Geometría hiperbólica

En matemáticas , la geometría hiperbólica (también llamada geometría lobachevskiana o bolyai - geometría lobachevskiana ) es una geometría no euclidiana . El postulado paralelo de la geometría euclidiana se reemplaza por:

La geometría del plano hiperbólico es también la geometría de las superficies de asiento y superficies pseudoesféricas , superficies con una curvatura gaussiana negativa constante .

Un uso moderno de la geometría hiperbólica es la teoría de la relatividad especial , particularmente el modelo de Minkowski .

Cuando los geómetras se dieron cuenta por primera vez de que estaban trabajando con algo diferente a la geometría euclidiana estándar, describieron su geometría con muchos nombres diferentes; Felix Klein finalmente le dio al sujeto el nombre de geometría hiperbólica para incluirlo en la secuencia ahora raramente utilizada geometría elíptica ( geometría esférica ), geometría parabólica (geometría euclidiana ) y geometría hiperbólica. En la ex Unión Soviética , comúnmente se le llama geometría lobachevskiana, el nombre de uno de sus descubridores, el geómetra ruso Nikolai Lobachevsky .

Esta página trata principalmente sobre la geometría hiperbólica bidimensional (plana) y las diferencias y similitudes entre la geometría euclidiana e hiperbólica. Consulte espacio hiperbólico para obtener más información sobre la geometría hiperbólica extendida a tres o más dimensiones.

La geometría hiperbólica está más relacionada con la geometría euclidiana de lo que parece: la única diferencia axiomática es el postulado paralelo . Cuando el postulado paralelo se elimina de la geometría euclidiana, la geometría resultante es la geometría absoluta . Hay dos tipos de geometría absoluta, euclidiana e hiperbólica. Todos los teoremas de geometría absoluta, incluidas las primeras 28 proposiciones del libro uno de los Elementos de Euclides , son válidos en geometría euclidiana e hiperbólica. Las proposiciones 27 y 28 del Libro Uno de los Elementos de Euclides prueban la existencia de líneas paralelas / que no se cruzan.

Líneas que pasan por un punto P dado y asintóticas a la línea R

Un triángulo sumergido en un plano con forma de silla de montar (un paraboloide hiperbólico ), junto con dos líneas ultraparalelas divergentes.

Comparación de geometrías elípticas, euclidianas e hiperbólicas en dos dimensiones

Líneas que pasan por un punto P dado y asintóticas a la línea R.

Hiperciclo y pseudogon en el modelo de disco de Poincaré

un apeirogon y un horociclo circunscrito en el modelo de disco de Poincaré

Mosaico rombitriheptagonal del plano hiperbólico, visto en el modelo del disco de Poincaré

Una colección de planos hiperbólicos tejidos a ganchillo, a imitación de un arrecife de coral, por el Institute For Figuring

Un coral con geometría similar en la Gran Barrera de Coral.

Maqueta de disco de Poincaré con alicatado truncado triheptagonal

Líneas a través de un punto dado y paralelas a una línea dada, ilustradas en el modelo de disco de Poincaré

Los modelos de disco de Poincaré, hemisférico e hiperboloide están relacionados por proyección estereográfica de -1. El modelo de Beltrami-Klein es una proyección ortográfica del modelo hemisférico. Modelo de semiplano de Poincaré aquí proyectado desde el modelo hemisférico por rayos del extremo izquierdo del modelo de disco de Poincaré.