En matemáticas , más específicamente en sistemas dinámicos , el método de promediar (también llamado teoría de promediar) explota sistemas que contienen separación de escalas de tiempo: una oscilación rápida versus una deriva lenta . Sugiere que realicemos un promedio durante un período de tiempo determinado para eliminar las oscilaciones rápidas y observar el comportamiento cualitativo de la dinámica resultante. La solución aproximada se mantiene en un tiempo finito inversamente proporcional al parámetro que denota la escala de tiempo lento. Resulta ser un problema habitual en el que existe una compensación entre qué tan buena es la solución aproximada y cuánto tiempo se mantiene cerca de la solución original.
Más precisamente, el sistema tiene la siguiente forma
![{\ Displaystyle \ quad {\ dot {x}} = \ varepsilon f (x, t, \ varepsilon), \ quad 0 \ leq \ varepsilon \ ll 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
de una variable de espacio de fases
La oscilación rápida está dada por
versus una deriva lenta de
. El método de promediado produce un sistema dinámico autónomo ![{\ Displaystyle \ quad {\ dot {y}} = \ varepsilon {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} f (y, s, 0) ~ ds =: \ varepsilon { \ bar {f}} (y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que se aproxima a las curvas solución de
dentro de una región conectada y compacta del espacio de fase y en el tiempo de
. Bajo la validez de esta técnica de promediado, el comportamiento asintótico del sistema original es capturado por la ecuación dinámica para
. De esta manera, se pueden emplear métodos cualitativos para sistemas dinámicos autónomos para analizar los equilibrios y estructuras más complejas, tales como variedades lentas e invariantes , así como su estabilidad en el espacio de fase del sistema promediado.
Además, en una aplicación física podría ser razonable o natural reemplazar un modelo matemático, que se da en forma de ecuación diferencial para
, con el correspondiente sistema promediado
, con el fin de utilizar el sistema promediado para hacer una predicción y luego probar la predicción con los resultados de un experimento físico. [1]
El método de promediado tiene una larga historia, que está profundamente arraigada en los problemas de perturbación que surgieron en la mecánica celeste (ver, por ejemplo, en [2] ).
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Figura 1: Solución a la ecuación de crecimiento logístico perturbado
![{\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon (x(1-x)+\sin {t})~x\in \mathbb {R} ,~\varepsilon =0.05}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(línea sólida azul) y la ecuación promediada
![{\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon y(1-y),~y\in \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(línea continua naranja).
Considere un crecimiento logístico perturbado
![{\displaystyle \quad {\dot {x}}=\varepsilon (x(1-x)+\sin {t})\quad \quad x\in \mathbb {R} ,\quad 0\leq \varepsilon \ll 1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y la ecuación promediada ![{\displaystyle \quad {\dot {y}}=\varepsilon y(1-y)\qquad y\in \mathbb {R} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El propósito del método de promediar es decirnos el comportamiento cualitativo del campo vectorial cuando lo promediamos durante un período de tiempo. Garantiza que la solución
aproxima
por tiempos
Excepcionalmente: en este ejemplo la aproximación es aún mejor, es válida para todos los tiempos. Se presenta en una sección de abajo. Asumimos el campo vectorial
ser de clase de diferenciabilidad
con
(o incluso solo diremos suave), que denotaremos
. Expandimos este campo vectorial dependiente del tiempo en una serie de Taylor (en potencias de
) con resto
. Introducimos la siguiente notación: [2]
![{\displaystyle \quad f(x,t,\varepsilon )=f^{0}(x,t)+\varepsilon f^{1}(x,t)+\dots +\varepsilon ^{k}f^{k}(x,t)+\varepsilon ^{k+1}f^{[k+1]}(x,t,\varepsilon ),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es el
-ésima derivada con
. Como nos ocupamos de promediar problemas, en general
es cero, por lo que resulta que nos interesarán los campos vectoriales dados por
![{\displaystyle \quad f(x,t,\varepsilon )=\varepsilon f^{[1]}(x,t,\varepsilon )=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además, definimos el siguiente problema de valor inicial en la forma estándar : [2]![{\displaystyle \quad {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon ),\qquad x(0,\varepsilon )=:x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Considere para cada
conectado y acotado y cada
allí existe
y
tal que el sistema original (un sistema dinámico no autónomo) dado por
![{\displaystyle \quad {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon ),\qquad x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
tiene solución
, dónde
es periódica con período
y
ambos con
delimitado en conjuntos delimitados. Entonces existe una constante
tal que la solucion
del sistema promediado (sistema dinámico autónomo) es ![{\displaystyle \quad {\dot {y}}=\varepsilon {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f^{1}(y,s)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y),\quad y(0,\varepsilon )=x_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es ![{\displaystyle \quad \|x(t,\varepsilon )-y(t,\varepsilon )\|<c\varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
y
. - Hay dos aproximaciones en esto lo que se llama estimación de primera aproximación : reducción al promedio del campo vectorial y negligencia de
condiciones. - Uniformidad con respecto a la condición inicial
: si variamos
esto afecta la estimación de
y
. La prueba y la discusión de esto se pueden encontrar en el libro de J. Murdock. [3] - Reducción de la regularidad: hay una forma más general de este teorema que solo requiere
ser Lipschitz y
continuo. Es una prueba más reciente, y se puede ver en Sanders et al. . [2] El enunciado del teorema presentado aquí se debe al marco de prueba propuesto por Krylov-Bogoliubov que se basa en una introducción de una transformación casi de identidad. La ventaja de este método es la extensión a configuraciones más generales, como sistemas de dimensión infinita: ecuación diferencial parcial o ecuaciones diferenciales de retardo. - J. Hale presenta generalizaciones a campos vectoriales casi periódicos. [4]
Estrategia de la prueba
Krylov-Bogoliubov se dio cuenta de que la dinámica lenta del sistema determina el orden principal de la solución asintótica.
Para probarlo, propusieron una transformación casi de identidad, que resultó ser un cambio de coordenadas con su propia escala de tiempo transformando el sistema original en el promediado.
Bosquejo de la prueba
- Determinación de una transformación casi identidad: el mapeo suave
dónde
se supone que es lo suficientemente regular y
periódico. El cambio de coordenadas propuesto viene dado por
. - Elija un apropiado
resolviendo la ecuación homológica de la teoría de promedios:
. - Cambio de coordenadas lleva el sistema original de
![{\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)+\varepsilon ^{2}f_{*}^{[2]}(y,t,\varepsilon ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Estimación del error por truncamiento y comparación con la variable original.
A lo largo de la historia de la técnica de promediado, existe una clase de sistema ampliamente estudiada que nos brinda ejemplos significativos que discutiremos a continuación. La clase de sistema está dada por:
![{\displaystyle \quad {\ddot {z}}+z=\varepsilon g(z,{\dot {z}},t),\qquad z\in \mathbb {R} ,\quad z(0)=z_{0}~\mathrm {and} ~{\dot {z}}(0)=v_{0},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es suave. Este sistema es similar a un sistema lineal con una pequeña perturbación no lineal dada por
:
![{\displaystyle \quad {\begin{aligned}{\dot {z_{1}}}&=z_{2},&z_{1}(0)&=z_{0}\\{\dot {z_{2}}}&=-z_{1}+\varepsilon g(z_{1},z_{2},t),&z_{2}(0)&=v_{0},\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
diferente de la forma estándar. Por tanto, es necesario realizar una transformación para hacerlo en la forma estándar de forma explícita. [2] somos capaces de cambiar las coordenadas utilizando variación de las constantes método. Observamos el sistema imperturbable, es decir
, dada por ![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {z_{1}}}\\{\dot {z_{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que tiene la solución fundamental
correspondiente a una rotación. Entonces el cambio de coordenadas dependiente del tiempo es
dónde
son las coordenadas respectivas a la forma estándar.
Si tomamos la derivada del tiempo en ambos lados e invertimos la matriz fundamental obtenemos
- Se puede hacer lo mismo con las partes lineales dependientes del tiempo. Aunque la solución fundamental puede no ser trivial para escribirla explícitamente, el procedimiento es similar. Ver Sanders et al. [2] para más detalles.
- Si los valores propios de
No son todos puramente imaginario esto se llama condición hiperbolicidad . Para esta ocasión, la ecuación de perturbación puede presentar algunos problemas graves incluso si
está acotado, ya que la solución crece exponencialmente rápido. [2] Sin embargo, cualitativamente, podemos conocer la solución asintótica, como los resultados de Hartman-Grobman y más. [1] - Ocasionalmente, para obtener formas estándar en las que sea más fácil trabajar, podemos elegir un conjunto de coordenadas de marco de referencia giratorio (coordenadas polares) dadas por
que determina la condición inicial
también, y define el sistema:
![{\displaystyle \quad {\begin{bmatrix}{\dot {r}}\\{\dot {\phi }}\end{bmatrix}}=\varepsilon {\begin{bmatrix}\cos(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\\{\frac {1}{r}}\sin(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\end{bmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si
tenemos una media de todo el tiempo que se excluye un entorno del origen (ya que las coordenadas polares fallan) se obtiene: ![{\displaystyle \quad {\begin{array}{lcr}{\bar {f}}_{1}^{1}(r)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds\\{\bar {f}}_{2}^{1}(r)={\frac {1}{2\pi r}}\int _{0}^{2\pi }\sin(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds,\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde el sistema promediado es ![{\displaystyle \quad {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=\varepsilon {\bar {f}}_{1}^{1}({\bar {r}})\\{\dot {\bar {\phi }}}=\varepsilon {\bar {f}}_{2}^{1}({\bar {r}})\end{array}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo: resultados promediados engañosos
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Figura 2: Un oscilador armónico simple con un pequeño término de amortiguamiento periódico dado por
![{\displaystyle {\ddot {z}}+4\varepsilon \cos ^{2}{(t)}{\dot {z}}+z=0,~z(0)=0,~{\dot {z}}(0)=1;~\varepsilon =0.05}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La simulación numérica de la ecuación original (línea sólida azul) se compara con el sistema de promedios (línea discontinua naranja) y el sistema promediado en bruto (línea punteada verde). El gráfico de la izquierda muestra la solución evolucionada en el tiempo y el gráfico de la derecha representa el espacio de fase. Observamos que el promedio bruto no está de acuerdo con la solución esperada.
El método contiene algunas suposiciones y restricciones. Estas limitaciones juegan un papel importante cuando promediamos la ecuación original que no está en la forma estándar, y podemos discutir un contraejemplo de la misma. El siguiente ejemplo para desalentar este promedio apresurado: [2]
![{\displaystyle \quad {\ddot {z}}+4\varepsilon \cos ^{2}{(t)}{\dot {z}}+z=0,\quad \quad z(0)=0,\quad {\dot {z}}(0)=1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde ponemos
siguiendo la notación anterior. Este sistema corresponde a un oscilador armónico amortiguado donde el término de amortiguación oscila entre
y
. Promediando el término fricción sobre un ciclo de
produce la ecuación:
![{\displaystyle \quad {\ddot {\bar {z}}}+2\varepsilon {\dot {\bar {z}}}+{\bar {z}}=0,\quad \quad {\bar {z}}(0)=0,\quad {\dot {\bar {z}}}(0)=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La solucion es ![{\displaystyle {\bar {z}}(t)={\frac {1}{(1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}}e^{-\varepsilon t}\sin {((1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}t)}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cuya tasa de convergencia al origen es
. El sistema promediado obtenido de la forma estándar produce: ![{\displaystyle \quad {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(2+\cos(2{\bar {\phi }})),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}={\frac {1}{2}}\varepsilon \sin(2{\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que en la coordenada rectangular muestra explícitamente que de hecho la tasa de convergencia al origen es
que difiere del sistema de promedio bruto anterior: ![{\displaystyle \quad y(t)=e^{-{\frac {3}{2}}\varepsilon t}\sin {t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo: Ecuación de Van der Pol
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Figura 3: Espacio de fase de un oscilador Van der Pol con
![\varepsilon =0.1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. El ciclo de límite estable (línea continua naranja) en el sistema se captura correctamente mediante el análisis cualitativo del sistema promediado. Para dos condiciones iniciales diferentes (puntos negros) observamos las trayectorias (línea azul discontinua) que convergen a la órbita periódica.
Van der Pol se ocupa de la obtención de solución aproximada para las ecuaciones del tipo
![{\displaystyle \quad {\ddot {z}}+\varepsilon (1-z^{2}){\dot {z}}+z=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
siguiendo la notación anterior. Este sistema lleva el nombre de Van der Pol oscilador . Si aplicamos promedios periódicos a este oscilador no lineal, esto nos da un conocimiento cualitativo del espacio de fase sin resolver explícitamente el sistema. El sistema promediado es
![{\displaystyle \quad {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}={\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(1-{\frac {1}{4}}{\bar {r}}^{2})\\{\dot {\bar {\phi }}}=0,\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y podemos analizar los puntos fijos y su estabilidad. Hay un punto fijo inestable en el origen y un ciclo límite estable representado por
. La existencia de tales-ciclo límite estable se puede establecer como un teorema.
Teorema (Existencia de una órbita periódica) [5] : Si
es un punto fijo hiperbólico de
![{\displaystyle \quad {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces existe
tal que para todos
, ![{\displaystyle \quad {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
tiene una órbita periódica hiperbólica única
del mismo tipo de estabilidad que
. La prueba se puede encontrar en Guckenheimer y Holmes, [5] Sanders et al. [2] y para el caso del ángulo en Chicone. [1]
Ejemplo: restringir el intervalo de tiempo
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Figura 4: El gráfico muestra dos cantidades fundamentales en las que se basa la técnica promedio: la región acotada y conectada
![D](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
del espacio de fase y cuánto tiempo (definido por la constante
![c](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
) la solución promediada es válida. Para este caso,
![{\textstyle {\ddot {z}}+z=8\varepsilon \cos {(t)}{\dot {z}}^{2},~z(0)=0,~{\dot {z}}(0)=1;~8\varepsilon ={\frac {2}{15}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. Tenga en cuenta que ambas soluciones explotan en un tiempo finito. Por eso,
![D](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se ha elegido en consecuencia para mantener la delimitación de la solución y el intervalo de tiempo de validez de la aproximación es
![{\displaystyle 0\leq \varepsilon t<L<{\frac {1}{3}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
El teorema promedio asume la existencia de una región conectada y acotada
que afecta el intervalo de tiempo
de la validez del resultado. El siguiente ejemplo lo señala. Considera el
![{\displaystyle \quad {\ddot {z}}+z=8\varepsilon \cos {(t)}{\dot {z}}^{2},~z(0)=0,~{\dot {z}}(0)=1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
. El sistema promediado consta de ![{\displaystyle \quad {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=3\varepsilon {\bar {r}}^{2}\cos({\bar {\phi }}),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}=-\varepsilon {\bar {r}}\sin({\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que bajo esta condición inicial indica que la solución original se comporta como ![{\displaystyle \quad z(t)={\frac {\sin(t)}{1-3\varepsilon t}}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde se mantiene en una región delimitada sobre
. Péndulo amortiguado
Considere un péndulo amortiguado cuyo punto de suspensión vibra verticalmente por una señal de pequeña amplitud y alta frecuencia (esto generalmente se conoce como dithering ). La ecuación de movimiento para tal péndulo está dada por
dónde
describe el movimiento del punto de suspensión,
describe la amortiguación del péndulo, y
es el ángulo que forma el péndulo con la vertical.
La forma del espacio de fase de esta ecuación viene dada por
donde hemos introducido la variable
y escribió el sistema como un sistema autónomo de primer orden en
-espacio.
Suponga que la frecuencia angular de las vibraciones verticales,
, es mucho mayor que la frecuencia natural del péndulo,
. Supongamos también que la amplitud de las vibraciones verticales,
, es mucho menor que la longitud
del péndulo. La trayectoria del péndulo en el espacio de fase trazará una espiral alrededor de una curva.
, moviéndose a lo largo
a un ritmo lento
pero moviéndome a un ritmo rápido
. El radio de la espiral alrededor
será pequeño y proporcional a
. El comportamiento promedio de la trayectoria, en una escala de tiempo mucho mayor que
, será seguir la curva
.
La técnica promedio para problemas de valor inicial se ha tratado hasta ahora con estimaciones de error de validez de orden
. Sin embargo, hay circunstancias en las que las estimaciones se pueden extender por más tiempo, incluso el caso para todos los tiempos. [2] A continuación nos ocupamos de un sistema que contiene un punto fijo asintóticamente estable. Tal situación recapitula lo que se ilustra en la Figura 1.
Teorema (Eckhaus [6] / Sanchez-Palencia [7] ) Considere el problema del valor inicial
![{\displaystyle \quad {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t),\qquad x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Suponer ![{\displaystyle \quad {\dot {y}}=\varepsilon \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f^{1}(y,s)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y),\quad y(0,\varepsilon )=x_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
existe y contiene un punto fijo asintóticamente estable
en la aproximación lineal. Es más,
es continuamente diferenciable con respecto a
en
y tiene un dominio de atracción
. Para cualquier compacto
y para todos ![{\displaystyle x_{0}\in K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \quad \|x(t)-y(t)\|={\mathcal {O}}(\delta (\varepsilon )),\quad 0\leq t<\infty ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
en el caso general y
en el caso periódico.