En matemáticas , una forma modular simulada es la parte holomórfica de una forma armónica débil de Maass , y una función theta simulada es esencialmente una forma modular simulada de peso 1/2. Los primeros ejemplos de funciones theta simuladas fueron descritos por Srinivasa Ramanujan en su última carta de 1920 a GH Hardy y en su cuaderno perdido . Sander Zwegers descubrió que agregarles ciertas funciones no holomórficas las convierte en formas armónicas débiles de Maass. [1] [2]
Historia
Definición original de Ramanujan de una función theta simulada [3]
La carta de Ramanujan del 12 de enero de 1920 a Hardy [3] enumeró 17 ejemplos de funciones que él llamó funciones theta simuladas, y su cuaderno perdido [4] contenía varios ejemplos más. (Ramanujan usó el término "función theta" para lo que hoy se llamaría una forma modular.) Ramanujan señaló que tienen una expansión asintótica en las cúspides, similar a la de las formas modulares de peso 1/2, posiblemente con polos en las cúspides. , pero no puede expresarse en términos de funciones theta "ordinarias" . Llamó a las funciones con propiedades similares "funciones theta simuladas". Más tarde, Zwegers descubrió la conexión de la función theta simulada con formas débiles de Maass.
Ramanujan asoció un orden a sus funciones theta simuladas, que no estaba claramente definido. Antes del trabajo de Zwegers, las órdenes de funciones theta simuladas conocidas incluían
- 3, 5, 6, 7, 8, 10.
Noción de orden de Ramanujan tarde resultó corresponden al conductor del carácter Nebentypus del peso 1 / 2 formas armónicas Maass que admiten funciones theta simulacros de Ramanujan como sus proyecciones holomorfas.
En las siguientes décadas, Watson, Andrews, Selberg, Hickerson, Choi, McIntosh y otros estudiaron las funciones theta simuladas de Ramanujan, quienes probaron las declaraciones de Ramanujan sobre ellas y encontraron varios ejemplos e identidades más. (La mayoría de las "nuevas" identidades y ejemplos ya eran conocidos por Ramanujan y reaparecieron en su cuaderno perdido.) En 1936, Watson descubrió que bajo la acción de elementos del grupo modular , las funciones theta simuladas de orden 3 casi se transforman como formas modulares. de peso 1/2 (multiplicado por potencias adecuadas de q ), excepto que hay "términos de error" en las ecuaciones funcionales, generalmente dados como integrales explícitas. [5] Sin embargo, durante muchos años no hubo una buena definición de una función theta simulada. Esto cambió en 2001 cuando Zwegers descubrió la relación con formas modulares no holomórficas, sumas de Lerch y series theta indefinidas. Zwegers demostró, utilizando el trabajo anterior de Watson y Andrews, que las funciones theta simuladas de los órdenes 3, 5 y 7 pueden escribirse como la suma de una forma de peso débil de Maass. 1 ⁄ 2 y una función que está limitada a lo largo de geodésicas que terminan en cúspides. [2] La forma débil de Maass tiene un valor propio 3/16 bajo el Laplaciano hiperbólico (el mismo valor que las formas modulares holomórficas de peso 1 ⁄ 2 ); sin embargo, aumenta exponencialmente rápido cerca de las cúspides, por lo que no satisface la condición de crecimiento habitual para las formas de onda de Maass . Zwegers demostró este resultado de tres maneras diferentes, relacionando las funciones theta simuladas con las funciones theta de Hecke de celosías indefinidas de dimensión 2, y con las sumas de Appell-Lerch, y con las formas meromórficas de Jacobi.
El resultado fundamental de Zwegers muestra que las funciones theta simuladas son las "partes holomórficas" de las formas modulares analíticas reales de peso 1/2. Esto permite extender muchos resultados sobre formas modulares para simular funciones theta. En particular, al igual que las formas modulares, las funciones theta simuladas se encuentran todas en ciertos espacios explícitos de dimensión finita, lo que reduce las pruebas largas y duras de muchas identidades entre ellas al álgebra lineal rutinaria. Por primera vez fue posible producir un número infinito de ejemplos de funciones theta simuladas; antes de este trabajo, solo se conocían unos 50 ejemplos (la mayoría de los cuales fueron encontrados por primera vez por Ramanujan). Como aplicaciones adicionales de las ideas de Zwegers, Kathrin Bringmann y Ken Ono mostraron que ciertas series q que surgen de la serie hipergeométrica básica de Rogers-Fine están relacionadas con partes holomórficas de formas de Maass débiles armónicas 3/2 de peso [6] y mostraron que la serie asintótica para coeficientes de orden 3, la función theta simulada f ( q ) estudiada por George Andrews [7] y Leila Dragonette [8] converge a los coeficientes. [9] En particular, las funciones theta de Mock tienen expansiones asintóticas en las cúspides del grupo modular , actuando en el semiplano superior , que se asemejan a las de las formas modulares de peso 1/2 con polos en las cúspides.
Definición
Una forma modular simulada se definirá como la "parte holomórfica" de una forma armónica débil de Maass .
Fije un peso k , generalmente con una integral de 2 k . Fije un subgrupo Γ de SL 2 ( Z ) (o del grupo metapléctico si k es medio integral) y un carácter ρ de Γ. Una forma modular f para este carácter y este grupo Γ se transforma bajo elementos de Γ por
Una forma débil de Maass de peso k es una función continua en el semiplano superior que se transforma como una forma modular de peso k y es una función propia del peso k operador laplaciano, y se llama armónica si su valor propio es (1 - k / 2 ) k / 2. [10] Este es el valor propio de las formas modulares de peso holomórfico k , por lo que todos estos son ejemplos de formas armónicas débiles de Maass. (Una forma de Maass es una forma de Maass débil que disminuye rápidamente en las cúspides). Por tanto, una forma de Maass débil armónica es aniquilada por el operador diferencial
Si F es cualquier forma armónica débil de Maass entonces la función g dada por
es holomórfico y se transforma como una forma modular de peso k , aunque puede que no sea holomórfico en las cúspides. Si podemos encontrar cualquier otra función g * con la misma imagen g , entonces F - g * será holomórfica. Esta función se da invirtiendo el operador diferencial por integración; por ejemplo podemos definir
dónde
es esencialmente la función gamma incompleta . La integral converge siempre que g tiene un cero en la cúspide i ∞, y la función gamma incompleta se puede extender mediante la continuación analítica, por lo que esta fórmula se puede usar para definir la parte holomórfica g * de F incluso en el caso en que g es meromórfica en i ∞, aunque esto requiere algo de cuidado si k es 1 o no es integral o si n = 0. El inverso del operador diferencial está lejos de ser único, ya que podemos agregar cualquier función homomórfica a g * sin afectar su imagen, y como resultado la función g * no necesita ser invariante bajo el grupo Γ. La función h = F - g * se llama la parte holomorphic de F .
Una forma modular simulada se define como la parte holomórfica h de alguna forma F armónica débil de Maass . Así que hay un isomorfismo desde el espacio de las formas modulares simuladas h hasta un subespacio de las formas armónicas débiles de Maass.
La forma modular simulada h es holomórfica pero no del todo modular, mientras que h + g * es modular pero no del todo holomórfica. El espacio de formas modulares simuladas de peso k contiene el espacio de formas casi modulares ("formas modulares que pueden ser meromórficas en las cúspides") de peso k como un subespacio. El cociente es (antilinealmente) isomorfo al espacio de formas modulares holomorfas de peso 2 - k . La forma modular de peso (2 - k ) g correspondiente a una forma modular simulada h se llama su sombra . Es bastante común que diferentes funciones theta simuladas tengan la misma sombra. Por ejemplo, las 10 funciones theta simuladas de orden 5 encontradas por Ramanujan se dividen en dos grupos de 5, donde todas las funciones de cada grupo tienen la misma sombra (hasta la multiplicación por una constante).
Don Zagier [11] define una función theta simulada como una potencia racional de q = e 2π i τ veces una forma modular simulada de peso 1/2 cuya sombra es una serie theta de la forma
para una función racional positiva κ y una función periódica impar ε . (Cualquiera de estas series theta es una forma modular de peso 3/2). El poder racional de q es un accidente histórico.
La mayoría de las formas modulares simuladas y las formas débiles de Maass tienen un crecimiento rápido en las cúspides. Es común imponer la condición de que crezcan a lo sumo exponencialmente rápido en las cúspides (lo que para las formas modulares simuladas significa que son "meromórficas" en las cúspides). El espacio de formas modulares simuladas (de peso y grupo dado) cuyo crecimiento está limitado por alguna función exponencial fija en las cúspides es de dimensión finita.
Sumas de Appell-Lerch
Las sumas de Appell-Lerch, una generalización de las series de Lambert , fueron estudiadas por primera vez por Paul Émile Appell [12] y Mathias Lerch. [13] Watson estudió las funciones theta simuladas de orden 3 expresándolas en términos de sumas de Appell-Lerch, y Zwegers las usó para mostrar que las funciones theta simuladas son esencialmente formas modulares simuladas.
La serie Appell-Lerch es
dónde
y
La serie modificada
dónde
y y = Im (τ) y
satisface las siguientes propiedades de transformación
En otras palabras, la serie Appell-Lerch modificada se transforma como una forma modular con respecto a τ. Dado que las funciones theta simuladas se pueden expresar en términos de series de Appell-Lerch, esto significa que las funciones theta simuladas se transforman como formas modulares si se les agrega una serie no analítica determinada.
Serie theta indefinida
George Andrews [14] mostró que varias de las funciones theta simuladas de quinto orden de Ramanujan son iguales a los cocientes Θ (τ) / θ (τ) donde θ (τ) es una forma modular de peso 1/2 y Θ (τ) es un theta función de una forma cuadrática binaria indefinida , y Dean Hickerson [15] demostró resultados similares para funciones theta simuladas de séptimo orden. Zwegers mostró cómo completar las funciones theta indefinidas para producir formas modulares analíticas reales, y usó esto para dar otra prueba de la relación entre las funciones theta simuladas y las formas de onda débiles de Maass.
Formas meromórficas de Jacobi
George Andrews [16] observó que algunas de las funciones theta simuladas de quinto orden de Ramanujan podrían expresarse en términos de cocientes de las funciones theta de Jacobi. Zwegers utilizó esta idea para expresar funciones theta simuladas como coeficientes de Fourier de formas meromórficas de Jacobi.
Aplicaciones
- Ruth Lawrence y Don Zagier relacionaron funciones theta simuladas con invariantes cuánticos de 3 variedades. [17]
- AM Semikhatov, A. Taormina e I. Yu Tipunin relacionaron funciones theta simuladas con superalgebras de Lie de dimensión infinita y teoría de campo conforme bidimensional . [18]
- J. Troost mostró que las terminaciones modulares de formas modulares simuladas surgen como géneros elípticos de teorías de campo conforme con espectro continuo. [19]
- Las funciones theta simuladas aparecen en la teoría de umbral moonshine .
- Atish Dabholkar, Sameer Murthy y Don Zagier demostraron que las formas modulares simuladas están relacionadas con las degeneraciones de los agujeros negros cuánticos en las teorías de cuerdas N = 4. [20]
Ejemplos de
- Cualquier forma modular de peso k (posiblemente solo meromórfica en las cúspides) es una forma modular simulada de peso k con sombra 0.
- La serie cuasimodular de Eisenstein
- del peso 2 y el nivel 1 es una forma modular simulada del peso 2, con la sombra una constante. Esto significa que
- se transforma como una forma modular de peso 2 (donde τ = x + iy ).
- La función estudiada por Don Zagier [21] [22] con coeficientes de Fourier que son números de clase de Hurwitz H ( N ) de campos cuadráticos imaginarios es una forma modular simulada de peso 3/2, nivel 4 y sombra ∑ q n 2 . La correspondiente forma de onda débil de Maass es
- dónde
- e y = Im (τ), q = e 2πiτ .
Las funciones theta simuladas son formas modulares simuladas de peso 1/2 cuya sombra es una función theta unaria, multiplicada por una potencia racional de q (por razones históricas). Antes de que el trabajo de Zwegers condujera a un método general para construirlos, la mayoría de los ejemplos se daban como funciones hipergeométricas básicas , pero esto es en gran parte un accidente histórico, y la mayoría de las funciones theta simuladas no tienen una expresión simple conocida en términos de tales funciones.
Las funciones theta simuladas "triviales" son las formas modulares (holomórficas) de peso 1/2, que fueron clasificadas por Serre y Stark, [23] quienes demostraron que todas podían escribirse en términos de funciones theta de celosías unidimensionales.
Los siguientes ejemplos utilizan los símbolos q-Pochhammer que se definen como:
Orden 2
McIntosh estudió algunas funciones theta simuladas de orden 2. [24]
- (secuencia A006304 en la OEIS )
- (secuencia A153140 en la OEIS )
- (secuencia A006306 en la OEIS )
Ramanujan encontró la función μ en su cuaderno perdido.
Éstos están relacionados con las funciones enumeradas en la sección sobre el orden 8 funciones por
Orden 3
Ramanujan mencionó cuatro funciones theta simuladas de orden 3 en su carta a Hardy, y enumeró otras tres en su cuaderno perdido, que fueron redescubiertas por GN Watson . [5] Este último demostró las relaciones entre ellos establecidas por Ramanujan y también encontró sus transformaciones bajo elementos del grupo modular expresándolos como sumas de Appell-Lerch. Dragonette [8] describió la expansión asintótica de sus coeficientes. Zwegers [1] los relacionó con formas armónicas débiles de Maass. Véase también la monografía de Nathan Fine. [25]
Las siete funciones theta simuladas de orden 3 dadas por Ramanujan son
- , (secuencia A000025 en la OEIS ).
- (secuencia A053250 en la OEIS ).
- (secuencia A053251 en la OEIS ).
- (secuencia A053252 en la OEIS ).
- (secuencia A053253 en la OEIS ).
- (secuencia A053254 en la OEIS ).
- (secuencia A053255 en la OEIS ).
Los primeros cuatro forman un grupo con la misma sombra (hasta una constante), al igual que los últimos tres. Más precisamente, las funciones satisfacen las siguientes relaciones (encontradas por Ramanujan y probadas por Watson):
Orden 5
Ramanujan escribió diez funciones theta simuladas de orden 5 en su carta de 1920 a Hardy, y estableció algunas relaciones entre ellas que fueron probadas por Watson. [26] En su cuaderno perdido declaró algunas identidades adicionales relacionadas con estas funciones, equivalentes a las conjeturas theta simuladas , [27] que fueron probadas por Hickerson. [28] Andrews [14] encontró representaciones de muchas de estas funciones como el cociente de una serie theta indefinida por formas modulares de peso 1/2.
- (secuencia A053256 en la OEIS )
- (secuencia A053257 en la OEIS )
- (secuencia A053258 en la OEIS )
- (secuencia A053259 en la OEIS )
- (secuencia A053260 en la OEIS )
- (secuencia A053261 en la OEIS )
- (secuencia A053262 en la OEIS )
- (secuencia A053263 en la OEIS )
- (secuencia A053264 en la OEIS )
- (secuencia A053265 en la OEIS )
- (secuencia A053266 en la OEIS )
- (secuencia A053267 en la OEIS )
Orden 6
Ramanujan [4] anotó siete funciones theta simuladas de orden 6 en su cuaderno perdido, y declaró 11 identidades entre ellas, que fueron probadas por Andrews y Hickerson. [29] Dos de las identidades de Ramanujan relacionan φ y ψ en varios argumentos, cuatro de ellos expresan φ y ψ en términos de series de Appell-Lerch, y las últimas cinco identidades expresan las cinco funciones theta simuladas de sexto orden restantes en términos de φ y ψ. Berndt y Chan [30] descubrieron dos funciones más de sexto orden. Las funciones theta simuladas de orden 6 son:
- (secuencia A053268 en la OEIS )
- (secuencia A053269 en la OEIS )
- (secuencia A053270 en la OEIS )
- (secuencia A053271 en la OEIS )
- (secuencia A053272 en la OEIS )
- (secuencia A053273 en la OEIS )
- (secuencia A053274 en la OEIS )
- (secuencia A153251 en la OEIS )
- (secuencia A153252 en la OEIS )
Orden 7
Ramanujan dio tres funciones theta simuladas de orden 7 en su carta de 1920 a Hardy. Fueron estudiados por Selberg, [31] que encontró expansión asintótica para sus coeficientes, y por Andrews. [14] Hickerson [15] encontró representaciones de muchas de estas funciones como los cocientes de series theta indefinidas por formas modulares de peso 1/2. Zwegers [1] [2] describió sus propiedades de transformación modular.
- (secuencia A053275 en la OEIS )
- (secuencia A053276 en la OEIS )
- (secuencia A053277 en la OEIS )
Estas tres funciones theta simuladas tienen sombras diferentes, por lo que a diferencia del caso de las funciones de orden 3 y orden 5 de Ramanujan, no existen relaciones lineales entre ellas y las formas modulares ordinarias. Las correspondientes formas débiles de Maass son
dónde
y
es más o menos la función de error complementaria. Bajo el grupo metapléctico, estas tres funciones se transforman de acuerdo con una determinada representación tridimensional del grupo metapléctico de la siguiente manera
En otras palabras, son los componentes de una forma de Maass débil armónica de valor vectorial de nivel 1 de peso 1/2.
Orden 8
Gordon y McIntosh [32] encontraron ocho funciones theta simuladas de orden 8. Encontraron cinco relaciones lineales que las involucran y expresaron cuatro de las funciones como sumas de Appell-Lerch y describieron sus transformaciones bajo el grupo modular. Las dos funciones V 1 y U 0 fueron encontradas anteriormente por Ramanujan [33] en su cuaderno perdido.
- (secuencia A153148 en la OEIS )
- (secuencia A153149 en la OEIS )
- (secuencia A153155 en la OEIS )
- (secuencia A153156 en la OEIS )
- (secuencia A153172 en la OEIS )
- (secuencia A153174 en la OEIS )
- (secuencia A153176 en la OEIS )
- (secuencia A153178 en la OEIS )
Orden 10
Ramanujan [34] enumeró cuatro funciones theta simuladas de orden 10 en su cuaderno perdido y estableció algunas relaciones entre ellas, que fueron probadas por Choi. [35] [36] [37] [38]
- (secuencia A053281 en la OEIS )
- (secuencia A053282 en la OEIS )
- (secuencia A053283 en la OEIS )
- (secuencia A053284 en la OEIS )
Notas
- ^ a b c Zwegers, 2001 .
- ^ a b c Zwegers, 2002 .
- ^ a b Ramanujan 2000 , Apéndice II.
- ↑ a b Ramanujan, 1988 .
- ↑ a b Watson, 1936 .
- ^ Bringmann, Folsom y Ono 2009 .
- ^ Andrews, 1966 .
- ↑ a b Dragonette, 1952 .
- ^ Bringmann y Ono 2006 .
- ^ Bruinier y Funke 2004 .
- ^ Zagier 2007 .
- ^ Appell 1884 .
- ^ Lerch 1892 .
- ↑ a b c Andrews, 1986 .
- ↑ a b Hickerson, 1988b .
- ^ Andrews, 1988 .
- ^ Lawrence y Zagier 1999 .
- ^ Semikhatov, Taormina y Tipunin 2005 .
- ^ Troost 2010 .
- ^ Dabholkar, Murthy y Zagier 2012 .
- ^ Zagier 1975 .
- ^ Hirzebruch y Zagier 1976 , 2.2.
- ^ Serre y Stark, 1977 .
- ^ McIntosh 2007 .
- ^ Bien 1988 .
- ^ Watson, 1937 .
- ^ Andrews y Garvan 1989 .
- ^ Hickerson 1988a .
- ^ Andrews y Hickerson 1991 .
- ^ Berndt y Chan 2007 .
- ↑ Selberg, 1938 .
- ^ Gordon y McIntosh 2000 .
- ^ Ramanujan 1988 , p. 8, ecuación 1; pag. 29 ecuación 6.
- ^ Ramanujan 1988 , p. 9.
- ^ Choi 1999 .
- ^ Choi 2000 .
- ^ Choi 2002 .
- ^ Choi 2007 .
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- Zwegers, SP (2008), sumas de Appell-Lerch como formularios modulares simulados (PDF)[ enlace muerto permanente ]
Otras lecturas
- Ono, Ken (2008), "Funciones theta simuladas, rangos y formas Maass", en Alladi, Krishnaswami (ed.), Surveys in Number Theory , Developments in Mathematics, 17 , Springer-Verlag , págs. 119-141, ISBN 978-0-387-78509-7, Zbl 1183.11064
enlaces externos
- Conferencia Internacional: Simulacros de funciones y aplicaciones theta 2009
- Artículos sobre funciones theta simuladas por George Andrews
- Artículos sobre funciones theta simuladas por Kathrin Bringmann
- Artículos sobre funciones theta simuladas por Ken Ono
- Artículos sobre funciones theta simuladas de Sander Zwegers
- Weisstein, Eric W. "Mock Theta Function" . MathWorld .