En teoría homotopy , una rama de la topología algebraica , un sistema Postnikov (o torre Postnikov ) es una manera de descomponer un espacio topológico 's grupos de homotopía utilizando un sistema inverso de espacios topológicos cuyo tipo de homotopía en grado concuerda con el tipo de homotopía truncado del espacio original . Los sistemas Postnikov fueron introducidos por Mikhail Postnikov y reciben su nombre .
Definición
Un sistema Postnikov de un espacio conectado por caminos es un sistema inverso de espacios
con una secuencia de mapas compatible con el sistema inverso tal que
- El mapa induce un isomorfismo para cada .
- por . [1] : 410
- Cada mapa es una fibración , por lo que la fibraes un espacio de Eilenberg-MacLane ,.
Las dos primeras condiciones implican que también es un -espacio. De manera más general, si es -conectado, entonces es un -espacio y todo por son contráctiles . Tenga en cuenta que la tercera condición solo la incluyen opcionalmente algunos autores.
Existencia
Los sistemas Postnikov existen en complejos CW conectados , [1] : 354 y existe una débil homotopía-equivalencia entre y su límite inverso, entonces
- ,
mostrando que es una aproximación CW de su límite inverso. Pueden construirse en un complejo CW matando iterativamente grupos de homotopía. Si tenemos un mapa representando una clase de homotopía , podemos tomar el empuje a lo largo del mapa de límites, matando a la clase de homotopía. Para este proceso se puede repetir para todos , dando un espacio que tiene grupos de homotopía que desaparecen . Usando el hecho de quese puede construir a partir de eliminando todos los mapas de homotopía , obtenemos un mapa .
Propiedad principal
Una de las principales propiedades de la torre Postnikov, que la hace tan poderosa de estudiar mientras se calcula la cohomología, es el hecho de que los espacios son homotópicos a un complejo CW que difiere de solo por celdas de dimensión .
Clasificación de homotopía de fibraciones.
La secuencia de fibraciones [2] tienen invariantes homotópicamente definidos, es decir, las clases de homotopía de mapas, dan un tipo de homotopía bien definido . La clase de homotopía deproviene de mirar la clase de homotopía del mapa de clasificación de la fibra. El mapa de clasificación asociado es
- ,
de ahí la clase de homotopía está clasificado por una clase de homotopía
llamado el n-ésimo invariante de Postnikov de, ya que las clases de homotopía de mapas a los espacios de Eilenberg-Maclane dan cohomología con coeficientes en el grupo abeliano asociado.
Secuencia de fibras para espacios con dos grupos de homotopía no triviales
Uno de los casos especiales de la clasificación de homotopía es la clase de espacios de homotopía. tal que exista una fibración
dando un tipo de homotopía con dos grupos de homotopía no triviales,, y . Luego, de la discusión anterior, el mapa de fibraciones da una clase de cohomología en
- ,
que también se puede interpretar como una clase de cohomología grupal . Este espaciopuede considerarse un sistema local superior .
Ejemplos de torres Postnikov
Torre Postnikov de un K (G, n)
Uno de los casos conceptualmente más simples de una torre Postnikov es el del espacio Eilenberg-Maclane. . Esto da una torre con
Torre Postnikov de S 2
La torre Postnikov para la esfera es un caso especial cuyos primeros términos pueden entenderse explícitamente. Dado que tenemos los primeros grupos de homotopía de la simple conexión de, teoría de grados de las esferas, y la fibración de Hopf, dando por , por eso
Luego, , y proviene de una secuencia de retroceso
que es un elemento en
- .
Si esto fuera trivial, implicaría . ¡Pero este no es el caso! De hecho, esto es responsable de por qué los estrictos grupos infinitos no modelan tipos de homotopía. [3] Calcular este invariante requiere más trabajo, pero se puede encontrar explícitamente. [4] Esta es la forma cuadrática en procedente de la fibración de Hopf . Tenga en cuenta que cada elemento en da un tipo 3 de homotopía diferente.
Grupos de esferas de homotopía
Una aplicación de la torre Postnikov es el cálculo de grupos de esferas de homotopía . [5] Para un-esfera dimensional podemos usar el teorema de Hurewicz para mostrar cada es contractible para , ya que el teorema implica que los grupos de homotopía inferiores son triviales. Recuerde que hay una secuencia espectral para cualquier fibración de Serre , como la fibración
- .
Entonces podemos formar una secuencia espectral homológica con -condiciones
- .
Y el primer mapa no trivial para ,
- ,
equivalentemente escrito como
- .
Si es fácil de calcular y , luego podemos obtener información sobre el aspecto de este mapa. En particular, si es un isomorfismo, obtenemos un cálculo de. Para el caso, esto se puede calcular explícitamente utilizando la ruta de fibración para , la propiedad principal de la torre Postnikov para (donación , y el teorema del coeficiente universal que da. Además, debido al teorema de suspensión de Freudenthal, esto en realidad da al grupo de homotopía estable desde es estable para .
Tenga en cuenta que se pueden aplicar técnicas similares utilizando la torre Whitehead (abajo) para calcular y , dando los dos primeros grupos de esferas de homotopía estable no trivial.
Torres de espectros Postnikov
Además de la torre Postnikov clásica, hay una noción de torres Postnikov en la teoría de la homotopía estable construida sobre espectros [6] pág . 85-86 .
Definición
Por un espectro una torre postnikov de es un diagrama en la categoría de espectros de homotopía, , dada por
- ,
con mapas
viajar con el mapas. Entonces, esta torre es una torre Postnikov si se cumplen las siguientes dos condiciones:
- por ,
- es un isomorfismo para ,
dónde son grupos de homotopía estables de un espectro. Resulta que cada espectro tiene una torre Postnikov y esta torre se puede construir usando un tipo de procedimiento inductivo similar al que se dio anteriormente.
Torre Whitehead
Dado un complejo de CW , hay una construcción dual en la torre Postnikov llamada torre Whitehead . En lugar de matar a todos los grupos de homotopía superiores, la torre Whitehead mata iterativamente a los grupos de homotopía inferiores. Esto está dado por una torre de complejos CW,
- ,
dónde
- Los grupos de homotopía inferiores son cero, por lo que por .
- El mapa inducido es un isomorfismo para .
- Los mapas son fibraciones con fibra .
Trascendencia
darse cuenta es la portada universal de ya que es un espacio de cobertura con una tapa simplemente conectada. Además, cada es el universal -cubierta conectada de .
Construcción
Los espacios en la torre Whitehead se construyen inductivamente. Si construimos un matando los grupos de homotopía superior en , [7] obtenemos una inserción. Si dejamos
por alguna fijo punto base , luego el mapa inducido es un haz de fibras con fibra homeomórfica para
- ,
y así tenemos una fibración de Serre
- .
Usando la secuencia larga exacta en la teoría de la homotopía, tenemos que por , por , y finalmente, hay una secuencia exacta
- ,
donde si el morfismo medio es un isomorfismo, los otros dos grupos son cero. Esto se puede comprobar mirando la inclusión y observando que el espacio de Eilenberg-Maclane tiene una descomposición celular
- ;por lo tanto,
- ,
dando el resultado deseado.
Como fibra homotopía
Otra forma de ver los componentes de la torre Whitehead es como una fibra homotopía . Si tomamos
de la torre Postnikov, obtenemos un espacio que tiene
Torre de espectros de Whitehead
La noción dual de la torre Whitehead se puede definir de manera similar utilizando fibras homotópicas en la categoría de espectros. Si dejamos
entonces esto puede organizarse en una torre que proporcione coberturas conectadas de un espectro. Esta es una construcción [8] ampliamente utilizada [9] [10] en la teoría del bordismo porque las cubiertas del espectro del cobordismo no orientadoda otras teorías del bordismo [10]
Torre de Whitehead y teoría de cuerdas
En la geometría Spin elEl grupo se construye como la cubierta universal del grupo ortogonal especial. , entonces es una fibración, dando el primer término en la torre Whitehead. Hay interpretaciones físicamente relevantes para las partes más altas de esta torre, que se pueden leer como
dónde es el -cubierta conectada de llamado el grupo de cadenas , y es el -Cubierta conectada llamada grupo de cinco marcas . [11] [12]
Ver también
- Secuencia espectral de Adams
- Espacio Eilenberg – MacLane
- Complejo CW
- Teoría de la obstrucción
- Teoría de la homotopía estable
- Grupos de esferas de homotopía
- Grupo superior
Referencias
- ^ a b Hatcher, Allen . Topología algebraica (PDF) .
- ^ Kahn, Donald W. (1 de marzo de 1963). "Mapas inducidos para sistemas Postnikov" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 107 (3): 432. doi : 10.1090 / s0002-9947-1963-0150777-x . ISSN 0002-9947 .
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- ^ Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1954). "En los grupos, III: Operaciones y obstáculos". Annals of Mathematics . 60 (3): 513-557. Doi : 10.2307 / 1969849 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1.969.849 .
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- Postnikov, Mikhail M. (1951). "Determinación de los grupos de homología de un espacio mediante las invariantes de homotopía". Doklady Akademii Nauk SSSR . 76 : 359–362.
- Notas de clase sobre teoría y aplicaciones de la homotopía
- Determinación de los segundos grupos de homología y cohomología de un espacio por medio de invariantes de homotopía : proporciona ejemplos accesibles de invariantes postnikov.
- Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-79540-1.
- "Notas manuscritas" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 13 de febrero de 2020.