En geometría , un sistema de coordenadas baricéntrico es un sistema de coordenadas en el que la ubicación de un punto se especifica por referencia a un simplex (un triángulo para puntos en un plano , un tetraedro para puntos en un espacio tridimensional , etc.). Las coordenadas baricéntricas de un punto se pueden interpretar como masas colocadas en los vértices del simplex, de modo que el punto es el centro de masa (o baricentro ) de estas masas. Estas masas pueden ser cero o negativas; todos son positivos si y solo si el punto está dentro del símplex.
Cada punto tiene coordenadas baricéntricas y su suma no es cero. Dos tuplas de coordenadas baricéntricas especifican el mismo punto si y solo si son proporcionales; es decir, si se puede obtener una tupla multiplicando los elementos de la otra tupla por el mismo número distinto de cero. Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas se consideran definidas hasta la multiplicación por una constante distinta de cero o normalizadas para sumar a la unidad.
Las coordenadas baricéntricas fueron introducidas por August Ferdinand Möbius en 1827. [1] [2] [3] Son coordenadas especiales homogéneas . Las coordenadas baricéntricas están fuertemente relacionadas con las coordenadas cartesianas y, de manera más general, con las coordenadas afines (ver Espacio afín § Relación entre coordenadas baricéntricas y afines ).
Las coordenadas baricéntricas son particularmente útiles en geometría de triángulos para estudiar propiedades que no dependen de los ángulos del triángulo, como el teorema de Ceva . En el diseño asistido por ordenador , son útiles para definir algunos tipos de superficies Bézier . [4] [5]
Definición
Dejar ser n + 1 puntos en un espacio euclidiano , plano o afín de dimensión n que son afinamente independientes ; esto significa que no existe un subespacio afín de dimensión n que contenga todos los puntos, o, de manera equivalente, que los puntos definan un símplex . Dado cualquier puntohay escalares que no son todos cero, de modo que
para cualquier punto O . (Como de costumbre, la notaciónrepresenta el vector de traslación o vector libre que asigna el punto A al punto B ).
Los elementos de una tupla ( n + 1)que satisfacen esta ecuación se denominan coordenadas baricéntricas de P con respecto aEl uso de dos puntos en la notación de la tupla significa que las coordenadas baricéntricas son una especie de coordenadas homogéneas , es decir, el punto no cambia si todas las coordenadas se multiplican por la misma constante distinta de cero. Además, las coordenadas baricéntricas tampoco se cambian si se cambia el punto auxiliar O , el origen .
Las coordenadas baricéntricas de un punto son únicas hasta una escala . Es decir, dos tuplas y son coordenadas baricéntricas del mismo punto si y solo si hay un escalar distinto de cero tal que por cada i .
En algunos contextos, es útil hacer únicas las coordenadas baricéntricas de un punto. Esto se obtiene imponiendo la condición
o equivalentemente dividiendo cada por la suma de todos Estas coordenadas baricéntricas específicas se denominan coordenadas baricéntricas normalizadas o absolutas . [6] A veces, también se les llama coordenadas afines , aunque este término se refiere comúnmente a un concepto ligeramente diferente.
A veces, estas son las coordenadas baricéntricas normalizadas que se denominan coordenadas baricéntricas . En este caso, las coordenadas definidas anteriormente se denominan coordenadas baricéntricas homogéneas .
Con la notación anterior, las coordenadas baricéntricas homogéneas de A i son todas cero, excepto la del índice i . Cuando se trabaja sobre los números reales (la definición anterior también se usa para espacios afines sobre un campo arbitrario ), los puntos cuyas coordenadas baricéntricas normalizadas no son negativas forman el casco convexo deque es el simplex que tiene estos puntos como vértices.
Con la notación anterior, una tupla tal que
no define ningún punto, pero el vector
es independiente desde el origen O . Como la dirección de este vector no cambia si todos se multiplican por el mismo escalar, la tupla homogénea define una dirección de líneas, es decir, un punto en el infinito . Consulte a continuación para obtener más detalles.
Relación con coordenadas cartesianas o afines
Las coordenadas baricéntricas están fuertemente relacionadas con las coordenadas cartesianas y, de manera más general, con las coordenadas afines . Para un espacio de dimensión n , estos sistemas de coordenadas se definen en relación con un punto O , el origen , cuyas coordenadas son cero, yn puntoscuyas coordenadas son cero excepto la del índice i que es igual a uno.
Un punto tiene coordenadas
para tal sistema de coordenadas si y solo si sus coordenadas baricéntricas normalizadas son
relativamente a los puntos
La principal ventaja de los sistemas de coordenadas baricéntricos es que son simétricos con respecto a los n + 1 puntos de definición. Por lo tanto, a menudo son útiles para estudiar propiedades que son simétricas con respecto a n + 1 puntos. Por otro lado, las distancias y los ángulos son difíciles de expresar en sistemas de coordenadas baricéntricos generales, y cuando están involucrados, generalmente es más simple usar un sistema de coordenadas cartesiano.
Relación con coordenadas proyectivas
Las coordenadas baricéntricas homogéneas también están fuertemente relacionadas con algunas coordenadas proyectivas . Sin embargo, esta relación es más sutil que en el caso de las coordenadas afines y, para ser claramente comprendida, requiere una definición libre de coordenadas de la terminación proyectiva de un espacio afín y una definición de un marco proyectivo .
La terminación proyectiva de un espacio afín de dimensión n es un espacio proyectivo de la misma dimensión que contiene el espacio afín como complemento de un hiperplano . La terminación proyectiva es única hasta un isomorfismo . El hiperplano se llama hiperplano en el infinito , y sus puntos son los puntos en el infinito del espacio afín. [7]
Dado un espacio proyectivo de dimensión n , un marco proyectivo es un conjunto ordenado de n + 2 puntos que no están contenidos en el mismo hiperplano. Un marco proyectivo define un sistema de coordenadas proyectivo tal que las coordenadas del ( n + 2) punto del marco son todas iguales y, de lo contrario, todas las coordenadas del i- ésimo punto son cero, excepto el i- ésimo. [7]
Al construir la terminación proyectiva a partir de un sistema de coordenadas afines, se define comúnmente con respecto a un marco proyectivo que consiste en las intersecciones con el hiperplano en el infinito de los ejes coordenados , el origen del espacio afín y el punto que tiene todas sus afines. coordenadas iguales a uno. Esto implica que los puntos en el infinito tienen su última coordenada igual a cero, y que las coordenadas proyectivas de un punto del espacio afín se obtienen completando sus coordenadas afines en uno como ( n + 1) ésima coordenada.
Cuando uno tiene n + 1 puntos en un espacio afín que definen un sistema de coordenadas baricéntrico, este es otro marco proyectivo de la terminación proyectiva que es conveniente elegir. Este marco consta de estos puntos y su centroide , que es el punto que tiene todas sus coordenadas baricéntricas iguales. En este caso, las coordenadas baricéntricas homogéneas de un punto en el espacio afín son las mismas que las coordenadas proyectivas de este punto. Un punto está en el infinito si y solo si la suma de sus coordenadas es cero. Este punto está en la dirección del vector definido al final de la § Definición .
Coordenadas baricéntricas en triángulos
En el contexto de un triángulo , las coordenadas baricéntricas también se conocen como coordenadas de área o coordenadas de área , porque las coordenadas de P con respecto al triángulo ABC son equivalentes a las razones (con signo) de las áreas de PBC , PCA y PAB al área de el triángulo de referencia ABC . Las coordenadas areales y trilineales se utilizan para propósitos similares en geometría.
Las coordenadas baricéntricas o de área son extremadamente útiles en aplicaciones de ingeniería que involucran subdominios triangulares . Esto hace que las integrales analíticas a menudo sean más fáciles de evaluar, y las tablas de cuadratura gaussiana a menudo se presentan en términos de coordenadas de área.
Considere un triangulo definido por sus tres vértices, , y . Cada puntoubicado dentro de este triángulo se puede escribir como una combinación convexa única de los tres vértices. En otras palabras, para cada hay una secuencia única de tres números, tal que y
Los tres numeros indicar las coordenadas "baricéntricas" o de "área" del punto con respecto al triángulo. A menudo se denotan como en vez de . Tenga en cuenta que aunque hay tres coordenadas, solo hay dos grados de libertad , ya que. Por tanto, cada punto está definido de forma única por dos de las coordenadas baricéntricas.
Para explicar por qué estas coordenadas son proporciones de áreas con signo , supongamos que trabajamos en el espacio euclidiano.. Aquí, considere el sistema de coordenadas cartesianas y su base asociada , a saber. Considere también el triángulo de orientación positiva acostado en el avión . Se sabe que por cualquier base de y cualquier vector libre uno tiene [8]
dónde representa el producto mixto de estos tres vectores.
Llevar , dónde es un punto arbitrario en el plano y comentar que
Un punto sutil con respecto a nuestra elección de vectores gratuitos: es, de hecho, la clase de equipollencia del vector ligado .
Hemos obtenido eso
Dada la orientación positiva (en sentido antihorario ) del triángulo, el denominador de ambos y es precisamente el doble del área del triángulo . También,
y así los numeradores de y son los dobles de las áreas firmadas de los triángulos y respectivamente .
Además, deducimos que
lo que significa que los números , y son las coordenadas baricéntricas de . De manera similar, la tercera coordenada baricéntrica se lee como
Esto -La notación de letras de las coordenadas baricéntricas proviene del hecho de que el punto puede interpretarse como el centro de masa de las masas, , que se encuentran en , y .
Cambiar entre las coordenadas baricéntricas y otros sistemas de coordenadas hace que algunos problemas sean mucho más fáciles de resolver.
Conversión entre coordenadas baricéntricas y cartesianas
Dado un punto en el plano de un triángulo se pueden obtener las coordenadas baricéntricas , y de las coordenadas cartesianas o viceversa.
Podemos escribir las coordenadas cartesianas del punto en términos de las componentes cartesianas de los vértices del triángulo , , dónde y en términos de las coordenadas baricéntricas de como
Es decir, las coordenadas cartesianas de cualquier punto son un promedio ponderado de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo, siendo los pesos las coordenadas baricéntricas del punto sumadas a la unidad.
Para encontrar la transformación inversa, de coordenadas cartesianas a coordenadas baricéntricas, primero sustituimos en lo anterior para obtener
Reorganizando, esto es
Esta transformación lineal se puede escribir más sucintamente como
dónde es el vector de las dos primeras coordenadas baricéntricas,es el vector de coordenadas cartesianas , yes una matriz dada por
Ahora la matriz es invertible , ya que y son linealmente independientes (si este no fuera el caso, entonces, , y sería colineal y no formaría un triángulo). Por lo tanto, podemos reorganizar la ecuación anterior para obtener
Por tanto, la búsqueda de las coordenadas baricéntricas se ha reducido a la búsqueda de la matriz inversa 2 × 2 de, un problema fácil.
Explícitamente, las fórmulas para las coordenadas baricéntricas del punto en términos de sus coordenadas cartesianas ( x, y ) y en términos de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo son:
Otra forma de resolver la conversión de coordenadas cartesianas a baricéntricas es reescribir el problema en forma de matriz para que
con y . Entonces, la condición lee y las coordenadas baricéntricas se pueden resolver como la solución del sistema lineal
Conversión entre coordenadas baricéntricas y trilineales
Un punto con coordenadas trilineales x : y : z tiene coordenadas baricéntricas ax : by : cz donde a , b , c son las longitudes de los lados del triángulo. Por el contrario, un punto con baricéntricos tiene trilineales
Ecuaciones en coordenadas baricéntricas
Los tres lados a, b, c respectivamente tienen ecuaciones [9]
La ecuación de la línea de Euler de un triángulo es [9]
Usando la conversión dada anteriormente entre coordenadas baricéntricas y trilineales, las otras ecuaciones dadas en coordenadas trilineales # Las fórmulas se pueden reescribir en términos de coordenadas baricéntricas.
Distancia entre puntos
El vector de desplazamiento de dos puntos normalizados y es [10]
La distancia Entre y , o la longitud del vector de desplazamiento es [9] [10]
donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo. La equivalencia de las dos últimas expresiones se sigue de que se sostiene porque
Las coordenadas baricéntricas de un punto se pueden calcular en función de las distancias d i a los tres vértices del triángulo resolviendo la ecuación
Aplicaciones
Determinar la ubicación con respecto a un triángulo
Aunque las coordenadas baricéntricas se usan con mayor frecuencia para manejar puntos dentro de un triángulo, también se pueden usar para describir un punto fuera del triángulo. Si el punto no está dentro del triángulo, aún podemos usar las fórmulas anteriores para calcular las coordenadas baricéntricas. Sin embargo, dado que el punto está fuera del triángulo, al menos una de las coordenadas violará nuestra suposición original de que. De hecho, dado cualquier punto en coordenadas cartesianas, podemos usar este hecho para determinar dónde está este punto con respecto a un triángulo.
Si un punto se encuentra en el interior del triángulo, todas las coordenadas baricéntricas se encuentran en el intervalo abierto Si un punto se encuentra en un borde del triángulo pero no en un vértice, una de las coordenadas del área (el asociado con el vértice opuesto) es cero, mientras que los otros dos se encuentran en el intervalo abierto Si el punto se encuentra en un vértice, la coordenada asociada con ese vértice es igual a 1 y las otras son iguales a cero. Finalmente, si el punto se encuentra fuera del triángulo, al menos una coordenada es negativa.
Resumiendo,
- Punto se encuentra dentro del triángulo si y solo si.
- se encuentra en el borde o esquina del triángulo si y .
- De lo contrario, se encuentra fuera del triángulo.
En particular, si un punto se encuentra en el lado opuesto de una línea lateral desde el vértice opuesto a esa línea lateral, entonces la coordenada baricéntrica de ese punto correspondiente a ese vértice es negativa.
Interpolación en una cuadrícula triangular no estructurada
Si son cantidades conocidas, pero los valores de dentro del triángulo definido por se desconoce, se pueden aproximar mediante interpolación lineal . Las coordenadas baricéntricas proporcionan una forma conveniente de calcular esta interpolación. Si es un punto dentro del triángulo con coordenadas baricéntricas , , , luego
En general, dada cualquier cuadrícula no estructurada o malla poligonal , este tipo de técnica se puede utilizar para aproximar el valor deen todos los puntos, siempre que se conozca el valor de la función en todos los vértices de la malla. En este caso, tenemos muchos triángulos, cada uno correspondiente a una parte diferente del espacio. Interpolar una función en un punto , primero se debe encontrar un triángulo que contenga . Para hacerlose transforma en las coordenadas baricéntricas de cada triángulo. Si se encuentra algún triángulo tal que las coordenadas satisfagan, entonces el punto se encuentra en ese triángulo o en su borde (explicado en la sección anterior). Entonces el valor de se puede interpolar como se describió anteriormente.
Estos métodos tienen muchas aplicaciones, como el método de elementos finitos (FEM).
Integración sobre un triángulo o tetraedro
La integral de una función sobre el dominio del triángulo puede ser molesta de calcular en un sistema de coordenadas cartesiano. Por lo general, uno tiene que dividir el triángulo en dos mitades, y sigue un gran desorden. En cambio, a menudo es más fácil hacer un cambio de variables a dos coordenadas baricéntricas cualesquiera, p. Ej.. Bajo este cambio de variables,
dónde es el área del triángulo. Este resultado se deriva del hecho de que un rectángulo en coordenadas baricéntricas corresponde a un cuadrilátero en coordenadas cartesianas, y la razón de las áreas de las formas correspondientes en los sistemas de coordenadas correspondientes está dada por. De manera similar, para la integración sobre un tetraedro, en lugar de dividir la integral en dos o tres partes separadas, se podría cambiar a coordenadas tetraédricas 3D bajo el cambio de variables.
Ejemplos de puntos especiales
Los tres vértices de un triángulo tienen coordenadas baricéntricas[9]
El centroide tiene baricéntricos[9]
El circuncentro de un triángulo ABC tiene coordenadas baricéntricas [9] [10] [11] [12]
donde a , b , c son las longitudes de los bordes BC , CA , AB respectivamente del triángulo.
El ortocentro tiene coordenadas baricéntricas [9] [10]
El incentro tiene coordenadas baricéntricas [10] [13]
Los excentros barycentrics 'son [13]
El centro de nueve puntos tiene coordenadas baricéntricas [9] [13]
Coordenadas baricéntricas en tetraedros
Las coordenadas baricéntricas se pueden ampliar fácilmente a tres dimensiones . El simplex 3D es un tetraedro , un poliedro que tiene cuatro caras triangulares y cuatro vértices. Una vez más, se definen las cuatro coordenadas baricéntricas para que el primer vértice mapas a coordenadas baricéntricas , etc.
Esta es nuevamente una transformación lineal, y podemos extender el procedimiento anterior para triángulos para encontrar las coordenadas baricéntricas de un punto con respecto a un tetraedro:
dónde ahora es una matriz de 3 × 3:
y con las coordenadas cartesianas correspondientes:
Coordenadas baricéntricas generalizadas
Las coordenadas baricéntricas ( a 1 , ..., a n ) que se definen con respecto a un conjunto finito de puntos en lugar de un simplex se denominan coordenadas baricéntricas generalizadas . Para estos, la ecuación
todavía se requiere mantener donde x 1 , ..., x n son los puntos dados. Si estos puntos dados no forman un simplex, las coordenadas baricéntricas generalizadas de un punto p no son únicas (hasta una multiplicación escalar). En el caso de un simplex, los puntos con coordenadas generalizadas no negativas forman el casco convexo de x 1 , ..., x n .
Por lo tanto, la definición no ha cambiado formalmente, pero mientras que un simplex con n vértices debe estar incrustado en un espacio vectorial de dimensión de al menos n-1 , un politopo puede estar incrustado en un espacio vectorial de dimensión inferior. El ejemplo más simple es un cuadrilátero en el plano. En consecuencia, incluso las coordenadas baricéntricas generalizadas normalizadas (es decir, coordenadas tales que la suma de los coeficientes es 1) en general ya no se determinan de forma única, mientras que este es el caso de las coordenadas baricéntricas normalizadas con respecto a un símplex.
De manera más abstracta, las coordenadas baricéntricas generalizadas expresan un politopo convexo con n vértices, independientemente de la dimensión, como la imagen del estándar-simplex, que tiene n vértices - el mapa está en:El mapa es uno a uno si y solo si el politopo es un simplex, en cuyo caso el mapa es un isomorfismo; esto corresponde a un punto que no tiene coordenadas baricéntricas generalizadas únicas excepto cuando P es un simplex.
Las coordenadas baricéntricas duales a generalizadas son variables de holgura , que miden la cantidad de margen que un punto satisface las restricciones lineales y proporciona una incrustación en el f - orthant , donde f es el número de caras (dual a los vértices). Este mapa es uno a uno (las variables de holgura se determinan de forma única) pero no sobre (no se pueden realizar todas las combinaciones).
Este uso del estándar -simplex y f -orthant como objetos estándar que se asignan a un politopo o al que se asigna un politopo deben contrastarse con el uso del espacio vectorial estándarcomo el objeto estándar para espacios vectoriales, y el hiperplano afín estándar como el objeto estándar para espacios afines, donde en cada caso elegir una base lineal o una base afín proporciona un isomorfismo, permitiendo que todos los espacios vectoriales y espacios afines sean pensados en términos de estos espacios estándar, en lugar de un sobre o uno a un mapa (no todos los politopos son simples). Además, el n -orthant es el objeto estándar que se asigna a los conos.
Aplicaciones
Las coordenadas baricéntricas generalizadas tienen aplicaciones en gráficos por computadora y más específicamente en modelado geométrico . A menudo, un modelo tridimensional puede aproximarse mediante un poliedro de modo que las coordenadas baricéntricas generalizadas con respecto a ese poliedro tengan un significado geométrico. De esta manera, el procesamiento del modelo se puede simplificar utilizando estas coordenadas significativas. Las coordenadas baricéntricas también se utilizan en geofísica [14]
Ver también
- Parcela ternaria
- Combinación convexa
Referencias
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- Coordenadas baricéntricas hiperbólicas , Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp. 1-35, 2009
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- Weisstein, Eric W. "Coordenadas baricéntricas" . MathWorld .
- Cálculo de coordenadas baricéntricas en coordenadas homogéneas , Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120-127, 2008
enlaces externos
- Ley de la palanca
enlaces externos
- Los usos de coordenadas baricéntricas homogéneas en geometría plana euclidiana
- Coordenadas baricéntricas : una colección de artículos científicos sobre coordenadas baricéntricas (generalizadas)
- Coordenadas baricéntricas: una aplicación curiosa (que resuelve el problema de los "tres vasos") al cortar el nudo
- Prueba precisa de punto en triángulo
- Coordenadas baricéntricas en la geometría de la Olimpiada por Evan Chen y Max Schindler
- Comando baricentro y comando TriangleCurve en Geogebra .