En geometría y álgebra , el producto triple es un producto de vectores tridimensionales , generalmente vectores euclidianos . El nombre "producto triple" se utiliza para dos productos diferentes, el producto triple escalar con valor escalar y, con menos frecuencia, el producto triple con valor vectorial .
Producto triple escalar
El producto escalar de triple (también llamado el producto mezclado , producto caja , o producto mixto ) se define como el producto de punto de uno de los vectores con el producto vectorial de los otros dos.
Interpretación geométrica
Geométricamente, el producto triple escalar
es el volumen (con signo) del paralelepípedo definido por los tres vectores dados. Aquí, los paréntesis pueden omitirse sin causar ambigüedad, ya que el producto escalar no puede evaluarse primero. Si lo fuera, dejaría el producto cruzado de un escalar y un vector, que no está definido.
Propiedades
- El producto triple escalar no cambia bajo un desplazamiento circular de sus tres operandos ( a , b , c ):
- El intercambio de posiciones de los operadores sin reordenar los operandos deja el producto triple sin cambios. Esto se sigue de la propiedad anterior y la propiedad conmutativa del producto escalar.
- El intercambio de dos de los tres operandos niega el producto triple. Esto se deriva de la propiedad de desplazamiento circular y la anticomutatividad del producto cruzado.
- El producto triple escalar también puede entenderse como el determinante de la matriz de 3 × 3 que tiene los tres vectores como sus filas o sus columnas (una matriz tiene el mismo determinante que su transpuesta ):
- Si el producto mixto es igual a cero, entonces los tres vectores un , b , y c son coplanares , ya que el paralelepípedo definido por ellos sería plana y no tienen volumen.
- Si dos vectores cualesquiera en el producto triple escalar son iguales, entonces su valor es cero:
- Es más,
- El producto simple de dos productos triples (o el cuadrado de un producto triple), puede expandirse en términos de productos escalares: [1]
Escalar o pseudoescalar
Aunque el producto triple escalar da el volumen del paralelepípedo, es el volumen con signo, dependiendo el signo de la orientación del marco o de la paridad de la permutación de los vectores. Esto significa que el producto se niega si la orientación se invierte, por ejemplo, mediante una transformación de paridad , por lo que se describe más correctamente como un pseudoescalar si la orientación puede cambiar.
Esto también se relaciona con la lateralidad del producto cruzado ; el producto cruzado se transforma como un pseudovector bajo transformaciones de paridad y, por lo tanto, se describe correctamente como un pseudovector. El producto escalar de dos vectores es un escalar, pero el producto escalar de un pseudovector y un vector es un pseudoescalar, por lo que el producto triple escalar debe tener un valor pseudoescalar.
Si T es un operador de rotación , entonces
pero si T es una rotación incorrecta , entonces
Como producto exterior
En álgebra exterior y álgebra geométrica, el producto exterior de dos vectores es un bivector , mientras que el producto exterior de tres vectores es un trivector . Un bivector es un elemento plano orientado y un trivector es un elemento de volumen orientado, de la misma manera que un vector es un elemento de línea orientada. Dada vectores un , b y c , el producto
es un trivector con magnitud igual al producto triple escalar, y es el dual de Hodge del producto triple escalar. Como el producto exterior es soportes asociativos no son necesarios, ya que no importa cuál de una ∧ b o b ∧ c se calcula primero, aunque el orden de los vectores en el producto sí importa. Geométricamente los trivector un ∧ b ∧ c corresponde a la paralelepípedo atravesado por una , b , y c , con bivectores un ∧ b , b ∧ c y un ∧ c coincidir los paralelogramo caras del paralelepípedo.
Como funcional trilineal
El producto triple es idéntico a la forma volumétrica del espacio tridimensional euclidiano aplicado a los vectores mediante el producto interior . También se puede expresar como una contracción de vectores con un tensor de rango 3 equivalente a la forma (o un pseudotensor equivalente a la pseudoforma de volumen); ver más abajo .
Vector triple producto
El producto triple del vector se define como el producto cruzado de un vector con el producto cruzado de los otros dos. Se mantiene la siguiente relación:
- .
Esto se conoce como expansión de producto triple , o fórmula de Lagrange , [2] [3] aunque este último nombre también se usa para varias otras fórmulas . Su lado derecho se puede recordar usando el mnemónico "ACB - ABC", siempre que se tenga en cuenta qué vectores están punteados juntos. A continuación se proporciona una prueba . Algunos libros de texto escriben la identidad comode modo que se obtenga un mnemotécnico más familiar "BAC - CAB", como en "parte trasera de la cabina".
Dado que el producto cruzado es anticomutativo, esta fórmula también se puede escribir (hasta la permutación de las letras) como:
De la fórmula de Lagrange se deduce que el producto triple del vector satisface:
que es la identidad de Jacobi para el producto cruzado. A continuación se muestra otra fórmula útil:
Estas fórmulas son muy útiles para simplificar los cálculos vectoriales en física . Una identidad relacionada con respecto a los gradientes y útil en el cálculo de vectores es la fórmula de Lagrange de identidad de productos cruzados de vectores: [4]
Esto también se puede considerar como un caso especial del operador más general de Laplace – de Rham .
Prueba
La componente de es dado por:
Del mismo modo, el y componentes de están dados por:
Combinando estos tres componentes obtenemos:
- [5]
Usando álgebra geométrica
Si se usa álgebra geométrica, el producto cruzado b × c de los vectores se expresa como su producto exterior b ∧ c , un bivector . El segundo producto cruzado no se puede expresar como un producto exterior, de lo contrario resultaría el producto triple escalar. En su lugar , se puede utilizar una contracción izquierda [6] , por lo que la fórmula se convierte en [7]
La prueba se deriva de las propiedades de la contracción. [6] El resultado es el mismo vector que se calcula utilizando a × ( b × c ).
Interpretaciones
Cálculo tensorial
En notación tensorial, el producto triple se expresa usando el símbolo Levi-Civita : [8]
y
- ,
refiriéndose al th componente del vector resultante. Esto se puede simplificar realizando una contracción en los símbolos de Levi-Civita , dónde Si y Si . Podemos razonar esta identidad reconociendo que el índice se resumirá dejando solo y . En el primer término, arreglamos y por lo tanto . Asimismo, en el segundo trimestre, arreglamos y por lo tanto .
Volviendo al producto triple cruz,
Cálculo vectorial
Considere la integral de flujo del campo vectorial a través de la superficie definida paramétricamente : . El vector normal unitario a la superficie está dada por , entonces el integrando es un producto triple escalar.
Notas
- ^ Wong, Chun Wa (2013). Introducción a la física matemática: métodos y conceptos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 215. ISBN 9780199641390.
- ↑ Joseph Louis Lagrange no desarrolló el producto cruzado como un producto algebraico en vectores, pero usó una forma equivalente en componentes: ver Lagrange, JL (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires". Oeuvres . vol 3.
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tiene texto extra ( ayuda )Es posible que haya escrito una fórmula similar a la expansión de producto triple en forma de componentes. Véase también la identidad de Lagrange y Kiyosi Itô (1987). Diccionario enciclopédico de matemáticas . Prensa del MIT. pag. 1679. ISBN 0-262-59020-4. - ^ Kiyosi Itô (1993). "§C: Producto vectorial" . Diccionario enciclopédico de matemáticas (2ª ed.). Prensa del MIT. pag. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
- ^ Pengzhi Lin (2008). Modelado numérico de ondas de agua: una introducción a ingenieros y científicos . Routledge. pag. 13. ISBN 978-0-415-41578-1.
- ^ J. Encabezado (1970). Métodos matemáticos en ciencia e ingeniería . American Elsevier Publishing Company, Inc. págs. 262–263.
- ^ a b Pertti Lounesto (2001). Álgebras y espinores de Clifford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 46. ISBN 0-521-00551-5.
- ^ Janne Pesonen. "Álgebra geométrica de una y muchas variables multivectoriales" (PDF) . pag. 37.
- ^ "Tensor de permutación" . Wolfram . Consultado el 21 de mayo de 2014 .
Referencias
- Lass, Harry (1950). Análisis vectorial y tensorial . McGraw-Hill Book Company, Inc. págs. 23-25.
enlaces externos
- Video de Khan Academy de la prueba de la expansión del producto triple