El kernel de Mehler es una función de valor complejo que se considera el propagador del oscilador armónico cuántico .
Fórmula de Mehler
Mehler ( 1866 ) definió una función [1]
y mostró, en notación modernizada, [2] que se puede expandir en términos de polinomios de Hermite H (.) basado en la función de peso exp (- x ²) como
Este resultado es útil, en forma modificada, en física cuántica, teoría de probabilidad y análisis armónico.
Versión física
En física, la solución fundamental ( función de Green ) o propagador del hamiltoniano para el oscilador armónico cuántico se llama núcleo de Mehler . Proporciona la solución fundamental --- la solución más general [3] φ ( x , t ) a
Las funciones propias ortonormales del operador D son las funciones de Hermite ,
con los valores propios correspondientes (2 n +1), proporcionando soluciones particulares
La solución general es entonces una combinación lineal de estos; cuando se ajusta a la condición inicial φ (x, 0) , la solución general se reduce a
donde el kernel K tiene la representación separable
Utilizando la fórmula de Mehler se obtiene
Al sustituir esto en la expresión de K con el valor exp (−2 t ) para ρ , el núcleo de Mehler finalmente lee
Cuando t = 0, las variables x e y coinciden, lo que resulta en la fórmula de limitación necesaria por la condición inicial,
Como solución fundamental, el kernel es aditivo,
Esto se refiere además a la estructura de rotación simpléctico del núcleo K . [4]
Versión de probabilidad
El resultado de Mehler también se puede vincular a la probabilidad. Para esto, las variables deben ser reescaladas como x → x / √ 2 , y → y / √ 2 , para cambiar de los polinomios de Hermite del 'físico' H (.) (Con función de peso exp (- x ²)) a polinomios de Hermite "probabilistas" He (.) (con función de ponderación exp (- x ² / 2)). Entonces, E se convierte en
El lado izquierdo aquí es p (x, y) / p (x) p (y) donde p (x, y) es la función de densidad de probabilidad gaussiana bivariada para las variables x, y que tienen medias cero y varianzas unitarias:
y p (x), p (y) son las correspondientes densidades de probabilidad de x y y (normal tanto estándar).
A continuación, se muestra la forma del resultado normalmente citada (Kibble 1945) [5]
Esta expansión se deriva más fácilmente utilizando la transformada bidimensional de Fourier de p (x, y) , que es
Esto se puede expandir como
La transformada de Fourier inversa inmediatamente produce la fórmula de expansión anterior.
Este resultado puede extenderse al caso multidimensional (Kibble 1945, Slepian 1972, [6] Hörmander 1985 [7] ).
Transformada fraccional de Fourier
Dado que las funciones de Hermite ψ n son funciones propias ortonormales de la transformada de Fourier ,
en análisis armónico y procesamiento de señales , diagonalizan al operador de Fourier,
Por tanto, la generalización continua para el ángulo real α se puede definir fácilmente ( Wiener , 1929; [8] Condon , 1937 [9] ), la transformada fraccional de Fourier (FrFT), con kernel
Esta es una familia continua de transformadas lineales que generalizan la transformada de Fourier , de modo que, para α = π / 2 , se reduce a la transformada de Fourier estándar y para α = - π / 2 a la transformada de Fourier inversa.
La fórmula de Mehler, para ρ = exp (−i α ), proporciona directamente
La raíz cuadrada se define de manera que el argumento del resultado se encuentre en el intervalo [- π / 2, π / 2].
Si α es un múltiplo entero de π , entonces las funciones cotangente y cosecante anteriores divergen. En el límite , el núcleo va a una función delta de Dirac en el integrando, δ (x − y) o δ (x + y) , para α un múltiplo par o impar de π , respectivamente. Desde[ f ] = f (- x ),[ F ] debe ser simplemente f ( x ) o f (- x ) para α un múltiplo par o impar de π , respectivamente.
Ver también
Referencias
- ^ Mehler, FG (1866), "Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán) (66): 161-176, ISSN 0075-4102 , ERAM 066.1720cj (véase p. 174, ec. (18) y p. 173, ec. (13))
- ^ Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Funciones trascendentales superiores. Vol. II , McGraw-Hill( escaneo : p.194 10.13 (22) )
- ↑ Pauli, W. , Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 ; Ver sección 44.
- ^ La forma cuadrática en su exponente, hasta un factor de -1/2, involucra la matriz simpléctica más simple (unimodular, simétrica)en Sp (2, ℝ). Es decir,
- dónde
- ^ Kibble, WF (1945), "Una extensión de un teorema de Mehler sobre polinomios de Hermite", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 41 : 12-15, doi : 10.1017 / S0305004100022313 , MR 0012728
- ^ Slepian, David (1972), "Sobre el poder de Kronecker simetrizado de una matriz y extensiones de la fórmula de Mehler para polinomios de Hermite", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 3 (4): 606–616, doi : 10.1137 / 0503060 , ISSN 0036- 1410 , MR 0315173
- ^ Hörmander, Lars (1995). "Clasificación simpléctica de formas cuadráticas y fórmulas generales de Mehler". Mathematische Zeitschrift . 219 : 413–449. doi : 10.1007 / BF02572374 .
- ^ Wiener , N (1929), "Polinomios hermitianos y análisis de Fourier", Revista de matemáticas y física 8 : 70-73.
- ^ Condon, UE (1937). "Inmersión de la transformada de Fourier en un grupo continuo de transformaciones funcionales", Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23 , 158-164. en línea
- Nicole Berline, Ezra Getzler y Michèle Vergne (2013). Heat Kernels and Dirac Operators , (Springer: Grundlehren Text Editions) Tapa blanda ISBN 3540200622
- Louck, JD (1981). "Extensión de la fórmula de Kibble-Slepian para polinomios de Hermite usando métodos de operador de bosón". Avances en Matemática Aplicada . 2 (3): 239–249. doi : 10.1016 / 0196-8858 (81) 90005-1 .
- HM Srivastava y JP Singhal (1972). "Algunas extensiones de la fórmula de Mehler", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 31 : 135-141. (en línea )