En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de anillos , la condición de Ore es una condición introducida por Øystein Ore , en relación con la cuestión de extender más allá de los anillos conmutativos la construcción de un campo de fracciones , o más generalmente la localización de un anillo. . La condición mineral correcta para un subconjunto multiplicativo S de un anillo R es que para a ∈ R y s ∈ S , la intersección aS ∩sR ≠ ∅ . Un dominio (no conmutativo)para el cual el conjunto de elementos distintos de cero satisface la condición de Mineral correcta se denomina dominio de Mineral correcto . El caso de la izquierda se define de manera similar. [1]
Idea general
El objetivo es construir el anillo de la derecha de las fracciones R [ S -1 ] con respecto a un subconjunto multiplicativo S . En otras palabras, se desea trabajar con elementos de la forma como -1 y tienen una estructura de anillo en el conjunto R [ S -1 ]. El problema es que no hay una interpretación obvia del producto ( como −1 ) ( bt −1 ); de hecho, necesitamos un método para "mover" s −1 más allá de b . Esto significa que necesitamos poder reescribir s −1 b como un producto b 1 s 1 −1 . [2] Suponga que s −1 b = b 1 s 1 −1 y luego multiplicando a la izquierda por sy a la derecha por s 1 , obtenemos bs 1 = sb 1 . Por lo tanto vemos la necesidad, para un determinado a y s , de la existencia de un 1 y s 1 con s 1 ≠ 0 y tal que como 1 = sa 1 .
Solicitud
Dado que es bien sabido que cada dominio integral es un subanillo de un campo de fracciones (a través de una incrustación) de tal manera que cada elemento tiene la forma rs −1 con s distinto de cero, es natural preguntarse si la misma construcción puede tomar un dominio no conmutativo y asociar un anillo de división (un campo no conmutativo) con la misma propiedad. Resulta que la respuesta a veces es "no", es decir, hay dominios que no tienen un "anillo de división recto de fracciones" análogo.
Para cada derecho Ore dominio R , hay un único (hasta naturales R -isomorphism) anillo de división D que contiene R como un subanillo de tal manera que cada elemento de D es de la forma rs -1 para r en R y s diferente de cero en R . Tal anillo de división D se llama un anillo de fracciones adecuadas de R , y R se llama un orden correcto en D . La noción de anillo de fracciones izquierdas y orden izquierdo se definen de manera análoga, con elementos de D de la forma s −1 r .
Es importante recordar que la definición de que R es un orden correcto en D incluye la condición de que D debe constar enteramente de elementos de la forma rs −1 . Cualquier dominio que satisfaga una de las condiciones de Ore puede considerarse un subanillo de un anillo de división, sin embargo, esto no significa automáticamente que R sea un orden a la izquierda en D , ya que es posible que D tenga un elemento que no sea de la forma s −1 r . Por lo tanto, es posible que R sea un dominio de mineral de derecha y no de izquierda. Intuitivamente, la condición de que todos los elementos de D ser de la forma rs -1 dice que R es un "gran" R -submodule de D . De hecho, la condición garantiza R R es un submódulo esencial de D R . Por último, hay incluso un ejemplo de un dominio en un anillo de división que no satisface ninguna de las condiciones de Mineral (ver ejemplos a continuación).
Otra pregunta natural es: "¿Cuándo es correcto un subanillo de un anillo de división, Ore?" Una caracterización es que un subanillo R de un anillo de división D es un dominio de Mineral derecho si y solo si D es un módulo R plano izquierdo ( Lam 2007 , Ex. 10.20).
Por lo general, se da una versión diferente y más fuerte de las condiciones de Ore para el caso en que R no es un dominio, es decir, que debería haber un múltiplo común.
- c = au = bv
con u , v no divisores cero . En este caso, el teorema de Ore garantiza la existencia de un anillo superior llamado anillo clásico de cocientes (derecho o izquierdo) .
Ejemplos de
Dominios conmutativos son automáticamente dominios de mineral, ya que para distinto de cero una y b , ab es distinto de cero en aR ∩ bR . Los dominios noetherianos correctos , como los dominios ideales principales correctos , también son conocidos como dominios Ore correctos. Incluso de manera más general, Alfred Goldie demostró que un dominio R es correcto Ore si y solo si R R tiene una dimensión uniforme finita . También es cierto que los dominios correctos de Bézout son Ore correctos.
Un subdominio de un anillo de división que no es Ore derecho o izquierdo: Si F es cualquier campo, yes el monoide libre en dos símbolos de x y y , a continuación, el anillo de monoid no satisface ninguna condición de Mineral, pero es un anillo ideal libre y, por tanto, un subanillo de un anillo de división, por ( Cohn 1995 , Cor 4.5.9).
Conjuntos multiplicativos
La condición Ore se puede generalizar a otros subconjuntos multiplicativos y se presenta en forma de libro de texto en ( Lam 1999 , §10) y ( Lam 2007 , §10). Un subconjunto S de un anillo R se denomina un conjunto denominador derecho si satisface las siguientes tres condiciones para cada una , b en R , y s , t en S :
- st en S ; (El conjunto S se cierra multiplicativamente ).
- aS ∩ sR no está vacío; (El conjunto S es permutable a la derecha ).
- Si sa = 0 , entonces hay algo de u en S con au = 0 ; (El conjunto S es reversible a la derecha ).
Si S es un conjunto de denominador recto, entonces se puede construir el anillo de fracciones derechas RS −1 de manera similar al caso conmutativo. Si S se toma como el conjunto de elementos regulares (aquellos elementos a en R tales que si b en R es distinto de cero, entonces ab y ba son distintos de cero), entonces la condición de Ore correcta es simplemente el requisito de que S sea un conjunto de denominador correcto. .
Muchas propiedades de la localización conmutativa se mantienen en este escenario más general. Si S es un conjunto de denominador derecho para un anillo R , entonces el módulo R izquierdo RS −1 es plano . Además, si M es un módulo R derecho , entonces la torsión S , tor S ( M ) = { m en M : ms = 0 para algunos s en S }, es un submódulo R isomórfico a Tor 1 ( M , RS −1 ) , y el módulo M ⊗ R RS −1 es naturalmente isomorfo a un módulo MS −1 que consta de "fracciones" como en el caso conmutativo.
Notas
- ^ Cohn, PM (1991). "Cap. 9.1". Álgebra . Vol. 3 (2ª ed.). pag. 351.
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) . pag. 13 . Consultado el 9 de mayo de 2012 .
Referencias
- Cohn, PM (1991), Álgebra , vol. 3 (2.a ed.), Chichester: John Wiley & Sons, págs. Xii + 474, ISBN 0-471-92840-2, MR 1098018 , Zbl 0.719,00002
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - Cohn, PM (1961), "Sobre la incrustación de anillos en campos sesgados", Proc. London Math. Soc. , 11 : 511–530, doi : 10.1112 / plms / s3-11.1.511 , MR 0136632 , Zbl 0104.03203
- Cohn, PM (1995), Campos sesgados, Teoría de los anillos de división general , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 57 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-43217-0, Zbl 0840.16001
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas, 189 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Zbl 0911.16001
- Lam, Tsit-Yuen (2007), Ejercicios en módulos y anillos , Libros de problemas en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98850-4, MR 2278849 , Zbl 1121.16001
- Stenström, Bo (1971), Anillos y módulos de cocientes , Lecture Notes in Mathematics, 237 , Berlín: Springer-Verlag , pp. Vii + 136, doi : 10.1007 / BFb0059904 , ISBN 978-3-540-05690-4, MR 0325663 , Zbl 0.229,16003
enlaces externos
- Página de PlanetMath sobre la condición del mineral
- Página PlanetMath sobre el teorema de Ore
- Página de PlanetMath sobre el anillo clásico de cocientes