En matemáticas y física , el análisis de múltiples escalas (también llamado método de múltiples escalas ) comprende técnicas utilizadas para construir aproximaciones uniformemente válidas a las soluciones de problemas de perturbación , tanto para valores pequeños como grandes de las variables independientes . Esto se hace introduciendo variables de escala rápida y lenta para una variable independiente, y posteriormente tratando estas variables, rápida y lenta, como si fueran independientes. En el proceso de solución del problema de perturbación a partir de entonces, la libertad adicional resultante, introducida por las nuevas variables independientes, se usa para eliminar términos seculares (no deseados).. Este último impone restricciones a la solución aproximada, que se denominan condiciones de solubilidad .
La investigación matemática de aproximadamente la década de 1980 propone que las transformaciones de coordenadas y las variedades invariantes brindan un soporte más sólido para el modelado multiescala (por ejemplo, vea la variedad central y la variedad lenta ).
Ejemplo: ecuación de Duffing no amortiguada
Ecuación diferencial y conservación de energía
Como ejemplo del método de análisis de múltiples escalas, considere la ecuación de Duffing no amortiguada y no forzada : [1]
que es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que describe un oscilador no lineal . Se busca una solución y ( t ) para valores pequeños del parámetro de no linealidad (positivo) 0 < ε ≪ 1. Se sabe que la ecuación de Duffing no amortiguada es un sistema hamiltoniano :
con q = y ( t ) y p = dy / dt . En consecuencia, el hamiltoniano H ( p , q ) es una cantidad conservada, una constante, igual a H = ½ + ¼ ε para las condiciones iniciales dadas . Esto implica que tanto y como dy / dt deben estar acotados:
Solución sencilla en serie de perturbaciones
Un enfoque regular de series de perturbaciones al problema da el resultado:
El último término entre llaves es secular: crece sin límite para grandes | t |. En particular, paraeste término es O (1) y tiene el mismo orden de magnitud que el término de primer orden. Debido a que los términos se han desordenado, la serie ya no es una expansión asintótica de la solución.
Método de escalas múltiples
Para construir una solución que sea válida más allá , se utiliza el método de análisis de múltiples escalas . Introduzca la escala lenta t 1 :
y suponga que la solución y ( t ) es una solución en serie de perturbaciones dependiente tanto de t como de t 1 , tratada como:
Entonces:
utilizando dt 1 / dt = ε . Similar:
Entonces, los problemas de primer orden y cero de la serie de perturbaciones de escalas múltiples para la ecuación de Duffing se convierten en:
Solución
El problema de orden cero tiene la solución general:
con A ( t 1 ) una amplitud de valor complejo a la solución de orden cero Y 0 ( t , t 1 ) e i 2 = −1. Ahora, en el problema de primer orden, el forzamiento en el lado derecho de la ecuación diferencial es
donde cc denota el conjugado complejo de los términos anteriores. La aparición de términos seculares puede evitarse imponiendo a la amplitud A ( t 1 ) , aún desconocida, la condición de solubilidad
La solución a la condición de solubilidad, que también satisface las condiciones iniciales y (0) = 1 y dy / dt (0) = 0, es:
Como resultado, la solución aproximada por el análisis de escalas múltiples es
usando t 1 = εt y válido para εt = O (1). Esto concuerda con los cambios de frecuencia no lineales encontrados al emplear el método de Lindstedt-Poincaré .
Esta nueva solución es válida hasta . Las soluciones de orden superior, que utilizan el método de escalas múltiples, requieren la introducción de escalas lentas adicionales, es decir : t 2 = ε 2 t , t 3 = ε 3 t , etc. Sin embargo, esto introduce posibles ambigüedades en la solución de la serie de perturbaciones. que requieren un tratamiento cuidadoso (ver Kevorkian y Cole 1996 ; Bender y Orszag 1999 ). [2]
Transformación de coordenadas a variables de amplitud / fase
Alternativamente, los enfoques modernos derivan este tipo de modelos usando transformaciones de coordenadas, como en el método de formas normales , [3] como se describe a continuación.
Una solución se busca en nuevas coordenadas donde la amplitud varía lentamente y la fase varía a una tasa casi constante, es decir El álgebra sencilla encuentra la transformación de coordenadas [ cita requerida ]
transforma la ecuación de Duffing en el par de que el radio es constante y la fase evoluciona según
Es decir, las oscilaciones de Duffing son de amplitud constante pero tienen diferentes frecuencias dependiendo de la amplitud. [4]
Los ejemplos más difíciles se tratan mejor utilizando una transformación de coordenadas dependiente del tiempo que implica exponenciales complejos (como también se invoca en el enfoque anterior de múltiples escalas de tiempo). Un servicio web realizará el análisis de una amplia gama de ejemplos. [5]
Ver también
Notas
- ^ Este ejemplo se trata en: Bender y Orszag (1999) págs. 545–551.
- ^ Bender y Orszag (1999) p. 551.
- ↑ Lamarque, C.-H .; Touze, C .; Thomas, O. (2012), "Un límite superior para los límites de validez de los enfoques analíticos asintóticos basados en la teoría de la forma normal" (PDF) , Nonlinear Dynamics , 70 (3): 1931-1949, doi : 10.1007 / s11071-012-0584 -y , hdl : 10985/7473
- ^ Roberts, AJ, Modelado de dinámicas emergentes en sistemas complejos , consultado el 3 de octubre de 2013
- ^ Roberts, AJ, Construir variedades centrales de ecuaciones diferenciales ordinarias o de retardo (autónomas) , consultado el 3 de octubre de 2013
Referencias
- Kevorkian, J .; Cole, JD (1996), Escala múltiple y métodos de perturbación singular , Springer, ISBN 978-0-387-94202-5
- Bender, CM ; Orszag, SA (1999), Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros , Springer, págs. 544–568, ISBN 978-0-387-98931-0
- Nayfeh, AH (2004), métodos de perturbación , Wiley – VCH Verlag, ISBN 978-0-471-39917-9
enlaces externos
- Carson C. Chow (ed.). "Análisis de escala múltiple" . Scholarpedia .