En matemáticas , la correspondencia theta o correspondencia de Howe es una relación matemática entre representaciones de dos grupos de un par dual reductivo . La correspondencia theta local relaciona representaciones admisibles irreductibles sobre un campo local , mientras que la correspondencia theta global relaciona representaciones automórficas irreductibles sobre un campo global .
La correspondencia theta fue introducida por Roger Howe en Howe (1979) . Su nombre surgió debido a su origen en la formulación teórica de la representación de André Weil de la teoría de la serie theta en Weil (1964) . La correspondencia de Shimura tal como la construyeron Jean-Loup Waldspurger en Waldspurger (1980) y Waldspurger (1991) puede verse como un ejemplo de la correspondencia theta.
Declaración
Configuración
Dejar ser un campo local o global, no característico . Dejarser un espacio vectorial simpléctico sobre, y el grupo simpléctico .
Arregle un par dual reductor en . Existe una clasificación de pares duales reductores. [1] [2]
Correspondencia theta local
ahora es un campo local. Corregir un carácter aditivo no trivial de . Existe una representación de Weil del grupo metapléctico asociado a , que escribimos como .
Dado el par dual reductivo en , se obtiene un par de subgrupos de desplazamientos en retirando el mapa de proyección de a .
La correspondencia theta local es una correspondencia 1-1 entre ciertas representaciones admisibles irreductibles de y ciertas representaciones admisibles irreductibles de , obtenido al restringir la representación de Weil de al subgrupo . La correspondencia fue definida por Roger Howe en Howe (1979) . La afirmación de que se trata de una correspondencia 1-1 se denomina conjetura de dualidad de Howe .
Las propiedades clave de la correspondencia theta local incluyen su compatibilidad con la inducción de Bernstein-Zelevinsky [3] y las relaciones de conservación relativas a los índices de primera aparición a lo largo de las torres Witt. [4]
Correspondencia theta global
Stephen Rallis mostró una versión de la conjetura de dualidad de Howe global para representaciones automórficas cuspidales sobre un campo global, asumiendo la validez de la conjetura de dualidad de Howe para todos los lugares locales. [5]
Conjetura de la dualidad de Howe
Definir el conjunto de representaciones admisibles irreductibles de , que se puede realizar como cocientes de . Definir y , igualmente.
La conjetura de la dualidad de Howe afirma que es la gráfica de una biyección entre y .
Roger Howe demostró la conjetura de la dualidad de Howe para los campos locales de Arquímedes . [6] Para-campos locales árabes con extraño fue probado por Jean-Loup Waldspurger . [7] Alberto Mínguez más tarde dio una prueba para pares duales de grupos lineales generales , que funciona para la característica de residuo arbitrario. [8] Para pares duales ortogonales-simplécticos o unitarios, fue probado por Wee Teck Gan y Shuichiro Takeda. [9] El último caso de pares duales cuaterniónicos fue completado por Wee Teck Gan y Binyong dom. . [10]
Ver también
- Par dual reductor
- Grupo metapléctico
Referencias
- ^ Howe 1979 .
- ^ Mœglin, Vignéras y Waldspurger 1987 .
- ^ Kudla 1986 .
- ^ Sun y Zhu 2015 .
- ^ Rallis 1984 .
- ^ Howe 1989 .
- ^ Waldspurger 1990 .
- ^ Mínguez 2008 .
- ^ Gan y Takeda 2016 .
- ^ Gan y Sun 2017 .
Bibliografía
- Gan, Wee Teck ; Takeda, Shuichiro (2016), "Una prueba de la conjetura de la dualidad de Howe", J. Amer. Matemáticas. Soc. , 29 (2): 473–493, arXiv : 1407.1995 , doi : 10.1090 / jams / 839 , S2CID 942882
- Gan, Wee Teck ; Sun, Binyong (2017), "La conjetura de la dualidad de Howe: caso cuaterniónico", en Cogdell, J .; Kim, J.-L .; Zhu, C.-B. (eds.), Teoría de la representación , Teoría de números y Teoría de la invariante , Progr. Math., 323, Birkhäuser / Springer, págs. 175–192
- Howe, Roger E. (1979), "Serie θ y teoría invariante", en Borel, A .; Casselman, W. (eds.), Formas automórficas, representaciones y funciones L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Parte 1 , Proc. Simpos. Pure Math., XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 275–285, ISBN 978-0-8218-1435-2, MR 0546602
- Howe, Roger E. (1989), "Trascendiendo la teoría invariante clásica", J. Amer. Matemáticas. Soc. , 2 (3): 535–552, doi : 10.2307 / 1990942 , JSTOR 1990942
- Kudla, Stephen S. (1986), "Sobre la correspondencia theta local", Invent. Matemáticas. , 83 (2): 229–255, doi : 10.1007 / BF01388961 , S2CID 122106772
- Mínguez, Alberto (2008), "Correspondance de Howe explicite: paires duales de type II", Ann. Sci. CE. Norma. Súper. , 4, 41 (5): 717–741, doi : 10.24033 / asens.2080
- Mœglin, Colette ; Vignéras, Marie-France ; Waldspurger, Jean-Loup (1987), Correspondances de Howe sur un corps p-adique , Lecture Notes in Mathematics, 1291 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0082712 , ISBN 978-3-540-18699-1, MR 1041060
- Rallis, Stephen (1984), "Sobre la conjetura de la dualidad de Howe", Compositio Math. , 51 (3): 333–399
- Sun, Binyong ; Zhu, Chen-Bo (2015), "Relaciones de conservación para la correspondencia theta local", J. Amer. Matemáticas. Soc. , 28 (4): 939–983, arXiv : 1204.2969 , doi : 10.1090 / S0894-0347-2014-00817-1 , S2CID 5936119
- Waldspurger, Jean-Loup (1980), "Correspondance de Shimura", J. Math. Puras Appl. , 59 (9): 1–132
- Waldspurger, Jean-Loup (1990), "Démonstration d'une conjecture de dualité de Howe dans le cas p-adique, p 2", Festschrift en honor de II Piatetski-Shapiro en ocasión de su sexagésimo cumpleaños, Parte I , Israel Math. Conf. Proc., 2 : 267–324
- Waldspurger, Jean-Loup (1991), "Correspondances de Shimura et quaternions", Forum Math. , 3 (3): 219–307, doi : 10.1515 / form.1991.3.219 , S2CID 123512840
- Weil, André (1964), "Sur ciertos groupes d'opérateurs unitaires", Acta Math. , 111 : 143–211, doi : 10.1007 / BF02391012