isomorfismo musical

En matemáticas —más específicamente, en geometría diferencial— el isomorfismo musical (o isomorfismo canónico ) es un isomorfismo entre el haz tangente y el haz cotangente de una variedad pseudo-riemanniana inducida por su tensor métrico . Hay isomorfismos similares en variedades simplécticas . El término musical se refiere al uso de los símbolos (bemol) y (sostenido). ^[1]^[2] $\mathrm {T} M$ $\mathrm {T} ^{*}M$ ${\ estilo de visualización \ plano}$ ${\ estilo de visualización \ sostenido}$

Sea $(M, g)$ una variedad pseudo-riemanniana . Supongamos que ${e i}$ es un marco tangente móvil (ver también marco suave ) para el paquete tangente $T M$ con, como marco dual (ver también base dual ), el comarco móvil (un marco tangente móvil para el paquete cotangente . Ver también comarco ) ${$ $mi$ $yo$ $}$ . Entonces, localmente , podemos expresar el $\mathrm {T} ^{*}M$ métrica pseudo-riemanniana (que es un campo tensorial $de 2$ covariantes que es simétrico y no degenerado ) como $g$ $=$ $g$ $ij$ $e$ $i$ $\otimes$ $e$ $j$ (donde empleamos la convención de suma de Einstein ).

Esto se conoce como " reducir un índice ". Usando la notación tradicional de corchetes de diamantes para el producto interno definido por $g$ , obtenemos la relación algo más transparente

donde $g ij$ son las componentes del tensor métrico inverso (dado por las entradas de la matriz inversa a $g ij$ ). Tomar el agudo de un campo de covector se conoce como " elevar un índice ". En notación de producto interno, esto se lee

Estos son isomorfismos de fibrados vectoriales y, por lo tanto, tenemos, para cada $p$ en $M$ , isomorfismos de espacio vectorial mutuamente inversos entre $T p M$ y $T * pag m$ _

Debe indicarse qué índice se va a subir o bajar. Por ejemplo, considere el campo tensor (0, 2) $X = X ij e i \otimes e j$ . Elevando el segundo índice, obtenemos el (1, 1) -campo tensor