Modelo hiperboloide

En geometría , el modelo hiperboloide , también conocido como modelo de Minkowski en honor a Hermann Minkowski, es un modelo de geometría hiperbólica n- dimensional en el que los puntos están representados por los puntos en la hoja delantera S ⁺ de un hiperboloide de dos hojas en ( n +1 El espacio de Minkowski dimensional y los planos m están representados por las intersecciones de los planos ( m +1) en el espacio de Minkowski con S ⁺ . La función de distancia hiperbólica admite una expresión simple en este modelo. El modelo hiperboloide delEl espacio hiperbólico n- dimensional está estrechamente relacionado con el modelo de Beltrami-Klein y con el modelo de disco de Poincaré, ya que son modelos proyectivos en el sentido de que el grupo de isometría es un subgrupo del grupo proyectivo .

El arco circular rojo es geodésico en el modelo de disco de Poincaré ; se proyecta a la geodésica marrón sobre el hiperboloide verde.

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Reproducir medios

Animación de mosaico hiperbólico parcial {7,3} del hiperboloide girado en la perspectiva de Poincaré.

Forma cuadrática de Minkowski

Si ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) es un vector en el espacio de coordenadas ( n + 1) -dimensional R ^{n +1} , la forma cuadrática de Minkowski se define como

{\ Displaystyle Q (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} - \ ldots -x_ {n} ^ {2}.}

Los vectores v ∈ R ^{n +1} tales que Q ( v ) = 1 forman un hiperboloide n- dimensional S que consta de dos componentes conectados , u hojas : la hoja delantera o futura S ⁺ , donde x ₀ > 0 y la hoja hacia atrás , o pasada, hoja S ^- , donde x ₀ <0. Los puntos del modelo hiperboloide n- dimensional son los puntos en la hoja delantera S ⁺ .

La forma bilineal de Minkowski B es la polarización de la forma cuadrática de Minkowski Q ,

{\ Displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = (Q (\ mathbf {u} + \ mathbf {v}) -Q (\ mathbf {u}) -Q (\ mathbf {v} )) / 2.}

Explícitamente,

{\ Displaystyle B ((x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), (y_ {0}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n})) = x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} - \ ldots -x_ {n} y_ {n}.}

La distancia hiperbólica entre dos puntos u y v de S ⁺ viene dada por la fórmula

{\ Displaystyle d (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = \ operatorname {arcosh} (B (\ mathbf {u}, \ mathbf {v})),}

donde $arcosh$ es la función inversa del coseno hiperbólico .

Lineas rectas

Una línea recta en el espacio n hiperbólico es modelada por una geodésica en el hiperboloide. Una geodésica en el hiperboloide es la intersección (no vacía) del hiperboloide con un subespacio lineal bidimensional (incluido el origen) del espacio de Minkowski n + 1-dimensional. Si tomamos u y v ser vectores de la base de que el subespacio lineal con

{\ Displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {u}) = 1}

{\ Displaystyle B (\ mathbf {v}, \ mathbf {v}) = - 1}

{\ Displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = B (\ mathbf {v}, \ mathbf {u}) = 0}

y use w como un parámetro real para puntos en la geodésica, luego

{\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cosh w + \ mathbf {v} \ sinh w}

será un punto en la geodésica. ^[1]

Más generalmente, un "plano" k- dimensional en el n- espacio hiperbólico será modelado por la intersección (no vacía) del hiperboloide con un subespacio lineal k + 1-dimensional (incluyendo el origen) del espacio de Minkowski.

Isometrías

El grupo ortogonal indefinido O (1, n ), también llamado grupo de Lorentz ( n +1) -dimensional , es el grupo de Lie de matrices reales ( n +1) × ( n +1) que conservan la forma bilineal de Minkowski. En un lenguaje diferente, es el grupo de isometrías lineales del espacio de Minkowski . En particular, este grupo conserva el hiperboloide S . Recuerde que los grupos ortogonales indefinidos tienen cuatro componentes conectados, correspondientes a invertir o preservar la orientación en cada subespacio (aquí unidimensional y n -dimensional ), y forman un grupo de Klein de cuatro . El subgrupo de O (1, n ) que conserva el signo de la primera coordenada es el grupo de Lorentz ortocrónico , denotado O ⁺ (1, n ), y tiene dos componentes, correspondientes a preservar o invertir la orientación del subespacio espacial. Su subgrupo SO ⁺ (1, n ) que consta de matrices con determinante uno es un grupo de Lie conectado de dimensión n ( n +1) / 2 que actúa sobre S ⁺ por automorfismos lineales y preserva la distancia hiperbólica. Esta acción es transitiva y el estabilizador del vector (1,0, ..., 0) consiste en las matrices de la forma

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 &&& \\\ vdots && A & \\ 0 &&& \\\ end {pmatrix}}}

Dónde ${\ Displaystyle A}$ pertenece al grupo ortogonal especial compacto SO ( n ) (generalizando el grupo de rotación SO (3) para n = 3 ). De ello se deduce que el espacio hiperbólico n- dimensional se puede exhibir como el espacio homogéneo y un espacio simétrico de Riemann de rango 1,

{\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {n} = \ mathrm {SO} ^ {+} (1, n) / \ mathrm {SO} (n).}

El grupo SO ⁺ (1, n ) es el grupo completo de isometrías que preservan la orientación del espacio hiperbólico n- dimensional.

En términos más concretos, SO ⁺ (1, n ) se puede dividir en n ( n -1) / 2 rotaciones (formadas con una matriz de rotación euclidiana regular en el bloque inferior derecho) yn traslaciones hiperbólicas, que toman la forma

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cosh \ alpha & \ sinh \ alpha & 0 & \ ldots \\\ sinh \ alpha & \ cosh \ alpha & 0 & \ ldots \\ 0 & 0 & 1 & \\\ vdots & \ vdots && \ ddots \\ \ end {pmatrix}}}

dónde ${\ Displaystyle \ alpha}$ es la distancia trasladada (a lo largo del eje x en este caso), y la segunda fila / columna se puede intercambiar con un par diferente para cambiar a una traslación a lo largo de un eje diferente. La forma general de una traslación en 3 dimensiones a lo largo del vector. ${\ Displaystyle (w, x, y, z)}$ es:

{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} w & x & y & z \\ x & {\ frac {x ^ {2}} {w + 1}} + 1 & {\ frac {yx} {w + 1}} & {\ frac {zx} {w + 1}} \\ y & {\ frac {xy} {w + 1}} & {\ frac {y ^ {2}} {w + 1}} + 1 & {\ frac {zy} {w + 1 }} \\ z & {\ frac {xz} {w + 1}} & {\ frac {yz} {w + 1}} & {\ frac {z ^ {2}} {w + 1}} + 1 \ \\ end {pmatrix}}}

dónde

{\ Displaystyle w = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} +1}}}

.

Esto se extiende naturalmente a más dimensiones, y también es la versión simplificada de un impulso de Lorentz cuando elimina los términos específicos de la relatividad.

Ejemplos de grupos de isometrías

El grupo de todas las isometrías del modelo hiperboloide es O ⁺ (1, n ). Cualquier grupo de isometrías es un subgrupo del mismo.

Reflexiones

Por dos puntos ${\ Displaystyle \ mathbf {p}, \ mathbf {q} \ in \ mathbb {H} ^ {n}, \ mathbf {p} \ neq \ mathbf {q}}$ , hay un reflejo único intercambiándolos.

Dejar ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {\ mathbf {p} - \ mathbf {q}} {\ sqrt {-Q (\ mathbf {p} - \ mathbf {q})}}}}$ . Tenga en cuenta que ${\ Displaystyle Q (\ mathbf {u}) = - 1}$ , y por lo tanto ${\ Displaystyle u \ notin \ mathbb {H} ^ {n}}$ .

Luego

{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ mapsto \ mathbf {x} + 2B (\ mathbf {x}, \ mathbf {u}) \ mathbf {u}}

es un reflejo que intercambia ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ y ${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$ . Esto es equivalente a la siguiente matriz:

{\ displaystyle R = I + 2 \ mathbf {u} \ mathbf {u} ^ {\ operatorname {T}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -I \\\ end {pmatrix}}}

(tenga en cuenta el uso de la notación matricial de bloques ).

Luego ${\ Displaystyle \ {I, R \}}$ es un grupo de isometrías. Todos estos subgrupos están conjugados .

Rotaciones y reflexiones

{\ Displaystyle S = \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A \\\ end {pmatrix}}: A \ in O (n) \ right \}}

es el grupo de rotaciones y reflexiones que preservan ${\ Displaystyle (1,0, \ dots, 0)}$ . La función ${\ displaystyle A \ mapsto {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A \\\ end {pmatrix}}}$ es un isomorfismo de O ( n ) a este grupo. Por cualquier punto ${\ Displaystyle p}$ , Si ${\ Displaystyle X}$ es una isometría que mapea ${\ Displaystyle (1,0, \ dots, 0)}$ a ${\ Displaystyle p}$ , luego ${\ displaystyle XSX ^ {- 1}}$ es el grupo de rotaciones y reflexiones que preservan ${\ Displaystyle p}$ .

Traducciones

Para cualquier número real ${\ Displaystyle t}$ , hay una traducción

{\ displaystyle L_ {t} = {\ begin {pmatrix} \ cosh t & \ sinh t & 0 \\\ sinh t & \ cosh t & 0 \\ 0 & 0 & I \\\ end {pmatrix}}}

Esta es una traslación de distancia ${\ Displaystyle t}$ en la dirección x positiva si ${\ Displaystyle t \ geq 0}$ o de distancia ${\ Displaystyle -t}$ en la dirección x negativa si ${\ Displaystyle t \ leq 0}$ . Cualquier traslación de distancia ${\ Displaystyle t}$ es conjugado a ${\ Displaystyle L_ {t}}$ y ${\ Displaystyle L _ {- t}}$ . El conjunto ${\ Displaystyle \ left \ {L_ {t}: t \ in \ mathbb {R} \ right \}}$ es el grupo de traslaciones a través del eje x, y un grupo de isometrías se conjuga a él si y solo si es un grupo de isometrías a través de una línea.

Por ejemplo, digamos que queremos encontrar el grupo de traducciones a través de una línea. ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {p} \ mathbf {q}}}}$ . Dejar ${\ Displaystyle X}$ ser una isometría que mapee ${\ Displaystyle (1,0, \ dots, 0)}$ a ${\ Displaystyle p}$ y deja ${\ Displaystyle Y}$ ser una isometría que corrija ${\ Displaystyle p}$ y mapas ${\ Displaystyle XL_ {d (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})} [1,0, \ dots, 0] ^ {\ operatorname {T}}}$ a ${\ Displaystyle q}$ . Un ejemplo de tal ${\ Displaystyle Y}$ es un reflejo intercambiando ${\ Displaystyle XL_ {d (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})} [1,0, \ dots, 0] ^ {\ operatorname {T}}}$ y ${\ Displaystyle q}$ (asumiendo que son diferentes), porque ambos están a la misma distancia de ${\ Displaystyle p}$ . Luego ${\ Displaystyle YX}$ es un mapeo de isometría ${\ Displaystyle (1,0, \ dots, 0)}$ a ${\ Displaystyle p}$ y un punto en el eje x positivo para ${\ Displaystyle q}$ . ${\ Displaystyle (YX) L_ {t} (YX) ^ {- 1}}$ es una traducción a través de la línea ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {p} \ mathbf {q}}}}$ de distancia ${\ Displaystyle | t |}$ . Si ${\ Displaystyle t \ geq 0}$ , eso esta en el ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathbf {p} \ mathbf {q}}}}$ dirección. Si ${\ Displaystyle t \ leq 0}$ , eso esta en el ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {\ mathbf {q} \ mathbf {p}}}}$ dirección. ${\ Displaystyle \ left \ {(YX) L_ {t} (YX) ^ {- 1}: t \ in \ mathbb {R} \ right \}}$ es el grupo de traducciones a través de ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {p} \ mathbf {q}}}}$ .

Simetrías de horósferas

Sea H una horósfera tal que los puntos de la forma ${\ Displaystyle (w, x, 0, \ dots, 0)}$ están dentro de él para x arbitrariamente grande . Para cualquier vector b en ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1}}$

{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {\ | \ mathbf {b} \ | ^ {2}} {2}} & - {\ frac {\ | \ mathbf {b} \ | ^ { 2}} {2}} & \ mathbf {b} ^ {\ operatorname {T}} \\ {\ frac {\ | \ mathbf {b} \ | ^ {2}} {2}} & 1 - {\ frac {\ | \ mathbf {b} \ | ^ {2}} {2}} & \ mathbf {b} ^ {\ operatorname {T}} \\\ mathbf {b} & - \ mathbf {b} & I \\ \ end {pmatrix}}}

es una hororotación que asigna H a sí misma. El conjunto de tales hororotations es el grupo de hororotations preservando H . Todas las hororotaciones se conjugan entre sí.

Para cualquier ${\ Displaystyle A}$ en O ( n -1)

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & A \\\ end {pmatrix}}}

es una rotación o reflexión que conserva H y el eje x. Estos hororotations, rotaciones y reflexiones generan el grupo de simetrías de H . El grupo de simetría de cualquier horósfera se conjuga con él. Son isomorfos al grupo euclidiano E ( n -1).

Historia

En varios artículos entre 1878-1885, Wilhelm Killing ^[2]^[3]^[4] utilizó la representación que atribuyó a Karl Weierstrass para la geometría lobachevskiana . En particular, discutió formas cuadráticas como ${\ Displaystyle k ^ {2} t ^ {2} + u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} = k ^ {2}}$ o en dimensiones arbitrarias ${\ Displaystyle k ^ {2} x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2} = k ^ {2}}$ , dónde ${\ Displaystyle k}$ es la medida recíproca de la curvatura, ${\ Displaystyle k ^ {2} = \ infty}$ denota geometría euclidiana , ${\ Displaystyle k ^ {2}> 0}$ geometría elíptica , y ${\ Displaystyle k ^ {2} <0}$ geometría hiperbólica.

Según Jeremy Gray (1986), ^[5] Poincaré utilizó el modelo hiperboloide en sus notas personales en 1880. Poincaré publicó sus resultados en 1881, en los que discutió la invariancia de la forma cuadrática ${\ Displaystyle \ xi ^ {2} + \ eta ^ {2} - \ zeta ^ {2} = - 1}$ . ^[6] Gray muestra dónde está implícito el modelo hiperboloide en los escritos posteriores de Poincaré. ^[7]

También Homersham Cox en 1882 ^[8]^[9] usó coordenadas de Weierstrass (sin usar este nombre) satisfaciendo la relación ${\ Displaystyle z ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$ así como ${\ Displaystyle w ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} = 1}$ .

Alfred Clebsch y Ferdinand Lindemann dieron una mayor exposición del modelo en 1891 discutiendo la relación ${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -4k ^ {2} x_ {3} ^ {2} = - 4k ^ {2}}$ y ${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -4k ^ {2} x_ {4} ^ {2} = - 4k ^ {2} }$ . ^[10]

Las coordenadas de Weierstrass también fueron utilizadas por Gérard (1892), ^[11] Felix Hausdorff (1899), ^[12] Frederick S. Woods (1903)], ^[13] Heinrich Liebmann (1905). ^[14]

El hiperboloide fue explorado como un espacio métrico por Alexander Macfarlane en sus Papers in Space Analysis (1894). Señaló que los puntos en el hiperboloide podrían escribirse como

{\ Displaystyle \ cosh A + \ alpha \ sinh A,}

donde α es un vector base ortogonal al eje hiperboloide. Por ejemplo, obtuvo la ley hiperbólica de los cosenos mediante el uso de su Álgebra de física . ^[1]

H. Jansen hizo del modelo hiperboloide el foco explícito de su artículo de 1909 "Representación de la geometría hiperbólica en un hiperboloide de dos láminas". ^[15] En 1993, WF Reynolds relató parte de la historia temprana del modelo en su artículo en el American Mathematical Monthly . ^[dieciséis]

Siendo un modelo común en el siglo XX, Hermann Minkowski lo identificó con Geschwindigkeitsvectoren (vectores de velocidad) en su conferencia de 1907 en Göttingen 'El principio de relatividad'. Scott Walter, en su artículo de 1999 "El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana" ^[17] recuerda la conciencia de Minkowski, pero rastrea el linaje del modelo hasta Hermann Helmholtz en lugar de Weierstrass y Killing.

En los primeros años de la relatividad, Vladimir Varićak utilizó el modelo hiperboloide para explicar la física de la velocidad. En su discurso a la unión matemática alemana en 1912 se refirió a las coordenadas de Weierstrass. ^[18]

Ver también

Modelo de disco de Poincaré
Cuaterniones hiperbólicos

notas y referencias

^ a b Alexander Macfarlane (1894) Documentos sobre análisis espacial , B. Westerman, Nueva York, enlace web de archive.org
^ Asesinato, W. (1878) [1877]. "Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung" . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 86 : 72–83.
^ Matar, W. (1880) [1879]. "Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen" . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 89 : 265-287.
^ Matar, W. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen . Leipzig.
^ Ecuaciones diferenciales lineales y teoría de grupos de Riemann a Poincaré (páginas 271,2)
^ Poincaré, H. (1881). "Sur les applications de la géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques" (PDF) . Association Française Pour l'Avancement des Sciences . 10 : 132-138.
↑ Ver también Poincaré: Sobre las hipótesis fundamentales de la geometría 1887 Obras completas vol. 11, 71-91 y mencionadas en el libro de BA Rosenfeld A History of Non-Euclidean Geometry p.266 en versión inglesa (Springer 1988).
^ Cox, H. (1881). "Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas" . The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (70): 178-192.
^ Cox, H. (1882) [1881]. "Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas (continuación)" . The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (71): 193–215.
^ Lindemann, F. (1891) [1890]. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II . Leipzig. pag. 524 .
^ Gérard, L. (1892). Sur la géométrie non-Euclidienne . París: Gauthier-Villars.
^ Hausdorff, F. (1899). "Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie". Leipziger Math.-Phys. Berichte . 51 : 161-214. hdl : 2027 / hvd.32044092889328 .
^ Woods, FS (1905) [1903]. "Formas de espacio no euclidiano" . The Boston Colloquium: Conferencias sobre matemáticas para el año 1903 : 31 –74.
^ Liebmann, H. (1905) [1904]. Nichteuklidische Geometrie . Leipzig: Göschen.
^ Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid Mitt. Matemáticas. Gesellsch Hamburg 4: 409–440.
^ Reynolds, William F. (1993) "Geometría hiperbólica en un hiperboloide", American Mathematical Monthly 100: 442-55, Jstor link
^ Walter, Scott A. (1999), "El estilo no euclidiano de la relatividad Minkowskiana" , en J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930 , Oxford University Press, págs. 91-127
^ Varićak, V. (1912), "Sobre la interpretación no euclidiana de la teoría de la relatividad" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 21 : 103-127

Alekseevskij, DV; Vinberg, EB ; Solodovnikov, AS (1993), Geometría de espacios de curvatura constante , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
Anderson, James (2005), Geometría hiperbólica , Springer Undergraduate Mathematics Series (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-934-0
Ratcliffe, John G. (1994), Fundamentos de variedades hiperbólicas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0, Capítulo 3
Miles Reid y Balázs Szendröi (2005) Geometría y topología , Figura 3.10, p 45, Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6 , SEÑOR2194744 .
Ryan, Patrick J. (1986), geometría euclidiana y no euclidiana: un enfoque analítico , Cambridge, Londres, Nueva York, Nueva Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25654-4
Parkkonen, Jouni. "GEOMETRÍA HIPERBÓLICA" (PDF) . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .

[Macfarlane-1] Alexander Macfarlane (1894) Documentos sobre análisis espacial , B. Westerman, Nueva York, enlace web de archive.org

[2] Asesinato, W. (1878) [1877]. "Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung" . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 86 : 72–83.

[3] Matar, W. (1880) [1879]. "Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen" . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 89 : 265-287.

[4] Matar, W. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen . Leipzig.

[5] Ecuaciones diferenciales lineales y teoría de grupos de Riemann a Poincaré (páginas 271,2)

[6] Poincaré, H. (1881). "Sur les applications de la géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques" (PDF) . Association Française Pour l'Avancement des Sciences . 10 : 132-138.

[7] Ver también Poincaré: Sobre las hipótesis fundamentales de la geometría 1887 Obras completas vol. 11, 71-91 y mencionadas en el libro de BA Rosenfeld A History of Non-Euclidean Geometry p.266 en versión inglesa (Springer 1988).

[8] Cox, H. (1881). "Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas" . The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (70): 178-192.

[9] Cox, H. (1882) [1881]. "Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas (continuación)" . The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (71): 193–215.

[10] Lindemann, F. (1891) [1890]. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II . Leipzig. pag. 524 .

[11] Gérard, L. (1892). Sur la géométrie non-Euclidienne . París: Gauthier-Villars.

[12] Hausdorff, F. (1899). "Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie". Leipziger Math.-Phys. Berichte . 51 : 161-214. hdl : 2027 / hvd.32044092889328 .

[13] Woods, FS (1905) [1903]. "Formas de espacio no euclidiano" . The Boston Colloquium: Conferencias sobre matemáticas para el año 1903 : 31 –74.

[14] Liebmann, H. (1905) [1904]. Nichteuklidische Geometrie . Leipzig: Göschen.

[15] Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid Mitt. Matemáticas. Gesellsch Hamburg 4: 409–440.

[16] Reynolds, William F. (1993) "Geometría hiperbólica en un hiperboloide", American Mathematical Monthly 100: 442-55, Jstor link

[17] Walter, Scott A. (1999), "El estilo no euclidiano de la relatividad Minkowskiana" , en J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930 , Oxford University Press, págs. 91-127

[18] Varićak, V. (1912), "Sobre la interpretación no euclidiana de la teoría de la relatividad" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 21 : 103-127

[1]