En geometría algebraica , el programa de modelo mínimo es parte de la clasificación biracional de variedades algebraicas . Su objetivo es construir un modelo biracional de cualquier variedad proyectiva compleja que sea lo más simple posible. La asignatura tiene su origen en la geometría biracional clásica de superficies estudiada por la escuela italiana , y actualmente es un área de investigación activa dentro de la geometría algebraica.
Esquema
La idea básica de la teoría es simplificar la clasificación biracional de variedades encontrando, en cada clase de equivalencia biracional, una variedad que sea "lo más simple posible". El significado preciso de esta frase ha ido evolucionando con el desarrollo del tema; originalmente para superficies, significaba encontrar una variedad suavepor lo que cualquier morfismo biracional con una superficie lisa es un isomorfismo .
En la formulación moderna, el objetivo de la teoría es el siguiente. Supongamos que se nos da una variedad proyectiva, que por simplicidad se supone no singular. Hay dos casos basados en su dimensión Kodaira ,: [1]
- Queremos encontrar una variedad biracional a y un morfismo a una variedad proyectiva tal que con la clase anticanónica de una fibra general siendo amplio . Este morfismo se denomina espacio de fibra de Fano .
- Queremos encontrar biracional a , con la clase canónica nef . En este caso,es un modelo mínimo para.
La cuestión de si las variedades y que aparecen arriba son no singulares es importante. Parece natural esperar que si comenzamos con suavidad, entonces siempre podemos encontrar un modelo mínimo o un espacio de fibra Fano dentro de la categoría de variedades lisas. Sin embargo, esto no es cierto, por lo que se hace necesario considerar también las variedades singulares. Las singularidades que aparecen se denominan singularidades terminales .
Modelos mínimos de superficies
Cada curva algebraica compleja irreductible es biracional a una curva proyectiva suave única, por lo que la teoría de las curvas es trivial. El caso de las superficies fue investigado por primera vez por los geómetras de la escuela italiana alrededor de 1900; el teorema de la contracción de Guido Castelnuovo describe esencialmente el proceso de construcción de un modelo mínimo de cualquier superficie. El teorema establece que cualquier morfismo biracional no trivialdebe contraer una curva -1 a un punto liso y, a la inversa, cualquier curva de este tipo puede contraerse suavemente. Aquí una curva -1 es una curva racional suave C con auto-intersección Cualquier curva de este tipo debe tener lo que muestra que si la clase canónica es nef, entonces la superficie no tiene curvas -1.
El teorema de Castelnuovo implica que para construir un modelo mínimo para una superficie lisa, simplemente contraemos todas las curvas -1 en la superficie, y la variedad resultante Y es un modelo mínimo (único) con K nef, o una superficie reglada (que es lo mismo que un espacio de fibra Fano bidimensional y es un plano proyectivo o una superficie reglada sobre una curva). En el segundo caso, la superficie reglada biracional a X no es única, aunque hay una única isomorfa al producto de la línea proyectiva y una curva.
Modelos mínimos de mayor dimensión
En dimensiones superiores a 2, la teoría se vuelve mucho más complicada. En particular, existen variedades suaves que no son biracionales a ninguna variedad suave con clase canónica nef . El mayor avance conceptual de los años setenta y principios de los ochenta fue que la construcción de modelos mínimos aún es factible, siempre que se tenga cuidado con los tipos de singularidades que ocurren. (Por ejemplo, queremos decidir si es nef, entonces números de intersección debe ser definido. Por lo tanto, como mínimo, nuestras variedades deben tenerser un divisor de Cartier para algún entero positivo.)
El primer resultado clave es el teorema del cono de Shigefumi Mori , que describe la estructura del cono de curvas de. Brevemente, el teorema muestra que a partir de, se puede construir inductivamente una secuencia de variedades , cada uno de los cuales está "más cerca" que el anterior de tener nef. Sin embargo, el proceso puede encontrar dificultades: en algún momento la variedadpuede volverse "demasiado singular". La solución conjetural a este problema es la inversión , una especie de operación de cirugía codimensión-2 en. No está claro que existan los flips requeridos, ni que terminen siempre (es decir, que se llegue a un modelo mínimoen un número finito de pasos.) Mori (1988) mostró que existen cambios en el caso tridimensional.
Vyacheslav Shokurov estableció la existencia de volteretas de troncos más generales en las dimensiones tres y cuatro. Esto fue posteriormente generalizado a dimensiones superiores por Caucher Birkar , Paolo Cascini, Christopher Hacon y James McKernan basándose en trabajos anteriores de Shokurov y Hacon, y McKernan. También demostraron varios otros problemas, incluida la generación finita de anillos canónicos logarítmicos y la existencia de modelos mínimos para variedades de tipo logarítmico general.
El problema de la terminación de los volteos de troncos en dimensiones superiores sigue siendo objeto de investigación activa.
Ver también
Referencias
- ^ Tenga en cuenta que la dimensión de Kodaira de unavariedad n- dimensional eso un número entero en el rango de 0 a n .
- Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher ; McKernan, James (2010), "Existencia de modelos mínimos para variedades de tipo log general", Journal of the American Mathematical Society , 23 (2): 405–468, arXiv : math / 0610203 , Bibcode : 2010JAMS ... 23. .405B , doi : 10.1090 / S0894-0347-09-00649-3 , MR 2601039
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- Fujino, Osamu (2009), "Nuevos desarrollos en la teoría de modelos mínimos", Sugaku , Mathematical Society of Japan, 61 (2): 162–186, ISSN 0039-470X , MR 2560253
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