Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que, junto con la ley de fuerza de Lorentz , forman la base del electromagnetismo clásico, la óptica clásica y los circuitos eléctricos . Las ecuaciones proporcionan un modelo matemático para tecnologías eléctricas, ópticas y de radio, como generación de energía, motores eléctricos, comunicación inalámbrica , lentes, radar, etc. Describen cómo los campos eléctricos y magnéticos son generados por cargas , corrientes y cambios de campos. . [nota 1]Las ecuaciones llevan el nombre del físico y matemático James Clerk Maxwell , quien, en 1861 y 1862, publicó una forma temprana de las ecuaciones que incluía la ley de fuerza de Lorentz. Maxwell utilizó por primera vez las ecuaciones para proponer que la luz es un fenómeno electromagnético.
Una consecuencia importante de las ecuaciones de Maxwell es que demuestran cómo los campos eléctricos y magnéticos fluctuantes se propagan a una velocidad constante ( c ) en el vacío. Conocidas como radiación electromagnética , estas ondas pueden ocurrir en varias longitudes de onda para producir un espectro de luz desde ondas de radio hasta rayos gamma .
Las ecuaciones tienen dos variantes principales. Las ecuaciones microscópicas tienen aplicabilidad universal pero son difíciles de manejar para cálculos comunes. Relacionan los campos eléctricos y magnéticos con la carga total y la corriente total, incluidas las cargas y corrientes complicadas en los materiales a escala atómica . Las ecuaciones macroscópicas definen dos nuevos campos auxiliares que describen el comportamiento a gran escala de la materia sin tener que considerar cargas a escala atómica y fenómenos cuánticos como los espines. Sin embargo, su uso requiere parámetros determinados experimentalmente para una descripción fenomenológica de la respuesta electromagnética de los materiales.
El término "ecuaciones de Maxwell" también se utiliza a menudo para formulaciones alternativas equivalentes . Se prefieren las versiones de las ecuaciones de Maxwell basadas en los potenciales escalares eléctricos y magnéticos para resolver explícitamente las ecuaciones como un problema de valor límite , mecánica analítica o para su uso en mecánica cuántica . La formulación covariante (sobre el espacio-tiempo en lugar del espacio y el tiempo por separado) hace que se manifieste la compatibilidad de las ecuaciones de Maxwell con la relatividad especial . Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo , comúnmente utilizadas en física de alta energía y gravitacional , son compatibles con la relatividad general . [nota 2] De hecho, Albert Einstein desarrolló la relatividad especial y general para acomodar la velocidad invariante de la luz, una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell, con el principio de que solo el movimiento relativo tiene consecuencias físicas.
La publicación de las ecuaciones marcó la unificación de una teoría para fenómenos previamente descritos por separado: magnetismo, electricidad, luz y radiación asociada. Desde mediados del siglo XX, se ha entendido que las ecuaciones de Maxwell no dan una descripción exacta de los fenómenos electromagnéticos, sino que son un límite clásico de la teoría más precisa de la electrodinámica cuántica .
Descripciones conceptuales
Ley de Gauss
La ley de Gauss describe la relación entre un campo eléctrico estático y las cargas eléctricas que lo causan: un campo eléctrico estático apunta lejos de las cargas positivas y hacia las cargas negativas, y la salida neta del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada. por la superficie. Esto significa que el flujo neto que pasa a través de una superficie cerrada produce la carga total (incluida la carga ligada debido a la polarización del material) encerrada por esa superficie, dividida por la dielectricidad del espacio libre (la permitividad del vacío ).
Ley de Gauss para el magnetismo
La ley de Gauss para el magnetismo establece que no existen "cargas magnéticas" (también llamadas monopolos magnéticos ), análogas a las cargas eléctricas. [1] En cambio, el campo magnético debido a los materiales se genera mediante una configuración llamada dipolo , y la salida neta del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es cero. Los dipolos magnéticos se representan mejor como bucles de corriente, pero se asemejan a "cargas magnéticas" positivas y negativas, unidas de forma inseparable, sin tener "carga magnética" neta. Declaraciones técnicas equivalentes son que la suma del flujo magnético total a través de cualquier superficie gaussiana es cero, o que el campo magnético es un campo vectorial solenoidal . [nota 3]
Ley de Faraday
La versión de Maxwell-Faraday de la ley de inducción de Faraday describe cómo un campo magnético variable en el tiempo crea ("induce") un campo eléctrico . [1] En forma integral, establece que el trabajo por unidad de carga requerido para mover una carga alrededor de un circuito cerrado es igual a la tasa de cambio del flujo magnético a través de la superficie cerrada.
La inducción electromagnética es el principio de funcionamiento detrás de muchos generadores eléctricos : por ejemplo, una barra magnética giratoria crea un campo magnético cambiante, que a su vez genera un campo eléctrico en un cable cercano.
Ley de Ampère con la adición de Maxwell
La ley de Ampère con la adición de Maxwell establece que los campos magnéticos se pueden generar de dos formas: mediante corriente eléctrica (esta era la "ley de Ampère" original) y cambiando los campos eléctricos (esta era la "adición de Maxwell", que él llamó corriente de desplazamiento ). En forma integral, el campo magnético inducido alrededor de cualquier circuito cerrado es proporcional a la corriente eléctrica más la corriente de desplazamiento (proporcional a la tasa de cambio del flujo eléctrico) a través de la superficie cerrada.
La adición de Maxwell a la ley de Ampère es particularmente importante: hace que el conjunto de ecuaciones sea matemáticamente consistente para campos no estáticos, sin cambiar las leyes de Ampere y Gauss para campos estáticos. [2] Sin embargo, como consecuencia, predice que un campo magnético cambiante induce un campo eléctrico y viceversa. [1] [3] Por lo tanto, estas ecuaciones permiten que las " ondas electromagnéticas " autosostenidas viajen a través del espacio vacío (consulte la ecuación de ondas electromagnéticas ).
La velocidad calculada para las ondas electromagnéticas, que podría predecirse a partir de experimentos sobre cargas y corrientes, [nota 4] coincide con la velocidad de la luz ; de hecho, la luz es una forma de radiación electromagnética (al igual que los rayos X , las ondas de radio y otras). Maxwell comprendió la conexión entre las ondas electromagnéticas y la luz en 1861, unificando así las teorías del electromagnetismo y la óptica .
Formulación en términos de campos eléctricos y magnéticos (microscópicos o en versión de vacío)
En la formulación del campo eléctrico y magnético hay cuatro ecuaciones que determinan los campos para una carga y una distribución de corriente dadas. Una ley de la naturaleza separada , la ley de fuerza de Lorentz , describe cómo, a la inversa, los campos eléctrico y magnético actúan sobre partículas cargadas y corrientes. Maxwell incluyó una versión de esta ley en las ecuaciones originales pero, por convención, ya no se incluye. El siguiente formalismo de cálculo vectorial , obra de Oliver Heaviside , [4] [5] se ha convertido en estándar. Es manifiestamente invariante en la rotación y, por lo tanto, matemáticamente mucho más transparente que las 20 ecuaciones originales de Maxwell en componentes x, y, z. Las formulaciones relativistas son aún más simétricas y manifiestamente invariantes de Lorentz. Para las mismas ecuaciones expresadas mediante cálculo tensorial o formas diferenciales, consulte formulaciones alternativas .
Las formulaciones diferencial e integral son matemáticamente equivalentes y ambas son útiles. La formulación integral relaciona campos dentro de una región del espacio con campos en el límite y, a menudo, se puede utilizar para simplificar y calcular directamente campos a partir de distribuciones simétricas de cargas y corrientes. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales son puramente locales y son un punto de partida más natural para calcular los campos en situaciones más complicadas (menos simétricas), por ejemplo, utilizando el análisis de elementos finitos . [6]
Clave de la notación
Los símbolos en negrita representan cantidades vectoriales y los símbolos en cursiva representan cantidades escalares , a menos que se indique lo contrario. Las ecuaciones introducen el campo eléctrico , E , un campo vectorial , y el campo magnético , B , un campo pseudovectorial , cada uno de los cuales generalmente tiene una dependencia del tiempo y la ubicación. Las fuentes son
- la densidad de carga eléctrica total (carga total por unidad de volumen), ρ , y
- del total eléctrica densidad de corriente (corriente total por unidad de área), J .
Las constantes universales que aparecen en las ecuaciones (las dos primeras explícitamente solo en la formulación de unidades SI) son:
- la permitividad del espacio libre , ε 0 , y
- la permeabilidad del espacio libre , μ 0 , y
- la velocidad de la luz ,
Ecuaciones diferenciales
En las ecuaciones diferenciales,
- el símbolo nabla , ∇ , denota el operador de gradiente tridimensional , del ,
- el símbolo ∇⋅ (pronunciado "del dot") denota el operador de divergencia ,
- el símbolo ∇ × (pronunciado "del cross") denota el operador de rizo .
Ecuaciones integrales
En las ecuaciones integrales,
- Ω es cualquier volumen fijo con superficie límite cerrada ∂Ω , y
- Σ es cualquier superficie fija con curva límite cerrada ∂Σ ,
Aquí, un volumen o superficie fijo significa que no cambia con el tiempo. Las ecuaciones son correctas, completas y un poco más fáciles de interpretar con superficies independientes del tiempo. Por ejemplo, dado que la superficie es independiente del tiempo, podemos llevar la diferenciación bajo el signo integral en la ley de Faraday:
Las ecuaciones de Maxwell se pueden formular con superficies y volúmenes posiblemente dependientes del tiempo usando la versión diferencial y usando la fórmula de Gauss y Stokes de manera apropiada.
- es una superficie integral sobre la superficie límite ∂Ω , con el bucle que indica que la superficie está cerrada
- es una integral de volumen sobre el volumen Ω ,
- es una línea integral alrededor de la curva límite ∂Σ , con el bucle que indica que la curva está cerrada.
- es una superficie integral sobre la superficie Σ ,
- La carga eléctrica total Q encerrada en Ω es la integral de volumen sobre Ω de la densidad de carga ρ (consulte la sección "formulación macroscópica" a continuación):
- donde dV es el elemento de volumen .
- La corriente eléctrica neta I es la integral de superficie de la densidad de corriente eléctrica J que pasa a través de una superficie fija, Σ :
- donde d S denota el elemento del vector diferencial del área de la superficie S , normal a la superficie Σ . (El área del vector a veces se denota por A en lugar de S , pero esto entra en conflicto con la notación del potencial del vector magnético ).
Formulación en la convención de unidades SI
Nombre | Ecuaciones integrales | Ecuaciones diferenciales |
---|---|---|
Ley de Gauss | ||
Ley de Gauss para el magnetismo | ||
Ecuación de Maxwell-Faraday ( Ley de inducción de Faraday ) | ||
Ley circuital de Ampère (con la adición de Maxwell) |
Formulación en la convención de unidades gaussianas
Las definiciones de carga, campo eléctrico y campo magnético se pueden modificar para simplificar el cálculo teórico, absorbiendo factores dimensionados de ε 0 y μ 0 en las unidades de cálculo, por convención. Con un cambio correspondiente en la convención para la ley de fuerza de Lorentz , esto produce la misma física, es decir, trayectorias de partículas cargadas o trabajo realizado por un motor eléctrico. Estas definiciones se prefieren a menudo en física teórica y de alta energía, donde es natural tomar el campo eléctrico y magnético con las mismas unidades, para simplificar la apariencia del tensor electromagnético : el objeto covariante de Lorentz que unifica el campo eléctrico y magnético contendría entonces componentes con unidad y dimensión uniformes. [7] : vii Estas definiciones modificadas se utilizan convencionalmente con las unidades gaussianas ( CGS ). Usando estas definiciones y convenciones, coloquialmente "en unidades gaussianas", [8] las ecuaciones de Maxwell se convierten en: [9]
Nombre | Ecuaciones integrales | Ecuaciones diferenciales |
---|---|---|
Ley de Gauss | ||
Ley de Gauss para el magnetismo | ||
Ecuación de Maxwell-Faraday ( Ley de inducción de Faraday ) | ||
Ley circuital de Ampère (con la adición de Maxwell) |
Las ecuaciones son particularmente legibles cuando la longitud y el tiempo se miden en unidades compatibles como segundos y segundos luz, es decir, en unidades tales que c = 1 unidad de longitud / unidad de tiempo. Desde 1983 (ver Sistema Internacional de Unidades ), los metros y los segundos son compatibles excepto por el legado histórico ya que por definición c = 299 792 458 m / s (≈ 1.0 pies / nanosegundo).
Otros cambios cosméticos, llamados racionalizaciones, son posibles absorbiendo factores de 4 π dependiendo de si queremos que la ley de Coulomb o la ley de Gauss salgan bien, ver Unidades de Lorentz-Heaviside (usadas principalmente en física de partículas ). En física teórica , a menudo es útil elegir unidades tales que la constante de Planck , la carga elemental e incluso la constante de Newton sean 1. Consulte Unidades de Planck .
Relación entre formulaciones diferenciales e integrales
La equivalencia de las formulaciones diferencial e integral son una consecuencia del teorema de divergencia de Gauss y del teorema de Kelvin-Stokes .
Flujo y divergencia
De acuerdo con el teorema de divergencia de Gauss (puramente matemático) , el flujo eléctrico a través de la superficie límite ∂Ω se puede reescribir como
Por tanto, la versión integral de la ecuación de Gauss puede reescribirse como
Dado que Ω es arbitrario (por ejemplo, una pequeña bola arbitraria con centro arbitrario), esto se cumple si y solo si el integrando es cero en todas partes. Esta es la formulación de ecuaciones diferenciales de la ecuación de Gauss hasta un reordenamiento trivial.
De manera similar, reescribir el flujo magnético en la ley de Gauss para el magnetismo en forma integral da
- .
que se satisface para todos los Ω si y solo si En todas partes.
Circulación y rizo
Por el teorema de Kelvin-Stokes podemos reescribir las integrales de línea de los campos alrededor de la curva de límite cerrada ∂Σ en una integral de la "circulación de los campos" (es decir, sus rizos ) sobre una superficie que limita, es decir
- ,
Por tanto, la ley de Ampere modificada en forma integral se puede reescribir como
- .
Dado que Σ puede elegirse arbitrariamente, por ejemplo, como un disco pequeño arbitrario, orientado arbitrariamente y centrado arbitrariamente, concluimos que el integrando es cero si se satisface la ley modificada de Ampere en forma de ecuaciones diferenciales. Asimismo, se sigue la equivalencia de la ley de Faraday en forma diferencial e integral.
Las integrales de línea y los rizos son análogos a las cantidades en la dinámica de fluidos clásica : la circulación de un fluido es la integral de línea del campo de velocidad de flujo del fluido alrededor de un circuito cerrado, y la vorticidad del fluido es el rizo del campo de velocidad.
Conservación de carga
La invariancia de carga se puede derivar como corolario de las ecuaciones de Maxwell. El lado izquierdo de la Ley de Ampere modificada tiene una divergencia cero por la identidad div-curl . Al expandir la divergencia del lado derecho, intercambiar derivadas y aplicar la ley de Gauss, se obtiene:
es decir
- .
Según el Teorema de la divergencia de Gauss, esto significa que la tasa de cambio de carga en un volumen fijo es igual a la corriente neta que fluye a través del límite:
En particular, en un sistema aislado se conserva la carga total.
Ecuaciones de vacío, ondas electromagnéticas y velocidad de la luz.
En una región sin cargas ( ρ = 0 ) y sin corrientes ( J = 0 ), como en el vacío, las ecuaciones de Maxwell se reducen a:
Tomando el rizo (∇ ×) de las ecuaciones del rizo, y usando el rizo de la identidad del rizo obtenemos
La cantidad tiene la dimensión de (tiempo / duración) 2 . Definiendo, las ecuaciones anteriores tienen la forma de las ecuaciones de onda estándar
Ya durante la vida de Maxwell, se descubrió que los valores conocidos de y dar , entonces ya se sabe que es la velocidad de la luz en el espacio libre. Esto lo llevó a proponer que la luz y las ondas de radio estaban propagando ondas electromagnéticas, ya que se confirmó ampliamente. En el antiguo sistema SI de unidades, los valores de y son constantes definidas, (lo que significa que por definición ) que definen el amperio y el medidor. En el nuevo sistema SI , solo c mantiene su valor definido y la carga del electrón obtiene un valor definido.
En materiales con permitividad relativa , ε r , y permeabilidad relativa , μ r , la velocidad de fase de la luz se vuelve
que suele ser [nota 5] menor que c .
Además, E y B son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación de la onda, y están en fase entre sí. Una onda plana sinusoidal es una solución especial de estas ecuaciones. Las ecuaciones de Maxwell explican cómo estas ondas pueden propagarse físicamente a través del espacio. El campo magnético cambiante crea un campo eléctrico cambiante a través de la ley de Faraday . A su vez, ese campo eléctrico crea un campo magnético cambiante a través de la adición de Maxwell a la ley de Ampère . Este ciclo perpetuo permite que estas ondas, ahora conocidas como radiación electromagnética , se muevan a través del espacio a una velocidad c .
Formulación macroscópica
Las ecuaciones anteriores son la versión microscópica de las ecuaciones de Maxwell, que expresan los campos eléctrico y magnético en términos de las cargas y corrientes presentes (posiblemente a nivel atómico). A veces se le llama la forma "general", pero la versión macroscópica a continuación es igualmente general, la diferencia es de contabilidad.
La versión microscópica a veces se denomina "ecuaciones de Maxwell en el vacío": esto se refiere al hecho de que el medio material no está integrado en la estructura de las ecuaciones, sino que aparece solo en los términos de carga y corriente. La versión microscópica fue introducida por Lorentz, quien intentó utilizarla para derivar las propiedades macroscópicas de la materia a granel a partir de sus componentes microscópicos. [10] : 5
Las "ecuaciones macroscópicas de Maxwell", también conocidas como ecuaciones de Maxwell en la materia , son más similares a las que presentó el propio Maxwell.
Nombre | Ecuaciones integrales (convención SI) | Ecuaciones diferenciales (convención SI) | Ecuaciones diferenciales (convención gaussiana) |
---|---|---|---|
Ley de Gauss | |||
Ley de Gauss para el magnetismo | |||
Ecuación de Maxwell-Faraday (ley de inducción de Faraday) | |||
Ley circuital de Ampère (con la adición de Maxwell) |
En las ecuaciones macroscópicas, la influencia de la carga ligada Q b y la corriente ligada I b se incorpora al campo de desplazamiento D y al campo de magnetización H , mientras que las ecuaciones dependen solo de las cargas libres Q f y las corrientes libres I f . Esto refleja una división de la carga eléctrica total Q y la corriente I (y sus densidades ρ y J ) en partes libres y unidas:
El costo de esta división es que los campos adicionales D y H deben determinarse mediante ecuaciones fenomenológicas constituyentes que relacionan estos campos con el campo eléctrico E y el campo magnético B , junto con la carga y la corriente ligadas.
Consulte a continuación para obtener una descripción detallada de las diferencias entre las ecuaciones microscópicas, que tratan de la carga total y la corriente, incluidas las contribuciones de material, útiles en aire / vacío; [nota 6] y las ecuaciones macroscópicas, que tratan de la carga gratuita y actual, prácticas de usar dentro de los materiales.
Carga limitada y corriente
Cuando se aplica un campo eléctrico a un material dieléctrico, sus moléculas responden formando dipolos eléctricos microscópicos : sus núcleos atómicos se mueven una pequeña distancia en la dirección del campo, mientras que sus electrones se mueven una pequeña distancia en la dirección opuesta. Esto produce una carga unida macroscópica en el material a pesar de que todas las cargas involucradas están unidas a moléculas individuales. Por ejemplo, si cada molécula responde igual, similar a la que se muestra en la figura, estos pequeños movimientos de carga se combinan para producir una capa de carga unida positiva en un lado del material y una capa de carga negativa en el otro lado. La carga unida se describe más convenientemente en términos de la polarización P del material, su momento dipolar por unidad de volumen. Si P es uniforme, se produce una separación macroscópica de carga solo en las superficies donde P entra y sale del material. Para P no uniforme , también se produce una carga a granel. [11]
De manera algo similar, en todos los materiales los átomos constituyentes exhiben momentos magnéticos que están intrínsecamente ligados al momento angular de los componentes de los átomos, más notablemente sus electrones . La conexión con el momento angular sugiere la imagen de un conjunto de bucles de corriente microscópicos. Fuera del material, un conjunto de tales bucles de corriente microscópicos no es diferente de una corriente macroscópica que circula alrededor de la superficie del material, a pesar del hecho de que ninguna carga individual viaja una gran distancia. Estas corrientes consolidados pueden describirse utilizando la magnetización M . [12]
Las cargas ligadas muy complicadas y granulares y las corrientes ligadas, por lo tanto, se pueden representar en la escala macroscópica en términos de P y M , que promedian estas cargas y corrientes en una escala suficientemente grande para no ver la granularidad de los átomos individuales, también lo suficientemente pequeños como para que varíen con la ubicación en el material. Como tal, las ecuaciones macroscópicas de Maxwell ignoran muchos detalles en una escala fina que pueden no ser importantes para comprender los asuntos en una escala bruta al calcular campos que se promedian sobre un volumen adecuado.
Campos auxiliares, polarización y magnetización.
Las definiciones de los campos auxiliares son:
donde P es el campo de polarización y M es el campo de magnetización , que se definen en términos de cargas microscópicas ligadas y corrientes ligadas respectivamente. La densidad de carga ligada macroscópica ρ b y la densidad de corriente ligada J b en términos de polarización P y magnetización M se definen entonces como
Si definimos la carga total, ligada y libre y la densidad de corriente por
y use las relaciones definitorias anteriores para eliminar D , y H , las ecuaciones "macroscópicas" de Maxwell reproducen las ecuaciones "microscópicas".
Relaciones constitutivas
Con el fin de aplicar las ecuaciones de Maxwell 'macroscópicos, es necesario especificar las relaciones entre campo de desplazamiento D y el campo eléctrico E , así como la magnetización de campo H y el campo magnético B . De manera equivalente, tenemos que especificar la dependencia de la polarización P (de ahí la carga ligada) y la magnetización M (de ahí la corriente ligada) en el campo eléctrico y magnético aplicado. Las ecuaciones que especifican esta respuesta se denominan relaciones constitutivas . Para los materiales del mundo real, las relaciones constitutivas rara vez son simples, excepto aproximadamente, y generalmente se determinan mediante experimentos. Consulte el artículo principal sobre relaciones constitutivas para obtener una descripción más completa. [13] : 44–45
Para materiales sin polarización ni magnetización, las relaciones constitutivas son (por definición) [7] : 2
donde ε 0 es la permitividad del espacio libre y μ 0 la permeabilidad del espacio libre. Como no hay cargo consolidado, el total, el cargo gratuito y la corriente son iguales.
Un punto de vista alternativo sobre las ecuaciones microscópicas es que son las ecuaciones macroscópicas junto con la afirmación de que el vacío se comporta como un "material" lineal perfecto sin polarización ni magnetización adicionales. De manera más general, para los materiales lineales, las relaciones constitutivas son [13] : 44–45
donde ε es la permitividad y μ la permeabilidad del material. Para el campo de desplazamiento D, la aproximación lineal suele ser excelente porque para todos los campos eléctricos o temperaturas más extremos que se pueden obtener en el laboratorio (láseres pulsados de alta potencia) los campos eléctricos interatómicos de materiales del orden de 10 11 V / m son mucho más altos. que el campo externo. Para el campo magnetizante, sin embargo, la aproximación lineal puede romperse en materiales comunes como el hierro, dando lugar a fenómenos como la histéresis . Sin embargo, incluso el caso lineal puede tener varias complicaciones.
- Para materiales homogéneos, ε y μ son constantes en todo el material, mientras que para materiales no homogéneos dependen de la ubicación dentro del material (y quizás del tiempo). [14] : 463
- Para materiales isotrópicos, ε y μ son escalares, mientras que para materiales anisotrópicos (por ejemplo, debido a la estructura cristalina) son tensores . [13] : 421 [14] : 463
- Los materiales son generalmente dispersivos , por lo que ε y μ dependen de la frecuencia de cualquier onda EM incidente. [13] : 625 [14] : 397
Incluso de manera más general, en el caso de materiales no lineales (véase por ejemplo no lineal de óptica ), D y P no son necesariamente proporcional a E , de manera similar H o M no es necesariamente proporcional a B . En general, D y H dependen tanto de E como de B , de la ubicación y el tiempo, y posiblemente de otras cantidades físicas.
En las aplicaciones, también se debe describir cómo se comportan las corrientes libres y la densidad de carga en términos de E y B posiblemente acopladas a otras cantidades físicas como la presión y la masa, densidad numérica y velocidad de las partículas portadoras de carga. Por ejemplo, las ecuaciones originales dadas por Maxwell (ver Historia de las ecuaciones de Maxwell ) incluían la ley de Ohm en la forma
Formulaciones alternativas
A continuación se presenta un resumen de algunos de los otros muchos formalismos matemáticos para escribir las ecuaciones microscópicas de Maxwell, con las columnas que separan las dos ecuaciones homogéneas de Maxwell de las dos no homogéneas que involucran carga y corriente. Cada formulación tiene versiones directamente en términos de los campos eléctricos y magnéticos, e indirectamente en términos del potencial eléctrico φ y el potencial vector A . Los potenciales se introdujeron como una forma conveniente de resolver las ecuaciones homogéneas, pero se pensaba que toda la física observable estaba contenida en los campos eléctrico y magnético (o relativísticamente, el tensor de Faraday). Sin embargo, los potenciales juegan un papel central en la mecánica cuántica y actúan de forma mecánica cuántica con consecuencias observables incluso cuando los campos eléctricos y magnéticos desaparecen ( efecto Aharonov-Bohm ).
Cada tabla describe un formalismo. Consulte el artículo principal para obtener detalles de cada formulación. Las unidades SI se utilizan en todas partes.
Formulación | Ecuaciones homogéneas | Ecuaciones no homogéneas |
---|---|---|
Campos 3D espacio euclidiano + tiempo |
|
|
Potenciales (cualquier calibre ) 3D espacio euclidiano + tiempo |
|
|
Potenciales ( calibre de Lorenz ) 3D espacio euclidiano + tiempo |
|
|
Formulación | Ecuaciones homogéneas | Ecuaciones no homogéneas |
---|---|---|
Campos espacio + tiempo métrica espacial independiente del tiempo | ||
Potenciales espacio (con restricciones topológicas) + tiempo métrica espacial independiente del tiempo |
| |
Potenciales (calibre de Lorenz) espacio (con restricciones topológicas) + tiempo métrica espacial independiente del tiempo |
Formulation | Homogeneous equations | Inhomogeneous equations |
---|---|---|
Fields Any space + time | ||
Potentials (any gauge) Any space (with topological restrictions) + time | ||
Potential (Lorenz Gauge) Any space (with topological restrictions) + time spatial metric independent of time |
Formulaciones relativistas
The Maxwell equations can also be formulated on a spacetime-like Minkowski space where space and time are treated on equal footing. The direct spacetime formulations make manifest that the Maxwell equations are relativistically invariant. Because of this symmetry electric and magnetic field are treated on equal footing and are recognised as components of the Faraday tensor. This reduces the four Maxwell equations to two, which simplifies the equations, although we can no longer use the familiar vector formulation. In fact the Maxwell equations in the space + time formulation are not Galileo invariant and have Lorentz invariance as a hidden symmetry. This was a major source of inspiration for the development of relativity theory. Indeed, even the formulation that treats space and time separately is not a non-relativistic approximation and describes the same physics by simply renaming variables. For this reason the relativistic invariant equations are usually called the Maxwell equations as well.
Each table describes one formalism.
Formulation | Homogeneous equations | Inhomogeneous equations |
---|---|---|
Fields Minkowski space | ||
Potentials (any gauge) Minkowski space | ||
Potentials (Lorenz gauge) Minkowski space | ||
Fields Any spacetime | ||
Potentials (any gauge) Any spacetime (with topological restrictions) | ||
Potentials (Lorenz gauge) Any spacetime (with topological restrictions) |
Formulation | Homogeneous equations | Inhomogeneous equations |
---|---|---|
Fields Any spacetime | ||
Potentials (any gauge) Any spacetime (with topological restrictions) | ||
Potentials (Lorenz gauge) Any spacetime (with topological restrictions) |
- In the tensor calculus formulation, the electromagnetic tensor Fαβ is an antisymmetric covariant order 2 tensor; the four-potential, Aα, is a covariant vector; the current, Jα, is a vector; the square brackets, [ ], denote antisymmetrization of indices; ∂α is the derivative with respect to the coordinate, xα. In Minkowski space coordinates are chosen with respect to an inertial frame; (xα) = (ct,x,y,z), so that the metric tensor used to raise and lower indices is ηαβ = diag(1,−1,−1,−1). The d'Alembert operator on Minkowski space is ◻ = ∂α∂α as in the vector formulation. In general spacetimes, the coordinate system xα is arbitrary, the covariant derivative ∇α, the Ricci tensor, Rαβ and raising and lowering of indices are defined by the Lorentzian metric, gαβ and the d'Alembert operator is defined as ◻ = ∇α∇α. The topological restriction is that the second real cohomology group of the space vanishes (see the differential form formulation for an explanation). This is violated for Minkowski space with a line removed, which can model a (flat) spacetime with a point-like monopole on the complement of the line.
- In the differential form formulation on arbitrary space times, F = 1/2Fαβdxα ∧ dxβ is the electromagnetic tensor considered as a 2-form, A = Aαdxα is the potential 1-form, is the current 3-form, d is the exterior derivative, and is the Hodge star on forms defined (up to its orientation, i.e. its sign) by the Lorentzian metric of spacetime. In the special case of 2-forms such as F, the Hodge star depends on the metric tensor only for its local scale. This means that, as formulated, the differential form field equations are conformally invariant, but the Lorenz gauge condition breaks conformal invariance. The operator is the d'Alembert–Laplace–Beltrami operator on 1-forms on an arbitrary Lorentzian spacetime. The topological condition is again that the second real cohomology group is 'trivial' (meaning that its form follows from a definition). By the isomorphism with the second de Rham cohomology this condition means that every closed 2-form is exact.
Other formalisms include the geometric algebra formulation and a matrix representation of Maxwell's equations. Historically, a quaternionic formulation[15][16] was used.
Soluciones
Maxwell's equations are partial differential equations that relate the electric and magnetic fields to each other and to the electric charges and currents. Often, the charges and currents are themselves dependent on the electric and magnetic fields via the Lorentz force equation and the constitutive relations. These all form a set of coupled partial differential equations which are often very difficult to solve: the solutions encompass all the diverse phenomena of classical electromagnetism. Some general remarks follow.
As for any differential equation, boundary conditions[17][18][19] and initial conditions[20] are necessary for a unique solution. For example, even with no charges and no currents anywhere in spacetime, there are the obvious solutions for which E and B are zero or constant, but there are also non-trivial solutions corresponding to electromagnetic waves. In some cases, Maxwell's equations are solved over the whole of space, and boundary conditions are given as asymptotic limits at infinity.[21] In other cases, Maxwell's equations are solved in a finite region of space, with appropriate conditions on the boundary of that region, for example an artificial absorbing boundary representing the rest of the universe,[22][23] or periodic boundary conditions, or walls that isolate a small region from the outside world (as with a waveguide or cavity resonator).[24]
Jefimenko's equations (or the closely related Liénard–Wiechert potentials) are the explicit solution to Maxwell's equations for the electric and magnetic fields created by any given distribution of charges and currents. It assumes specific initial conditions to obtain the so-called "retarded solution", where the only fields present are the ones created by the charges. However, Jefimenko's equations are unhelpful in situations when the charges and currents are themselves affected by the fields they create.
Numerical methods for differential equations can be used to compute approximate solutions of Maxwell's equations when exact solutions are impossible. These include the finite element method and finite-difference time-domain method.[17][19][25][26][27] For more details, see Computational electromagnetics.
Sobredeterminación de las ecuaciones de Maxwell
Maxwell's equations seem overdetermined, in that they involve six unknowns (the three components of E and B) but eight equations (one for each of the two Gauss's laws, three vector components each for Faraday's and Ampere's laws). (The currents and charges are not unknowns, being freely specifiable subject to charge conservation.) This is related to a certain limited kind of redundancy in Maxwell's equations: It can be proven that any system satisfying Faraday's law and Ampere's law automatically also satisfies the two Gauss's laws, as long as the system's initial condition does, and assuming conservation of charge and the nonexistence of magnetic monopoles.[28][29] This explanation was first introduced by Julius Adams Stratton in 1941.[30]
Although it is possible to simply ignore the two Gauss's laws in a numerical algorithm (apart from the initial conditions), the imperfect precision of the calculations can lead to ever-increasing violations of those laws. By introducing dummy variables characterizing these violations, the four equations become not overdetermined after all. The resulting formulation can lead to more accurate algorithms that take all four laws into account.[31]
Both identities , which reduce eight equations to six independent ones, are the true reason of overdetermination.[32][33] Or definitions of linear dependence for PDE can be referred.
Equivalently, the overdetermination can be viewed as implying conservation of electric and magnetic charge, as they are required in the derivation described above but implied by the two Gauss's laws.
For linear algebraic equations, one can make 'nice' rules to rewrite the equations and unknowns. The equations can be linearly dependent. But in differential equations, and especially PDEs, one needs appropriate boundary conditions, which depend in not so obvious ways on the equations. Even more, if one rewrites them in terms of vector and scalar potential, then the equations are underdetermined because of Gauge fixing.
Ecuaciones de Maxwell como límite clásico de QED
Maxwell's equations and the Lorentz force law (along with the rest of classical electromagnetism) are extraordinarily successful at explaining and predicting a variety of phenomena. However they do not account for quantum effects and so their domain of applicability is limited. Maxwell's equations are thought of as the classical limit of quantum electrodynamics (QED).
Some observed electromagnetic phenomena are incompatible with Maxwell's equations. These include photon–photon scattering and many other phenomena related to photons or virtual photons, "nonclassical light" and quantum entanglement of electromagnetic fields (see quantum optics). E.g. quantum cryptography cannot be described by Maxwell theory, not even approximately. The approximate nature of Maxwell's equations becomes more and more apparent when going into the extremely strong field regime (see Euler–Heisenberg Lagrangian) or to extremely small distances.
Finally, Maxwell's equations cannot explain any phenomenon involving individual photons interacting with quantum matter, such as the photoelectric effect, Planck's law, the Duane–Hunt law, and single-photon light detectors. However, many such phenomena may be approximated using a halfway theory of quantum matter coupled to a classical electromagnetic field, either as external field or with the expected value of the charge current and density on the right hand side of Maxwell's equations.
Variaciones
Popular variations on the Maxwell equations as a classical theory of electromagnetic fields are relatively scarce because the standard equations have stood the test of time remarkably well.
Magnetic monopoles
Maxwell's equations posit that there is electric charge, but no magnetic charge (also called magnetic monopoles), in the universe. Indeed, magnetic charge has never been observed, despite extensive searches,[note 7] and may not exist. If they did exist, both Gauss's law for magnetism and Faraday's law would need to be modified, and the resulting four equations would be fully symmetric under the interchange of electric and magnetic fields.[7]:273–275
Ver también
- Algebra of physical space
- Fresnel equations
- Gravitoelectromagnetism
- Interface conditions for electromagnetic fields
- Moving magnet and conductor problem
- Galilean non-invariance of classical electromagnetism
- Riemann–Silberstein vector
- Spacetime algebra
- Wheeler–Feynman absorber theory
Notas
- ^ Electric and magnetic fields, according to the theory of relativity, are the components of a single electromagnetic field.
- ^ In general relativity, however, they must enter, through its stress–energy tensor, into Einstein field equations that include the spacetime curvature.
- ^ The absence of sinks/sources of the field does not imply that the field lines must be closed or escape to infinity. They can also wrap around indefinitely, without self-intersections. Moreover, around points where the field is zero (that cannot be intersected by field lines, because their direction would not be defined), there can be the simultaneous begin of some lines and end of other lines. This happens, for instance, in the middle between two identical cylindrical magnets, whose north poles face each other. In the middle between those magnets, the field is zero and the axial field lines coming from the magnets end. At the same time, an infinite number of divergent lines emanate radially from this point. The simultaneous presence of lines which end and begin around the point preserves the divergence-free character of the field. For a detailed discussion of non-closed field lines, see L. Zilberti "The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines", IEEE Magnetics Letters, vol. 8, art. 1306005, 2017 (available at https://zenodo.org/record/4518772#.YCJU_WhKjIU)
- ^ The quantity we would now call 1⁄√ε0μ0, with units of velocity, was directly measured before Maxwell's equations, in an 1855 experiment by Wilhelm Eduard Weber and Rudolf Kohlrausch. They charged a leyden jar (a kind of capacitor), and measured the electrostatic force associated with the potential; then, they discharged it while measuring the magnetic force from the current in the discharge wire. Their result was 3.107×108 m/s, remarkably close to the speed of light. See Joseph F. Keithley, The story of electrical and magnetic measurements: from 500 B.C. to the 1940s, p. 115
- ^ There are cases (anomalous dispersion) where the phase velocity can exceed c, but the "signal velocity" will still be < c
- ^ In some books—e.g., in U. Krey and A. Owen's Basic Theoretical Physics (Springer 2007)—the term effective charge is used instead of total charge, while free charge is simply called charge.
- ^ See magnetic monopole for a discussion of monopole searches. Recently, scientists have discovered that some types of condensed matter, including spin ice and topological insulators, which display emergent behavior resembling magnetic monopoles. (See sciencemag.org and nature.com.) Although these were described in the popular press as the long-awaited discovery of magnetic monopoles, they are only superficially related. A "true" magnetic monopole is something where ∇ ⋅ B ≠ 0, whereas in these condensed-matter systems, ∇ ⋅ B = 0 while only ∇ ⋅ H ≠ 0.
Referencias
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- ^ J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, section 6.3
- ^ Principles of physics: a calculus-based text, by R. A. Serway, J. W. Jewett, page 809.
- ^ Bruce J. Hunt (1991) The Maxwellians, chapter 5 and appendix, Cornell University Press
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- ^ See David J. Griffiths (1999). "4.2.2". Introduction to Electrodynamics (third ed.). Prentice Hall. for a good description of how P relates to the bound charge.
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- ^ Courant, R. & Hilbert, D. (1962), Methods of Mathematical Physics: Partial Differential Equations, II, New York: Wiley-Interscience, pp. 15–18, ISBN 9783527617241
- Further reading can be found in list of textbooks in electromagnetism
Publicaciones históricas
- On Faraday's Lines of Force – 1855/56 Maxwell's first paper (Part 1 & 2) – Compiled by Blaze Labs Research (PDF)
- On Physical Lines of Force – 1861 Maxwell's 1861 paper describing magnetic lines of Force – Predecessor to 1873 Treatise
- James Clerk Maxwell, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459–512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)
- A Dynamical Theory Of The Electromagnetic Field – 1865 Maxwell's 1865 paper describing his 20 Equations, link from Google Books.
- J. Clerk Maxwell (1873) A Treatise on Electricity and Magnetism
- Maxwell, J.C., A Treatise on Electricity And Magnetism – Volume 1 – 1873 – Posner Memorial Collection – Carnegie Mellon University
- Maxwell, J.C., A Treatise on Electricity And Magnetism – Volume 2 – 1873 – Posner Memorial Collection – Carnegie Mellon University
The developments before relativity:
- Joseph Larmor (1897) "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Phil. Trans. Roy. Soc. 190, 205–300 (third and last in a series of papers with the same name).
- Hendrik Lorentz (1899) "Simplified theory of electrical and optical phenomena in moving systems", Proc. Acad. Science Amsterdam, I, 427–43.
- Hendrik Lorentz (1904) "Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity less than that of light", Proc. Acad. Science Amsterdam, IV, 669–78.
- Henri Poincaré (1900) "La théorie de Lorentz et le Principe de Réaction", Archives Néerlandaises, V, 253–78.
- Henri Poincaré (1902) La Science et l'Hypothèse
- Henri Poincaré (1905) "Sur la dynamique de l'électron", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 140, 1504–8.
- Catt, Walton and Davidson. "The History of Displacement Current". Wireless World, March 1979.
Otras lecturas
- Imaeda, K. (1995), "Biquaternionic Formulation of Maxwell's Equations and their Solutions", in Ablamowicz, Rafał; Lounesto, Pertti (eds.), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer, pp. 265–280, doi:10.1007/978-94-015-8422-7_16, ISBN 978-90-481-4525-6
enlaces externos
- Media related to Maxwell's equations at Wikimedia Commons
- "Maxwell equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- maxwells-equations.com — An intuitive tutorial of Maxwell's equations.
- The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 18: The Maxwell Equations
Modern treatments
- Electromagnetism (ch. 11), B. Crowell, Fullerton College
- Lecture series: Relativity and electromagnetism, R. Fitzpatrick, University of Texas at Austin
- Electromagnetic waves from Maxwell's equations on Project PHYSNET.
- MIT Video Lecture Series (36 × 50 minute lectures) (in .mp4 format) – Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
Other
- Silagadze, Z. K. (2002). "Feynman's derivation of Maxwell equations and extra dimensions". Annales de la Fondation Louis de Broglie. 27: 241–256. arXiv:hep-ph/0106235. Bibcode:2001hep.ph....6235S.
- Nature Milestones: Photons – Milestone 2 (1861) Maxwell's equations