Teorema de los números primos

Caracterización de cuántos números enteros son primos

En teoría de números , el teorema de los números primos ( PNT ) describe la distribución asintótica de los números primos entre los enteros positivos. Formaliza la idea intuitiva de que los números primos se vuelven menos comunes a medida que se hacen más grandes al cuantificar con precisión la velocidad a la que esto ocurre. El teorema fue probado de forma independiente por Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée Poussin en 1896 utilizando ideas introducidas por Bernhard Riemann (en particular, la función zeta de Riemann ).

La primera distribución de este tipo encontrada es π ( N ) ~norte/registro ( N ), Donde π ( N ) es la función contador de números primos (el número de primos de menos de o igual a N ) y log ( N ) es el logaritmo natural de N . Esto significa que para N suficientemente grande , la probabilidad de que un número entero aleatorio no mayor que N sea ​​primo es muy cercana a 1 / log ( N ) . En consecuencia, un número entero aleatorio con un máximo de 2 n dígitos (para n lo suficientemente grande ) tiene aproximadamente la mitad de probabilidades de ser primo que un número entero aleatorio con un máximo de ndígitos. Por ejemplo, entre los enteros positivos de un máximo de 1000 dígitos, aproximadamente uno de cada 2300 es primo ( log (10 ¹⁰⁰⁰ ) ≈ 2302.6 ), mientras que entre los enteros positivos de un máximo de 2000 dígitos, aproximadamente uno de cada 4600 es primo ( log (10 ²⁰⁰⁰ ) ≈ 4605.2 ). En otras palabras, la brecha promedio entre números primos consecutivos entre los primeros N enteros es aproximadamente log ( N ) . ^[1]

Declaración

Gráfico que muestra la relación de la función de conteo de primos π ( x ) a dos de sus aproximaciones, x / log x y Li ( x ) . A medida que x aumenta (observe que el eje x es logarítmico), ambas relaciones tienden a 1. La relación para x / log x converge desde arriba muy lentamente, mientras que la relación para Li ( x ) converge más rápidamente desde abajo.

Gráfico log-log que muestra el error absoluto de x / log x y Li ( x ) , dos aproximaciones a la función de conteo de primos π ( x ) . A diferencia de la relación, la diferencia entre π ( x ) y x / log x se incrementa sin límite cuando x aumenta. Por otro lado, los interruptores Li ( x ) - π ( x ) firman infinitas veces.

Sea π ( x ) la función de conteo de primos que da el número de primos menores o iguales ax , para cualquier número real  x . Por ejemplo, π (10) = 4 porque hay cuatro números primos (2, 3, 5 y 7) menores o iguales que 10. El teorema de los números primos establece que x / log x es una buena aproximación a π ( x ) (donde log aquí significa el logaritmo natural), en el sentido de que el límite del cociente de las dos funciones π ( x ) yx / log x cuando x aumenta sin límite es 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,}$

conocida como ley asintótica de distribución de números primos . Usando la notación asintótica, este resultado se puede reformular como

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

Esta notación (y el teorema ) no dice nada sobre el límite de la diferencia de las dos funciones cuando x aumenta sin límite. En cambio, el teorema establece que x / log x se aproxima a π ( x ) en el sentido de que el error relativo de esta aproximación se acerca a 0 cuando x aumenta sin límite.

El teorema de los números primos es equivalente a la afirmación de que el n- ésimo número primo p _n satisface

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

la notación asintótica significa, de nuevo, que el error relativo de esta aproximación se acerca a 0 cuando n aumenta sin límite. Por ejemplo, el2 × 10 ¹⁷ ° número primo es8 512 677 386 048 191 063 , ^[2] y (2 × 10 ¹⁷ ) registro (2 × 10 ¹⁷ ) se redondea a7 967 418 752 291 744 388 , un error relativo de aproximadamente 6,4%.

Como se describe a continuación , el teorema de los números primos también es equivalente a

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1,}$

donde ϑ y ψ son la primera y la segunda función de Chebyshev respectivamente.

Historia de la demostración de la ley asintótica de los números primos

Con base en las tablas de Anton Felkel y Jurij Vega , Adrien-Marie Legendre conjeturó en 1797 o 1798 que π ( a ) se aproxima mediante la función a / ( A log a + B ) , donde A y B son constantes no especificadas. En la segunda edición de su libro sobre teoría de números (1808) hizo una conjetura más precisa , con A = 1 y B = -1.08366 . Carl Friedrich Gaussconsideró la misma cuestión a los 15 o 16 años "en el año 1792 o 1793", según su propio recuerdo en 1849. ^[3] En 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet ideó su propia función aproximada, la integral logarítmica li ( x ) (bajo la forma ligeramente diferente de una serie, que le comunicó a Gauss). Ambas fórmulas de Dirichlet de Legendre e implican la misma equivalencia conjeturado asintótica de π ( x ) y x / log ( x ) se ha señalado anteriormente, aunque resultó que la aproximación de Dirichlet es considerablemente mejor si se tiene en cuenta las diferencias en lugar de cocientes.

En dos artículos de 1848 y 1850, el matemático ruso Pafnuty Chebyshev intentó demostrar la ley asintótica de distribución de números primos. Su trabajo es notable por el uso de la función zeta ζ ( s ) , para valores reales del argumento " s ", como en las obras de Leonhard Euler , ya en 1737. Los artículos de Chebyshev son anteriores a las célebres memorias de Riemann de 1859, y logró al probar una forma ligeramente más débil de la ley asintótica, a saber, que si el límite cuando x llega al infinito de π ( x ) / ( x / log ( x )) existe, entonces es necesariamente igual a uno.^[4] Pudo demostrar incondicionalmente que esta relación está limitada por arriba y por abajo por dos constantes dadas explícitamente cerca de 1, para todo x suficientemente grande. ^[5] Aunque el artículo de Chebyshev no probó el Teorema de los números primos, sus estimaciones para π ( x ) fueron lo suficientemente fuertes como para probar el postulado de Bertrand de que existe un número primo entre n y 2 n para cualquier número entero n ≥ 2 .

Un artículo importante sobre la distribución de números primos fue el libro de memorias de 1859 de Riemann " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ", el único artículo que escribió sobre el tema. Riemann introdujo nuevas ideas en el tema, principalmente que la distribución de números primos está íntimamente relacionada con los ceros de la función zeta de Riemann ampliada analíticamente de una variable compleja. En particular, es en este trabajo donde se origina la idea de aplicar métodos de análisis complejo al estudio de la función real π ( x ) . Ampliando las ideas de Riemann, Jacques Hadamard yCharles Jean de la Vallée Poussin y apareció en el mismo año (1896). Ambas demostraciones utilizaron métodos de análisis complejo, estableciendo como paso principal de la prueba que la función zeta de Riemann ζ ( s ) es distinta de cero para todos los valores complejos de la variable s que tienen la forma s = 1 + it con t > 0 . ^[6]

Durante el siglo XX, el teorema de Hadamard y de la Vallée Poussin también se conoció como el Teorema de los números primos. Se encontraron varias pruebas diferentes, incluidas las pruebas "elementales" de Atle Selberg y Paul Erdős (1949). Las pruebas originales de Hadamard y de la Vallée Poussin son largas y elaboradas; Las pruebas posteriores introdujeron varias simplificaciones mediante el uso de los teoremas de Tauber, pero siguieron siendo difíciles de digerir. Una prueba breve fue descubierta en 1980 por el matemático estadounidense Donald J. Newman . ^{[7] [8]} La prueba de Newman es posiblemente la prueba más simple conocida del teorema, aunque no es elemental en el sentido de que usa el teorema integral de Cauchy a partir de análisis complejos.

Boceto de prueba

Aquí hay un bosquejo de la prueba a la que se hace referencia en una de las conferencias de Terence Tao . ^[9] Como la mayoría de las pruebas del PNT, comienza reformulando el problema en términos de una función de conteo de primos menos intuitiva, pero de mejor comportamiento. La idea es contar los números primos (o un conjunto relacionado, como el conjunto de poderes primos) con pesos para llegar a una función con un comportamiento asintótico más suave. La función de conteo generalizada más común es la función de Chebyshev ψ ( x ) , definida por

${\displaystyle \psi (x)=\!\!\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p.}$

Esto a veces se escribe como

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n),}$

donde Λ ( n ) es la función de von Mangoldt , a saber

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Ahora es relativamente fácil comprobar que el PNT es equivalente a la afirmación de que

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1.}$

De hecho, esto se desprende de las estimaciones fáciles

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{p\leq x}\log x=\pi (x)\log x}$

y (usando la notación O grande ) para cualquier ε > 0 ,

${\displaystyle \psi (x)\geq \!\!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!\!\log p\geq \!\!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!\!(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x.}$

El siguiente paso es encontrar una representación útil para ψ ( x ) . Sea ζ ( s ) la función zeta de Riemann. Se puede demostrar que ζ ( s ) está relacionado con la función de von Mangoldt Λ ( n ) , y por lo tanto con ψ ( x ) , a través de la relación

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}.}$

Un análisis delicado de esta ecuación y las propiedades relacionadas de la función zeta, utilizando la transformada de Mellin y la fórmula de Perron , muestra que para un número no entero x la ecuación

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )}$

se mantiene, donde la suma está sobre todos los ceros (trivial y no trivial) de la función zeta. Esta sorprendente fórmula es una de las llamadas fórmulas explícitas de la teoría de números , y ya sugiere el resultado que deseamos probar, ya que el término x (que se dice que es el orden asintótico correcto de ψ ( x ) ) aparece a la derecha - lado de la mano, seguido de (presumiblemente) términos asintóticos de orden inferior.

El siguiente paso en la demostración implica un estudio de los ceros de la función zeta. Los ceros triviales −2, −4, −6, −8, ... se pueden manejar por separado:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

que se desvanece para una x grande . Los ceros no triviales, es decir, los de la franja crítica 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1 , pueden ser potencialmente de un orden asintótico comparable al término principal x si Re ( ρ ) = 1 , por lo que debemos demostrar que todos los ceros tienen valores reales. parte estrictamente menor que 1.

No desaparece en Re ( s ) = 1

Para hacer esto, damos por sentado que ζ ( s ) es meromórfico en el semiplano Re ( s )> 0 , y es analítico allí excepto por un polo simple en s = 1 , y que hay una fórmula de producto

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

para Re ( s )> 1 . Esta fórmula de producto se deriva de la existencia de factorización prima única de números enteros, y muestra que ζ ( s ) nunca es cero en esta región, por lo que su logaritmo se define allí y

${\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\right)=\sum _{p,n}{\frac {p^{-ns}}{n}}.}$

Escriba s = x + iy ; luego

${\displaystyle {\big |}\zeta (x+iy){\big |}=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {\cos ny\log p}{np^{nx}}}\right).}$

Ahora observa la identidad

${\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0,}$

así que eso

${\displaystyle \left|\zeta (x)^{3}\zeta (x+iy)^{4}\zeta (x+2iy)\right|=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}}\right)\geq 1}$

para todo x > 1 . Supongamos ahora que ζ (1 + iy ) = 0 . Ciertamente y no es cero, ya que ζ ( s ) tiene un polo simple en s = 1 . Suponga que x > 1 y deje que x tienda a 1 desde arriba. Ya que${\displaystyle \zeta (s)}$tiene un polo simple en s = 1 y ζ ( x + 2 iy ) permanece analítico, el lado izquierdo en la desigualdad anterior tiende a 0, una contradicción.

Finalmente, podemos concluir que el PNT es heurísticamente verdadero. Para completar rigurosamente la demostración, aún quedan serios tecnicismos por superar, debido a que la suma sobre ceros zeta en la fórmula explícita para ψ ( x ) no converge de manera absoluta sino solo condicional y en un sentido de "valor principal". Hay varias formas de solucionar este problema, pero muchas de ellas requieren estimaciones analíticas complejas bastante delicadas. El libro de Edwards ^[10] proporciona los detalles. Otro método es utilizar el teorema de Tauberian de Ikehara, aunque este teorema es en sí mismo bastante difícil de probar. DJ Newman observó que no se necesita toda la fuerza del teorema de Ikehara para el teorema de los números primos, y uno puede salirse con la suya en un caso especial que es mucho más fácil de probar.

Prueba de Newman del teorema de los números primos

DJ Newman ofrece una prueba rápida del teorema de los números primos (PNT). La prueba es "no-elemental" en virtud de confiar en el análisis complejo, pero la estimación crítico utiliza sólo técnicas elementales de un primer curso en el sujeto: fórmula integral de Cauchy , teorema de la integral de Cauchy y las estimaciones de integrales complejas. Aquí hay un breve bosquejo de esta prueba:

La primera y segunda función de Chebyshev son respectivamente

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\geq 1}\sum _{p^{k}\leq x}\log p\quad {\text{ and }}\quad \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p.}$

La segunda serie se obtiene eliminando los términos con ${\displaystyle k\geq 2}$ desde el primero. PNT es equivalente a${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\psi (x)/x=1}$ o ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\vartheta (x)/x=1}$ .

Las sumas de ${\displaystyle \psi }$ y ${\displaystyle \vartheta }$ son sumas parciales de los coeficientes de la serie de Dirichlet

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{k\geq 1}\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,\,p^{-ks}\quad {\text{ and }}\quad \quad \Phi (s)=\sum _{p\leq x}\log p\,\,p^{-s},}$

donde ${\displaystyle \zeta }$ es la función zeta de Riemann . Al igual que con las sumas parciales, la segunda serie se obtiene eliminando los términos con${\displaystyle k\geq 2}$ desde el primero. La serie de Dirichlet formada por términos con${\displaystyle k\geq 2}$ está dominado por la serie Dirichlet para ${\displaystyle \zeta (2s+\varepsilon )}$ para cualquier positivo ${\displaystyle \varepsilon }$ , por lo que la derivada logarítmica de ${\displaystyle \zeta }$ y ${\displaystyle \Phi (s)}$ difieren por una función holomórfica en ${\displaystyle \Re s>{\frac {1}{2}}}$ , y por lo tanto tienen las mismas singularidades en la línea ${\displaystyle \Re s=1}$ .

La integración por partes da por ${\displaystyle \Re s>1}$ ,

${\displaystyle \Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt.}$

Todas las demostraciones analíticas del Teorema de los números primos utilizan el hecho de que ${\displaystyle \zeta }$ no tiene ceros en la línea ${\displaystyle \Re s=1}$. Otra pieza de información necesaria en la prueba de Newman es que${\displaystyle \vartheta (x)/x}$ está ligado. Esto se puede demostrar fácilmente utilizando métodos elementales.

El método de Newman prueba PNT mostrando la integral

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\right)\,dt.}$

converge, y por lo tanto el integrando va a cero cuando ${\displaystyle t\to \infty }$. En general, la convergencia de la integral impropia no implica que el integrando vaya a cero, ya que puede oscilar, pero como${\displaystyle \vartheta }$ está aumentando, es fácil de mostrar en este caso.

Para ${\displaystyle \Re z>0}$ dejar

${\displaystyle g_{T}(z)=\int _{0}^{T}\left({\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\right)e^{-zt}\,dt\quad \quad }$

luego

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)=g(z)={\frac {\Phi (s)}{s}}-{\frac {1}{s-1}}\quad \quad {\text{where}}\quad z=s-1}$

que es holomorfo en la linea ${\displaystyle \Re z=0}$. La convergencia de la integral${\displaystyle I}$ se prueba mostrando que ${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$. Esto implica un cambio de orden de límites, ya que se puede escribir

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }\lim _{s\to 0}g_{T}(z)=\lim _{s\to 0}\lim _{T\to \infty }g_{T}(z)}$

y por lo tanto clasificado como un teorema de Tauberian.

La diferencia ${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)}$ se expresa usando la fórmula integral de Cauchy y luego las estimaciones se aplican a la integral. Arreglar${\displaystyle R>0}$ y ${\displaystyle \delta >0}$ tal que ${\displaystyle g(z)}$ es holomórfico en la región donde ${\displaystyle |z|\leq R{\text{ and }}\Re z\geq -\delta }$ y deja ${\displaystyle C}$ sea ​​su límite. Dado que 0 está en el interior, la fórmula integral de Cauchy da

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}.}$

Para obtener una estimación aproximada del integrando, sea ${\displaystyle B}$ ser un límite superior para ${\displaystyle \vartheta (e^{t})/{e^{t}}-1}$ , entonces para ${\displaystyle \Re z>0}$

${\displaystyle |g(z)-g_{T}(z)|\leq B\int _{T}^{\infty }e^{-\Re (z)t}\,dt={\frac {Be^{-\Re (z)T}}{\Re z}}.}$

Este límite no es lo suficientemente bueno para probar el resultado, pero Newman introduce el factor

${\displaystyle F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right)}$

en el integrando para ${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)}$. Dado que el factor de Newman${\displaystyle F}$ es entero y${\displaystyle F(0)=1}$, el lado izquierdo permanece sin cambios. Ahora la estimación anterior para${\displaystyle |g(z)-g_{T}(z)|}$ y estimaciones sobre ${\displaystyle F}$ combinar para dar

${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{+}}\left(g(z)-g_{T}(z)\right)F(z){\frac {dz}{z}}\right|\leq {\frac {B}{R}}.}$

donde ${\displaystyle C_{+}}$ es el semicírculo ${\displaystyle C\cap \left\{z\,\vert \,\Re z>0\right\}}$ .

Dejar ${\displaystyle C_{-}}$ ser el contorno ${\displaystyle C\cap \left\{\Re z\leq 0\right\}}$. La función${\displaystyle g_{T}}$es completo , por lo que según el teorema de la integral de Cauchy , el contorno${\displaystyle C_{-}}$ se puede modificar a un semicírculo de radio ${\displaystyle R}$ en el semiplano izquierdo sin cambiar la integral de ${\displaystyle g_{T}(z)F(z)/2\pi iz}$ , y el mismo argumento da el valor absoluto de esta integral como ${\displaystyle \leq B/R}$. Finalmente, dejando${\displaystyle T\to \infty }$ , la integral de ${\displaystyle g(z)F(z)/z}$ sobre el contorno ${\displaystyle C_{\delta }}$ va a cero desde ${\displaystyle F}$ va a cero en el contorno. Combinando las tres estimaciones, obtén

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }|g(0)-g_{T}(0)|\leq {\frac {2B}{R}}.}$

Esto vale para cualquier ${\displaystyle R}$ asi que ${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$, y sigue el PNT.

Función de conteo de primos en términos de la integral logarítmica

En una nota manuscrita en una reimpresión de su artículo de 1838 " Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres ", que envió por correo a Gauss, Dirichlet conjeturó (bajo una forma ligeramente diferente que apela a una serie en lugar de a una integral) que una aproximación aún mejor a π ( x ) viene dada por la función integral logarítmica de desplazamiento Li ( x ) , definida por

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

De hecho, esta integral sugiere fuertemente la noción de que la "densidad" de los números primos alrededor de t debería ser 1 / log t . Esta función está relacionada con el logaritmo por la expansión asintótica

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots }$

Entonces, el teorema de los números primos también se puede escribir como π ( x ) ~ Li ( x ) . De hecho, en otro artículo de 1899 de la Vallée Poussin demostró que

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

para alguna constante positiva a , donde O (...) es la notación O grande . Esto se ha mejorado para

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)}$ donde ${\displaystyle A=0.2098}$. ^[11]

En 2016, Trudgian demostró un límite superior explícito para la diferencia entre ${\displaystyle \pi (x)}$ y ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\right)}$

por ${\displaystyle x\geq 229}$. ^[12]

La conexión entre la función zeta de Riemann y π ( x ) es una de las razones por las que la hipótesis de Riemann tiene una importancia considerable en la teoría de números: si se establece, produciría una estimación mucho mejor del error involucrado en el teorema de los números primos que la disponible en la actualidad. Más específicamente, Helge von Koch demostró en 1901 ^[13] que si la hipótesis de Riemann es cierta, el término de error en la relación anterior puede mejorarse para

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right)}$

(esta última estimación es de hecho equivalente a la hipótesis de Riemann). La constante involucrada en la notación O grande fue estimada en 1976 por Lowell Schoenfeld : ^[14] asumiendo la hipótesis de Riemann,

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}}$

para todo x ≥ 2657 . También derivó un límite similar para la función de conteo de primos de Chebyshev ψ :

${\displaystyle {\big |}\psi (x)-x{\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}(\log x)^{2}}{8\pi }}}$

para todo x ≥ 73,2 . Se ha demostrado que este último límite expresa una varianza de la ley de potencia media (cuando se considera una función aleatoria sobre los números enteros) y1/F- ruido y que también corresponda a la distribución de Poisson del compuesto Tweedie . (Las distribuciones Tweedie representan una familia de distribuciones invariantes de escala que sirven como focos de convergencia para una generalización del teorema del límite central . ^[15] )

La integral logarítmica li ( x ) es mayor que π ( x ) para valores "pequeños" de x . Esto se debe a que (en cierto sentido) no está contando primos, sino potencias primas, donde una potencia p ⁿ de un primo p se cuenta como1/nortede una prima. Esto sugiere que li ( x ) normalmente debería ser mayor que π ( x ) en aproximadamente li ( √ x ) / 2 , y en particular siempre debería ser mayor que π ( x ) . Sin embargo, en 1914, JE Littlewood demostró que${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$cambia de signo infinitamente a menudo.^[16] El primer valor de x donde π ( x ) excede li ( x ) es probablemente alrededor de x = 10 ³¹⁶ ; consulte el artículo sobre el número de Skewes para obtener más detalles. (Por otro lado, la integral logarítmica de desplazamiento Li ( x ) ya es menor que π ( x ) para x = 2 ; de hecho, Li (2) = 0 , mientras que π (2) = 1 ).

Pruebas elementales

En la primera mitad del siglo XX, algunos matemáticos (en particular GH Hardy ) creían que existe una jerarquía de métodos de prueba en matemáticas dependiendo de qué tipo de números ( enteros , reales , complejos ) requiere una demostración, y que el teorema de los números primos (PNT) es un teorema "profundo" en virtud de que requiere un análisis complejo . ^[17] Esta creencia fue algo sacudida por una prueba del PNT basada en el teorema tauberiano de Wiener , aunque esto podría dejarse de lado si se considerara que el teorema de Wiener tiene una "profundidad" equivalente a la de los métodos de variables complejas.

En marzo de 1948, Atle Selberg estableció, por medios "elementales", la fórmula asintótica

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log(x)+O(x)}$

donde

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}}$

para primos p . ^[18] En julio de ese año, Selberg y Paul Erdős habían obtenido cada uno pruebas elementales del PNT, ambos utilizando la fórmula asintótica de Selberg como punto de partida. ^{[17] [19]} Estas pruebas efectivamente derribaron la noción de que el PNT era "profundo" en ese sentido, y mostraron que los métodos técnicamente "elementales" eran más poderosos de lo que se había creído. Sobre la historia de las pruebas elementales del PNT, incluida la disputa de prioridad Erdős-Selberg , ver un artículo de Dorian Goldfeld . ^[17]

Existe cierto debate sobre la importancia del resultado de Erdős y Selberg. No existe una definición rigurosa y ampliamente aceptada de la noción de prueba elemental en la teoría de números, por lo que no está claro exactamente en qué sentido su demostración es "elemental". Aunque no utiliza un análisis complejo, de hecho es mucho más técnico que la prueba estándar de PNT. Una posible definición de prueba "elemental" es "aquella que se puede realizar en aritmética de Peano de primer orden ". Hay enunciados de teoría de números (por ejemplo, el teorema de París-Harrington ) que se pueden demostrar usando segundo orden pero no primer ordenmétodos, pero tales teoremas son raros hasta la fecha. La demostración de Erdős y Selberg ciertamente se puede formalizar en la aritmética de Peano, y en 1994, Charalambos Cornaros y Costas Dimitracopoulos demostraron que su demostración se puede formalizar en un fragmento muy débil de PA, a saber, I Δ ₀ + exp . ^[20] Sin embargo, esto no aborda la cuestión de si la prueba estándar de PNT puede formalizarse en PA.

Verificaciones informáticas

En 2005, Avigad et al. empleó el demostrador del teorema de Isabelle para diseñar una variante verificada por computadora de la prueba de Erdős-Selberg del PNT. ^[21] Esta fue la primera prueba verificada por máquina del PNT. Avigad eligió formalizar la prueba de Erdős-Selberg en lugar de una analítica porque, si bien la biblioteca de Isabelle en ese momento podía implementar las nociones de función límite, derivada y trascendental , casi no tenía teoría de la integración de la que hablar. ^{[21] : 19}

En 2009, John Harrison empleó HOL Light para formalizar una prueba empleando un análisis complejo . ^[22] Al desarrollar la maquinaria analítica necesaria, incluida la fórmula integral de Cauchy , Harrison pudo formalizar "una prueba directa, moderna y elegante en lugar del argumento 'elemental' más complicado de Erdős-Selberg".

Teorema de números primos para progresiones aritméticas

Sea π _{n , a} ( x ) el número de primos en la progresión aritmética a , a + n , a + 2 n , a + 3 n , ... menor que x . Dirichlet y Legendre conjeturaron, y de la Vallée Poussin demostraron que, si una y n son primos entre sí , a continuación,

${\displaystyle \pi _{n,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (n)}}\operatorname {Li} (x),}$

donde φ es la función totient de Euler . En otras palabras, los primos se distribuyen uniformemente entre las clases de residuos [ a ] módulo n con mcd ( a , n ) = 1. Esto es más fuerte que el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas (que solo establece que hay una infinidad de primos en cada clase) y se puede demostrar usando métodos similares usados ​​por Newman para su demostración del teorema de los números primos. ^[23]

El teorema de Siegel-Walfisz proporciona una buena estimación de la distribución de primos en clases de residuos.

Carrera de números primos

Aunque tenemos en particular

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x),}$

empíricamente, los números primos congruentes con 3 son más numerosos y casi siempre están por delante en esta "carrera de números primos"; la primera inversión ocurre en x = 26861 . ^{[24] : 1–2} Sin embargo, Littlewood demostró en 1914 ^{[24] : 2} que hay infinitos cambios de signo para la función

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x),}$

por lo que el liderazgo en la carrera cambia de un lado a otro infinitas veces. El fenómeno de que π _4,3 ( x ) está por delante la mayor parte del tiempo se llama sesgo de Chebyshev . La raza de los números primos se generaliza a otros módulos y es objeto de mucha investigación; Pál Turán preguntó si siempre se da el caso de que π ( x ; a , c ) y π ( x ; b , c ) cambian de lugar cuando a y b son coprime a c . ^[25] Granvilley Martin dan una exposición y un estudio exhaustivos. ^[24]

Límites no asintóticos en la función de conteo de primos

El teorema de los números primos es un resultado asintótico . Da una cota ineficaz en π ( x ) como consecuencia directa de la definición del límite: para todo ε > 0 , hay un S tal que para todo x > S ,

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}.}$

Sin embargo, se conocen mejores límites en π ( x ) , por ejemplo, Pierre Dusart 's

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)<\pi (x)<{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right).}$

La primera desigualdad es válida para todo x ≥ 599 y la segunda para x ≥ 355991 . ^[26]

Un límite más débil pero a veces útil para x ≥ 55 es ^[27]

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-4}}.}$

En la tesis de Pierre Dusart hay versiones más fuertes de este tipo de desigualdad que son válidas para x mayor . Más tarde, en 2010, Dusart demostró: ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}&<\pi (x)&&{\text{for }}x\geq 5393,{\text{ and}}\\\pi (x)&<{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{for }}x\geq 60184.\end{aligned}}}$

La prueba de de la Vallée Poussin implica lo siguiente. Para todo ε > 0 , hay un S tal que para todo x > S ,

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}.}$

Aproximaciones para el n- ésimo número primo

Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión asintótica para el n- ésimo número primo, denotado por p _n :

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$

Una mejor aproximación es ^[29]

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{n}}=\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {(\log \log n)^{2}-6\log \log n+11}{2(\log n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{(\log n)^{2}}}\right).}$

Una vez más considerando el 2 × 10 ¹⁷ ° número primo8 512 677 386 048 191 063 , esto da una estimación de8 512 681 315 554 715 386 ; los primeros 5 dígitos coinciden y el error relativo es de aproximadamente 0,00005%.

El teorema de Rosser establece que

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

Esto se puede mejorar con el siguiente par de límites: ^{[30] [31]}

${\displaystyle \log n+\log \log n-1<{\frac {p_{n}}{n}}<\log n+\log \log n\quad {\text{for }}n\geq 6.}$

Tabla de π ( x ) , x / log x y li ( x )

La tabla compara los valores exactos de π ( x ) con las dos aproximaciones x / log x y li ( x ) . La última columna, x / π ( x ) , es la brecha principal promedio por debajo de  x .

X	π ( x )	π ( x ) -X/log x	π ( x )/x / log x	li ( x ) - π ( x )	X/π ( x )
10	4	−0,3	0,921	2.2	2.5 00
10 2	25	3.3	1,151	5.1	4 .000
10 3	168	23 .0	1,161	10 .0	5.952
10 4	1 229	143 .0	1,132	17 .0	8.137
10 5	9 592	906 .0	1.104	38 .0	10.425
10 6	78 498	6 116 .0	1.084	130 .0	12.740
10 7	664 579	44 158 .0	1.071	339 .0	15.047
10 8	5 761 455	332 774 0,0	1.061	754 .0	17.357
10 9	50 847 534	2 592 592 0,0	1.054	1 701 .0	19.667
10 10	455 052 511	20 758 029 .0	1.048	3 104 .0	21,975
10 11	4 118 054 813	169 923 159 0,0	1.043	11 588 .0	24.283
10 12	37 607 912 018	1 416 705 193 .0	1.039	38 263 .0	26.590
10 13	346 065 536 839	11 992 858 452 0,0	1.034	108 971 .0	28.896
10 14	3 204 941 750 802	102 838 308 636 0,0	1.033	314 890 .0	31.202
10 15	29 844 570 422 669	891 604 962 452 0,0	1.031	1 052 619 0,0	33.507
10 16	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393 0,0	1.029	3 214 632 0,0	35.812
10 17	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281 0,0	1.027	7 956 589 0,0	38.116
10 18	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536 0,0	1.025	21 949 555 .0	40.420
10 19	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960 0,0	1.024	99 877 775 .0	42.725
10 20	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701 0,0	1.023	222 744 644 0,0	45.028
10 21	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707 0,0	1.022	597 394 254 .0	47.332
10 22	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994 0,0	1.021	1 932 355 208 0,0	49.636
10 23	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309 0,0	1.020	7 250 186 216 0,0	51,939
10 24	18 435 599 767 3492 200 867 866	339 996 354 713 708 049 069 0,0	1.019	17 146 907 278 0,0	54.243
10 25	176 846 309 399 143 769 411 680	3 128 516 637 843 038 351 228 0,0	1.018	55 160 980 939 0,0	56.546
OEIS	A006880	A057835		A057752

El valor de π (10 ²⁴ ) se calculó originalmente asumiendo la hipótesis de Riemann ; ^[32] desde entonces ha sido verificado incondicionalmente. ^[33]

Analógico para polinomios irreducibles sobre un campo finito

Existe un análogo del teorema de los números primos que describe la "distribución" de polinomios irreducibles en un campo finito ; la forma que adopta es sorprendentemente similar al caso del teorema clásico de los números primos.

Para decirlo con precisión, permiten F = GF ( q ) ser el campo finito con q elementos, por alguna fijo q , y dejar N _n ser el número de monic irreducibles polinomios sobre F cuyo grado es igual a n . Es decir, estamos viendo polinomios con coeficientes elegidos de F , que no pueden escribirse como productos de polinomios de menor grado. En este escenario, estos polinomios juegan el papel de los números primos, ya que todos los demás polinomios monicos están formados por productos de ellos. Entonces se puede probar que

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

Si hacemos la sustitución x = q ⁿ , entonces el lado derecho es solo

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

lo que aclara la analogía. Dado que hay precisamente q ⁿ polinomios mónicos de grado n (incluidos los reducibles), esto se puede reformular de la siguiente manera: si un polinomio mónico de grado n se selecciona al azar, entonces la probabilidad de que sea irreducible es de aproximadamente 1/norte.

Incluso se puede probar un análogo de la hipótesis de Riemann, a saber, que

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right).}$

Las pruebas de estas afirmaciones son mucho más sencillas que en el caso clásico. Se trata de un breve argumento combinatorio , ^[34] resumido de la siguiente manera: cada elemento de la extensión de grado n de F es una raíz de algún polinomio irreducible cuyo grado d divide a n ; contando estas raíces de dos maneras diferentes se establece que

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

donde la suma está sobre todos los divisores d de n . La inversión de Möbius luego cede

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},}$

donde μ ( k ) es la función de Möbius . (Gauss conocía esta fórmula). El término principal ocurre para d = n , y no es difícil acotar los términos restantes. El enunciado de la "hipótesis de Riemann" depende del hecho de que el divisor propio más grande de n no puede ser mayor quenorte/2.

Ver también

• Teoría analítica abstracta de números para obtener información sobre generalizaciones del teorema.
• Teorema del ideal primo de Landau para una generalización a ideales primos en campos numéricos algebraicos.
• Hipótesis de Riemann

Notas

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Referencias

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Enlaces externos

• "Distribución de números primos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tabla de primas de Anton Felkel .
• Video corto que visualiza el teorema de los números primos.
• Fórmulas primas y teorema de números primos en MathWorld .
• ¿Cuántos Primes hay? y The Gaps between Primes de Chris Caldwell, Universidad de Tennessee en Martin .
• Tablas de funciones de conteo de primos de Tomás Oliveira e Silva