Este artículo incluye una lista de referencias generales , pero permanece en gran parte sin verificar porque carece de suficientes citas en línea correspondientes . ( Enero de 2020 ) |
Función |
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x ↦ f ( x ) |
Ejemplos de dominios y codominios |
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En matemáticas , una función de valores múltiples , también llamada multifunción , función multivaluada , función de conjunto de valor , es similar a una función , pero puede asociar varios valores a cada entrada. Más precisamente, una función multivalor desde un dominio X a un codominio Y asocia cada x en X a uno o más valores y en Y ; por tanto, es una relación binaria en serie . [ cita requerida ]Algunos autores permiten que una función multivalor no tenga valor para algunas entradas (en este caso, una función multivalor es simplemente una relación binaria). [ cita requerida ]
Sin embargo, en algunos contextos, como en el análisis complejo ( X = Y = C ), los autores prefieren imitar la teoría de funciones, ya que amplían los conceptos de las funciones ordinarias (de un solo valor). En este contexto, una función ordinaria a menudo se denomina función de un solo valor para evitar confusiones.
El término función multivalor se originó en el análisis complejo, a partir de la continuación analítica . A menudo ocurre que uno conoce el valor de una función analítica compleja en alguna vecindad de un punto . Este es el caso de las funciones definidas por el teorema de la función implícita o por una serie de Taylor alrededor . En tal situación, se puede extender el dominio de la función de valor único a lo largo de curvas en el plano complejo que comienza en . Al hacerlo, se encuentra que el valor de la función extendida en un punto depende de la curva elegida de a; Dado que ninguno de los nuevos valores es más natural que los demás, todos se incorporan a una función multivalor.
Por ejemplo, sea la función de raíz cuadrada habitual en números reales positivos. Uno puede extender su dominio a una vecindad de en el plano complejo, y luego más a lo largo de las curvas que comienzan en , de modo que los valores a lo largo de una curva dada varíen continuamente de . Extendiéndose a números reales negativos, se obtienen dos valores opuestos para la raíz cuadrada, por ejemplo, ± i para –1, dependiendo de si el dominio se ha extendido a través de la mitad superior o inferior del plano complejo. Este fenómeno es muy frecuente y ocurre para las raíces n ésimas , logaritmos y funciones trigonométricas inversas .
Para definir una función de valor único a partir de una función de valor múltiple compleja, se puede distinguir uno de los valores múltiples como el valor principal , produciendo una función de valor único en todo el plano que es discontinua a lo largo de ciertas curvas de contorno. Alternativamente, lidiar con la función multivalor permite tener algo que es continuo en todas partes, a costa de posibles cambios de valor cuando se sigue un camino cerrado ( monodromía ). Estos problemas se resuelven en la teoría de las superficies de Riemann : para considerar una función multivalor como una función ordinaria sin descartar ningún valor, se multiplica el dominio en un espacio de cobertura de muchas capas , una variedadque es la superficie de Riemann asociada a .
Todos estos son ejemplos de funciones multivalor que provienen de funciones no inyectivas . Dado que las funciones originales no conservan toda la información de sus entradas, no son reversibles. A menudo, la restricción de una función multivalor es una inversa parcial de la función original.
Las funciones multivalor de una variable compleja tienen puntos de ramificación . Por ejemplo, para las funciones raíz y logaritmo n- ésima, 0 es un punto de ramificación; para la función arcotangente, las unidades imaginarias i y - i son puntos de ramificación. Usando los puntos de bifurcación, estas funciones se pueden redefinir para que sean funciones de un solo valor, restringiendo el rango. Se puede encontrar un intervalo adecuado mediante el uso de un corte de rama , una especie de curva que conecta pares de puntos de rama, reduciendo así la superficie de Riemann multicapa de la función a una sola capa. Como en el caso de las funciones reales, el rango restringido puede denominarse rama principal de la función.
El análisis de conjuntos valorados es el estudio de conjuntos en el espíritu del análisis matemático y la topología general .
En lugar de considerar colecciones de solo puntos, el análisis de valores de conjuntos considera colecciones de conjuntos. Si una colección de conjuntos está dotada de una topología o hereda una topología apropiada de un espacio topológico subyacente, entonces se puede estudiar la convergencia de conjuntos.
Gran parte del análisis de valores establecidos surgió a través del estudio de la economía matemática y el control óptimo , en parte como una generalización del análisis convexo ; el término " análisis variacional " es utilizado por autores como R. Tyrrell Rockafellar y Roger JB Wets , Jonathan Borwein y Adrian Lewis , y Boris Mordukhovich . En la teoría de la optimización, la convergencia de la aproximación de subdiferenciales a una subdiferencial es importante para comprender las condiciones necesarias o suficientes para cualquier punto de minimización.
Existen extensiones de valores establecidos de los siguientes conceptos del análisis de valores puntuales: continuidad , diferenciación , integración , [1] teorema de función implícita , mapeos de contracción , teoría de medidas , teoremas de punto fijo , [2] optimización y teoría de grados topológicos .
Las ecuaciones se generalizan a inclusiones .
Se pueden distinguir múltiples conceptos que generalizan la continuidad , como la propiedad de gráfico cerrado y la hemicontinuidad superior e inferior [a] . También hay varias generalizaciones de medida para multifunciones.
Las multifunciones surgen en la teoría de control óptimo , especialmente inclusiones diferenciales y temas relacionados como la teoría de juegos , donde el teorema de punto fijo de Kakutani para multifunciones se ha aplicado para probar la existencia de equilibrios de Nash (en el contexto de la teoría de juegos, una función multivalor generalmente se conoce como como correspondencia ). Esta, entre muchas otras propiedades vagamente asociadas con la aproximación de multifunciones hemicontinuas superiores a través de funciones continuas, explica por qué la hemicontinuidad superior es más preferida que la hemicontinuidad inferior.
Sin embargo, las multifunciones semicontinuas inferiores generalmente poseen selecciones continuas como se establece en el teorema de selección de Michael , que proporciona otra caracterización de los espacios paracompactos . [3] [4] Otros teoremas de selección, como la selección continua direccional de Bressan-Colombo , el teorema de selección medible de Kuratowski y Ryll-Nardzewski , la selección medible de Aumann y la selección de Fryszkowski para mapas descomponibles son importantes en el control óptimo y la teoría de inclusiones diferenciales .
En física, las funciones multivalor juegan un papel cada vez más importante. Forman la base matemática para Dirac 's monopolos magnéticos , para la teoría de defectos en los cristales y el resultante plasticidad de materiales, por vórtices en superfluidos y superconductores , y para las transiciones de fase en estos sistemas, por ejemplo de fusión y el confinamiento quark . Son el origen de las estructuras de campo de calibre en muchas ramas de la física. [ cita requerida ]