La cohomología motivacional es invariante de variedades algebraicas y de esquemas más generales . Es un tipo de cohomología relacionada con motivos e incluye el anillo de Chow de ciclos algebraicos como caso especial. Algunos de los problemas más profundos de la geometría algebraica y la teoría de números son los intentos de comprender la cohomología motívica.
Homología motívica y cohomología
Sea X un esquema de tipo finito sobre un campo k . Un objetivo clave de la geometría algebraica es calcular los grupos de Chow de X , porque dan una fuerte información sobre todas las subvariedades de X . Los grupos de Chow de X tienen algunas de las propiedades formales de la homología de Borel-Moore en topología, pero faltan algunas cosas. Por ejemplo, para un subesquema cerrado Z de X , hay una secuencia exacta de grupos de Chow, la secuencia de localización
mientras que en topología esto sería parte de una secuencia larga y exacta .
Este problema se resolvió mediante la generalización grupos Chow a una familia bigraded de grupos, (Borel-Moore) grupos de homología motívicas (que fueron llamados primero grupos Chow superiores por Bloch ). [1] Es decir, para cada esquema X de tipo finito sobre un campo k y enteros i y j , tenemos un grupo abeliano H i ( X , Z ( j )), siendo el grupo de Chow habitual el caso especial
Para un subesquema cerrado Z de un esquema X , existe una secuencia de localización exacta larga para los grupos de homología motívica, que termina con la secuencia de localización para los grupos de Chow:
De hecho, esta es una de una familia de cuatro teorías construidas por Voevodsky : cohomología motívica, cohomología motívica con soporte compacto, homología motívica de Borel-Moore (como arriba) y homología motívica con soporte compacto. [2] Estas teorías tienen muchas de las propiedades formales de las teorías correspondientes en topología. Por ejemplo, los grupos de cohomología motívica H i (X, Z ( j )) forman un anillo grande para cada esquema X de tipo finito sobre un campo. Cuando X es suave de dimensión n sobre k , hay un isomorfismo de dualidad de Poincaré
En particular, el grupo de Chow CH i ( X ) de codimensión- i ciclos es isomorfo a H 2 i ( X , Z ( i )) cuando X es suave sobre k .
El cohomology motívica H i ( X , Z ( j )) de un esquema liso X sobre k es la cohomología de X en la topología de Zariski con coeficientes en un cierto complejo de poleas Z (j) en X . (Algunas propiedades son más fáciles de probar usando la topología de Nisnevich , pero esto da los mismos grupos de cohomología motívica. [3] ) Por ejemplo, Z (j) es cero para j <0, Z (0) es la gavilla constante Z , y Z (1) es isomorfo en la categoría derivada de X a G m [-1]. [4] Aquí G m (el grupo multiplicativo ) denota el haz de funciones regulares invertibles , y el desplazamiento [−1] significa que este haz se ve como un complejo en grado 1.
Las cuatro versiones de homología motívica y cohomología se pueden definir con coeficientes en cualquier grupo abeliano. Las teorías con diferentes coeficientes están relacionadas por el teorema del coeficiente universal , como en la topología.
Relaciones con otras teorías de cohomología
Relación con la teoría K
Por Bloch, Lichtenbaum , Friedlander , Suslin y Levine, hay una secuencia espectral desde la cohomología motívica hasta la teoría K algebraica para cada esquema uniforme X sobre un campo, análoga a la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch en topología:
Como en la topología, la secuencia espectral degenera después de tensar con los racionales. [5] Para esquemas arbitrarios de tipo finito sobre un campo (no necesariamente liso), existe una secuencia espectral análoga desde la homología motívica a la teoría G (la teoría K de haces coherentes , en lugar de haces de vectores ).
Relación con la teoría K de Milnor
La cohomología motiva ya proporciona una rica invariante para los campos. (Tenga en cuenta que un campo k determina un esquema Spec ( k ), para el cual se define la cohomología motívica.) Aunque la cohomología motívica H i ( k , Z ( j )) para los campos k está lejos de entenderse en general, hay una descripción cuando i = j :
donde K j M ( k ) es el j- ésimo grupo K de Milnor de k . [6] Dado que la teoría K de Milnor de un campo se define explícitamente por generadores y relaciones, esta es una descripción útil de una pieza de la cohomología motívica de k .
Mapa de étale cohomology
Sea X un esquema uniforme sobre un campo k , y sea m un entero positivo que es invertible en k . Luego hay un homomorfismo natural (el mapa del ciclo ) de la cohomología motívica a la cohomología étale :
donde Z / m ( j ) a la derecha significa la gavilla de étale (μ m ) ⊗ j , siendo μ m la m ésima raíz de la unidad. Esto generaliza el mapa del ciclo desde el anillo de Chow de una variedad suave hasta la cohomología étale.
Un objetivo frecuente en la geometría algebraica o la teoría de números es calcular la cohomología motívica, mientras que la cohomología étale es a menudo más fácil de entender. Por ejemplo, si el campo base k son los números complejos, entonces la cohomología étale coincide con la cohomología singular (con coeficientes finitos). Un resultado poderoso probado por Voevodsky, conocido como la conjetura de Beilinson-Lichtenbaum , dice que muchos grupos de cohomología motívica son de hecho isomorfos a los grupos de cohomología étale. Ésta es una consecuencia del teorema del isomorfismo del residuo normativo . A saber, la conjetura Beilinson-Lichtenbaum (teorema de Voevodsky) dice que para un esquema liso X sobre un campo k y m un número entero positivo invertible en k , el mapa ciclo
es un isomorfismo para todo j ≥ i y es inyectivo para todo j ≥ i - 1. [7]
Relación con los motivos
Para cualquier campo k y anillo conmutativo R , Voevodsky definió una categoría triangulada lineal R llamada categoría derivada de motivos sobre k con coeficientes en R , DM ( k ; R ). Cada esquema X sobre k determina dos objetos en DM llamados el motivo de X , M ( X ), y el motivo de soporte compacto de X , M c ( X ); los dos son isomorfos si X es propio sobre k .
Un punto básico de la categoría derivada de motivos es que los cuatro tipos de homología motívica y cohomología motívica surgen como conjuntos de morfismos en esta categoría. Para describir esto, primero observe que hay motivos Tate R ( j ) en DM ( k ; R ) para todos los enteros j , de modo que el motivo del espacio proyectivo es una suma directa de los motivos Tate:
donde M ↦ M [1] denota el desplazamiento o "functor de traducción" en la categoría triangulada DM ( k ; R ). En estos términos, la cohomología motívica (por ejemplo) viene dada por
para cada esquema X de tipo finito sobre k .
Cuando los coeficientes R son los números racionales, una versión moderna de una conjetura de Beilinson predice que la subcategoría de objetos compactos en DM (k; Q ) es equivalente a la categoría derivada acotada de una categoría abeliana MM ( k ), la categoría de motivos mixtos sobre k . En particular, la conjetura implicaría que los grupos de cohomología motívica pueden identificarse con los grupos Ext en la categoría de motivos mixtos. [8] Esto está lejos de ser conocido. Concretamente, la conjetura de Beilinson implicaría la conjetura de Beilinson- Soulé de que H i (X, Q ( j )) es cero para i <0, lo que se conoce solo en unos pocos casos.
Por el contrario, una variante de la conjetura de Beilinson-Soulé, junto con las conjeturas estándar de Grothendieck y las conjeturas de Murre sobre los motivos de Chow, implicaría la existencia de una categoría abeliana MM ( k ) como el corazón de una estructura t en DM ( k ; Q ) . [9] Se necesitarían más para identificar grupos Ext en MM ( k ) con cohomología motívica.
Para k un subcampo de los números complejos, Nori ha definido un candidato para la categoría abeliana de motivos mixtos. [10] Si existe una categoría MM ( k ) con las propiedades esperadas (en particular, que el functor de realización de Betti de MM ( k ) a los espacios del vector Q es fiel ), entonces debe ser equivalente a la categoría de Nori.
Aplicaciones a la geometría aritmética
Valores de las funciones L
Sea X una variedad proyectiva suave sobre un campo numérico. La conjetura de Bloch-Kato sobre los valores de las funciones L predice que el orden de desaparición de una función L de X en un punto entero es igual al rango de un grupo de cohomología motívica adecuado. Éste es uno de los problemas centrales de la teoría de números, que incorpora conjeturas anteriores de Deligne y Beilinson. La conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer es un caso especial. Más precisamente, la conjetura predice el coeficiente principal de la función L en un punto entero en términos de reguladores y un emparejamiento de altura en la cohomología motívica.
Historia
El primer signo claro de una posible generalización de los grupos de Chow a una teoría de cohomología motívica más general para las variedades algebraicas fue la definición y desarrollo de Quillen de la teoría K algebraica (1973), generalizando el grupo de Grothendieck K 0 de paquetes de vectores. A principios de la década de 1980, Beilinson y Soulé observaron que las operaciones de Adams producían una escisión de la teoría K algebraica censurada con los racionales; los sumandos ahora se denominan cohomología motívica (con coeficientes racionales). Beilinson y Lichtenbaum hicieron conjeturas influyentes prediciendo la existencia y propiedades de la cohomología motívica. La mayoría de sus conjeturas, aunque no todas, han sido probadas.
La definición de Bloch de grupos de Chow superiores (1986) fue la primera definición integral (en oposición a la racional) de homología motívica para esquemas sobre un campo k (y por lo tanto cohomología motívica, en el caso de esquemas suaves). La definición de grupos Chow superiores de X es una generalización natural de la definición de grupos Chow, que implica ciclos algebraicos en el producto de X con el espacio afín que se encuentra con un conjunto de hiperplanos (vistos como las caras de un simplex ) en la dimensión esperada.
Finalmente, Voevodsky (basándose en su trabajo con Suslin) definió los cuatro tipos de homología motívica y cohomología motívica en 2000, junto con la categoría derivada de motivos. Hanamura y Levine también definieron categorías relacionadas.
Notas
- ^ Bloch, ciclos algebraicos y grupos K superiores; Voevodsky, Categorías trianguladas de motivos sobre un campo, sección 2.2 y Proposición 4.2.9.
- ^ Voevodsky, Categorías trianguladas de motivos sobre un campo, sección 2.2.
- ↑ Mazza, Voevodsky, Weibel, Lecture Notes on Motivic Cohomology, Example 13.11.
- ^ Mazza, Voevodsky, Weibel, Notas de la conferencia sobre cohomología motívica, Teorema 4.1.
- ^ Levine, teoría K y cohomología motívica de esquemas I, eq. (2.9) y Teorema 14.7.
- ^ Mazza, Voevodsky, Weibel, Notas de la conferencia sobre cohomología motívica, Teorema 5.1.
- ^ Voevodsky, Sobre cohomología motívica concoeficientes Z / l , Teorema 6.17.
- ↑ Jannsen, Gavillas motivadoras y filtraciones en grupos Chow, Conjetura 4.1.
- ^ Hanamura, Motivos mixtos y ciclos algebraicos III, Teorema 3.4.
- ^ Nori, Conferencias en TIFR; Huber y Müller-Stach, Sobre la relación entre motivos Nori y períodos Kontsevich.
Referencias
- Bloch, Spencer (1986), "Ciclos algebraicos y teoría K superior", Avances en matemáticas , 61 (3): 267 ~ 304, doi : 10.1016 / 0001-8708 (86) 90081-2 , ISSN 0001-8708 , MR 0852815
- Hanamura, Masaki (1999), "Motivos mixtos y ciclos algebraicos III", Cartas de investigación matemática , 6 : 61–82, doi : 10.4310 / MRL.1999.v6.n1.a5 , MR 1682709
- Jannsen, Uwe (1994), "Gavillas motivadoras y filtraciones en grupos Chow", Motives , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 245-302, ISBN 978-0-8218-1637-0, MR 1265533
- Mazza, Carlo; Voevodsky, Vladimir ; Weibel, Charles (2006), Lecture Notes on Motivic Cohomology , Clay Mathematics Monographs , 2 , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3847-1, MR 2242284
- Voevodsky, Vladimir (2000), "Categorías trianguladas de motivos sobre un campo", Ciclos, transferencias y teorías de homología motivacional , Princeton University Press , págs. 188-238, ISBN 9781400837120, MR 1764202
- Voevodsky, Vladimir (2011), "Sobre la cohomología motívica con coeficientes Z / l ", Annals of Mathematics : 401–438, arXiv : 0805.4430 , doi : 10.4007 / annals.2011.174.1.11 , MR 2811603
Ver también
- Preheaf con transferencias
- A theory teoría de la homotopía
enlaces externos
- Huber, Annette; Müller-Stach, Stefan, Sobre la relación entre motivos Nori y períodos de Kontsevich , arXiv : 1105.0865 , Bibcode : 2011arXiv1105.0865H
- Levine, Marc, teoría K y cohomología motívica de esquemas I (PDF)
- Nori, Madhav, Conferencias en TIFR , archivado desde el original el 22 de septiembre de 2016
- Harrer Daniel, Comparación de las categorías de motivos definidas por Voevodsky y Nori
- Wiesława Nizioł, cohomología p-ádica motívica en aritmética