categóricas
La dualidad de Pontryagin puede también ser considerado rentable functorially . En lo que sigue, LCA es la categoría de grupos abelianos compactos localmente y homomorfismos grupales continuos. La construcción de grupo dual dees un functor contravariante LCA → LCA , representado (en el sentido de functores representables ) por el grupo circular como En particular, el doble funtor dual es covariante . Una formulación categórica de la dualidad de Pontryagin establece entonces que la transformación natural entre el funtor de identidad en LCA y el doble funtor dual es un isomorfismo. [3] Desenrollar la noción de transformación natural, esto significa que los mapasson isomorfismos para cualquier grupo localmente compacto abeliano G , y estos isomorfismos son funtorial en G . Este isomorfismo es análogo al doble dual de espacios vectoriales de dimensión finita (un caso especial, para espacios vectoriales reales y complejos).
Una consecuencia inmediata de esta formulación es otra formulación categórica común de la dualidad de Pontryagin: el funtor de grupo dual es una equivalencia de categorías de LCA a LCA op .
La dualidad intercambia las subcategorías de grupos discretos y grupos compactos . Si R es un anillo y G es un izquierda R - módulo , el grupo dualse convertirá en un módulo R derecho ; de esta manera también podemos ver que los módulos R izquierdos discretos serán módulos Pontryagin duales a los módulos R derechos compactos . El anillo final ( G ) de los endomorfismos en LCA se cambia por dualidad en su anillo opuesto (cambie la multiplicación al otro orden). Por ejemplo, si G es un grupo discreto cíclico infinito, es un grupo circular: el primero tiene por lo que esto es cierto también para este último.
Generalizaciones
Las generalizaciones de la dualidad de Pontryagin se construyen en dos direcciones principales: para grupos topológicos conmutativos que no son localmente compactos y para grupos topológicos no conmutativos. Las teorías en estos dos casos son muy diferentes.
Dualidades para grupos topológicos conmutativos
Cuándo es un grupo topológico abeliano de Hausdorff, el grupo con la topología compacta-abierta es un grupo topológico abeliano de Hausdorff y el mapeo natural de a su doble-dual tiene sentido. Si este mapeo es un isomorfismo, se dice que satisface la dualidad de Pontryagin (o que es un grupo reflexivo , [4] o un grupo reflexivo [5] ). Esto se ha extendido en varias direcciones más allá del caso de quees localmente compacto. [6]
En particular, Samuel Kaplan [7] [8] mostró en 1948 y 1950 que los productos arbitrarios y los límites inversos contables de grupos abelianos localmente compactos (Hausdorff) satisfacen la dualidad de Pontryagin. Tenga en cuenta que un producto infinito de espacios no compactos localmente compactos no es localmente compacto.
Más tarde, en 1975, Rangachari Venkataraman [9] mostró, entre otros hechos, que cada subgrupo abierto de un grupo topológico abeliano que satisface la dualidad de Pontryagin en sí mismo satisface la dualidad de Pontryagin.
Más recientemente, Sergio Ardanza-Trevijano y María Jesús Chasco [10] han ampliado los resultados de Kaplan antes mencionados. Demostraron que los límites directos e inversos de secuencias de grupos abelianos que satisfacen la dualidad de Pontryagin también satisfacen la dualidad de Pontryagin si los grupos son metrizables o-espacios pero no necesariamente compactos localmente, siempre que las secuencias satisfagan algunas condiciones adicionales.
Sin embargo, hay un aspecto fundamental que cambia si queremos considerar la dualidad de Pontryagin más allá del caso localmente compacto. Elena Martín-Peinador [11] demostró en 1995 que si es un grupo topológico abeliano de Hausdorff que satisface la dualidad de Pontryagin y el emparejamiento de evaluación natural
es (conjuntamente) continuo, [12] entonceses localmente compacto. Como corolario, todos los ejemplos compactos no localmente de la dualidad de Pontryagin son grupos donde el emparejamiento no es (conjuntamente) continuo.
Otra forma de generalizar la dualidad de Pontryagin a clases más amplias de grupos topológicos conmutativos es dotar al grupo dual con una topología un poco diferente, es decir, la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente delimitados . Los grupos que satisfacen la identidadbajo este supuesto [13] se denominan grupos de estereotipos . [5] Esta clase también es muy amplia (y contiene grupos abelianos compactos localmente), pero es más estrecha que la clase de grupos reflectantes. [5]
Dualidad Pontryagin para espacios vectoriales topológicos
En 1952 Marianne F. Smith [14] advirtió que los espacios de Banach y los espacios reflexivos , considerados como grupos topológicos (con la operación de grupo aditivo), satisfacen la dualidad de Pontryagin. Posteriormente BS Brudovskiĭ, [15] William C. Waterhouse [16] y K. Brauner [17] demostraron que este resultado puede extenderse a la clase de todos los espacios en barril casi completos (en particular, a todos los espacios de Fréchet ). En la década de 1990, Sergei Akbarov [18] dio una descripción de la clase de espacios vectoriales topológicos que satisfacen una propiedad más fuerte que la reflexividad clásica de Pontryagin, a saber, la identidad
dónde significa el espacio de todos los funcionales continuos lineales dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente delimitados en (y significa el dual a en el mismo sentido). Los espacios de esta clase se denominan espacios estereotipados , y la teoría correspondiente encontró una serie de aplicaciones en Análisis Funcional y Geometría, incluida la generalización de la dualidad Pontryagin para grupos topológicos no conmutativos.
Dualidades para grupos topológicos no conmutativos
Para grupos compactos localmente no conmutativos La construcción clásica de Pontryagin deja de funcionar por varias razones, en particular, porque los personajes no siempre separan los puntos de , y las irreductibles representaciones de no siempre son unidimensionales. Al mismo tiempo, no está claro cómo introducir la multiplicación en el conjunto de representaciones unitarias irreductibles de, e incluso no está claro si este conjunto es una buena opción para el papel del objeto dual para . Por tanto, el problema de construir la dualidad en esta situación requiere un replanteamiento completo.
Las teorías construidas hasta la fecha se dividen en dos grupos principales: las teorías donde el objeto dual tiene la misma naturaleza que la fuente (como en la dualidad de Pontryagin misma), y las teorías donde el objeto fuente y su dual difieren entre sí de manera tan radical que es imposible contarlos como objetos de una clase.
Las teorías del segundo tipo fueron históricamente las primeras: poco después del trabajo de Pontryagin, Tadao Tannaka (1938) y Mark Kerin (1949) construyeron una teoría de la dualidad para grupos compactos arbitrarios conocida ahora como la dualidad Tannaka-Kerin . [19] [20] En esta teoría, el objeto dual de un grupono es un grupo sino una categoría de sus representaciones .
Las teorías de primer tipo aparecieron más tarde y el ejemplo clave para ellas fue la teoría de la dualidad para grupos finitos. [21] [22] En esta teoría, la categoría de grupos finitos está incrustada por la operaciónde tomar álgebra de grupo (encima ) en la categoría de álgebras de Hopf de dimensión finita , de modo que el functor de dualidad de Pontryagin se convierte en la operación de tomar el espacio vectorial dual (que es un funtor de dualidad en la categoría de álgebras de Hopf de dimensión finita). [22]
En 1973 Leonid I. Vainerman, George I. Kac, Michel Enock y Jean-Marie Schwartz construyeron una teoría general de este tipo para todos los grupos compactos localmente. [23] A partir de la década de 1980 se reanudó la investigación en esta área tras el descubrimiento de los grupos cuánticos , a los que las teorías construidas comenzaron a transferirse activamente. [24] Estas teorías están formuladas en el lenguaje de las álgebras C * , o álgebras de Von Neumann , y una de sus variantes es la teoría reciente de los grupos cuánticos localmente compactos . [25] [24]
Uno de los inconvenientes de estas teorías generales, sin embargo, es que en ellas los objetos que generalizan el concepto de grupo no son álgebras de Hopf en el sentido algebraico habitual. [22] Esta deficiencia puede corregirse (para algunas clases de grupos) dentro del marco de las teorías de la dualidad construidas sobre la base de la noción de envolvente del álgebra topológica. [22] [26]
Ver también
- Teorema de Peter-Weyl
- Dualidad Cartier
- Espacio estereotipado
Notas
- ^ Hewitt y Ross 1963 , (24.2).
- ^ Morris 1977 , Capítulo 4.
- ^ Roeder, David W. (1974), "Teoría de categorías aplicada a la dualidad de Pontryagin" , Pacific Journal of Mathematics , 52 (2): 519-527, doi : 10.2140 / pjm.1974.52.519
- ^ Onishchik 1984 .
- ↑ a b c Akbarov y Shavgulidze, 2003 .
- ^ Chasco, Dikranjan y Martín-Peinador 2012 .
- ^ Kaplan, 1948 .
- ^ Kaplan 1950 .
- ^ Venkataraman 1975 .
- ^ Ardanza-Trevijano y Chasco 2005 .
- ^ Martín-Peinador 1995 .
- ^ Continuidad conjunta significa aquí que el mapa es continuo como un mapa entre espacios topológicos, donde está dotado de la topología de producto cartesiano. Este resultado no se mantiene si el mapase supone que es continuo por separado, o continuo en el sentido de estereotipo .
- ^ Donde el segundo grupo dual es dual para en el mismo sentido.
- ^ Smith, 1952 .
- ↑ Brudovski, 1967 .
- ^ Waterhouse 1968 .
- ^ Brauner 1973 .
- ^ Akbarov 2003 .
- ^ Hewitt y Ross 1970 .
- ^ Kirillov 1976 .
- ↑ Kirillov , 1976 , 12.3.
- ↑ a b c d Akbarov, 2009 .
- ^ Enock y Schwartz 1992 .
- ↑ a b Timmermann, 2008 .
- ^ Kustermans y Vaes 2000 .
- ^ Akbarov 2017 . error sfn: múltiples objetivos (2 ×): CITEREFAkbarov2017 ( ayuda )
Referencias
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