La teoría de números multiplicativos es un subcampo de la teoría analítica de números que se ocupa de los números primos y de la factorización y los divisores . El enfoque suele estar en el desarrollo de fórmulas aproximadas para contar estos objetos en varios contextos. El teorema de los números primos es un resultado clave en este tema. La clasificación de asignaturas de matemáticas para la teoría de números multiplicativos es 11Nxx.
Alcance
La teoría de números multiplicativos se ocupa principalmente de estimaciones asintóticas para funciones aritméticas . Históricamente, el tema ha estado dominado por el teorema de los números primos , primero por intentos de demostrarlo y luego por mejoras en el término de error. El problema del divisor de Dirichlet que estima el orden promedio de la función divisor d (n) y el problema del círculo de Gauss que estima el orden promedio del número de representaciones de un número como una suma de dos cuadrados también son problemas clásicos, y nuevamente el enfoque es sobre la mejora de las estimaciones de error.
La distribución de números primos entre clases de residuos módulo un entero es un área de investigación activa. El teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas muestra que hay una infinidad de primos en cada clase de residuo coprimo, y el teorema de número primo para progresiones aritméticas muestra que los primos están equidistribuidos asintóticamente entre las clases de residuos. El teorema de Bombieri-Vinogradov da una medida más precisa de cuán uniformemente están distribuidos. También hay mucho interés en el tamaño del número primo más pequeño en una progresión aritmética; El teorema de Linnik da una estimación.
La conjetura de los primos gemelos , a saber, que hay una infinidad de primos p , de manera que p +2 también es primo, es objeto de investigación activa. El teorema de Chen muestra que hay una infinidad de primos p tal que p +2 es primo o el producto de dos primos.
Métodos
Los métodos pertenecen principalmente a la teoría analítica de números , pero los métodos elementales, especialmente los métodos de tamizado , también son muy importantes. El tamiz grande y las sumas exponenciales generalmente se consideran parte de la teoría de números multiplicativos.
La distribución de números primos está estrechamente relacionada con el comportamiento de la función zeta de Riemann y la hipótesis de Riemann , y estos temas se estudian tanto desde el punto de vista de la teoría de números como desde el punto de vista del análisis complejo .
Textos estándar
Una gran parte de la teoría analítica de números se ocupa de problemas multiplicativos, por lo que la mayoría de sus textos contienen secciones sobre la teoría de números multiplicativos. Estos son algunos textos conocidos que tratan específicamente con problemas multiplicativos:
- Davenport, Harold (2000). Teoría de números multiplicativos (3ª ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-95097-6.
- Montgomery, Hugh ; Robert C. Vaughan (2005). Teoría de los números multiplicativos I. Teoría clásica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.