En teoría de números , un número narcisista [1] [2] (también conocido como invariante digital pluscuamperfecto ( PPDI ), [3] un número de Armstrong [4] (después de Michael F. Armstrong) [5] o un número más perfecto ) [6] en una base numérica determinada es un número que es la suma de sus propios dígitos, cada uno elevado a la potencia del número de dígitos.
Definición
Dejar ser un número natural. Definimos la función narcisista para base ser el siguiente:
dónde es el número de dígitos en el número en base , y
es el valor de cada dígito del número. Un numero naturales un número narcisista si es un punto fijo para, que ocurre si . Los números naturalesson números narcisistas triviales para todos, todos los demás números narcisistas son números narcisistas no triviales .
Por ejemplo, el número 153 en base es un número narcisista, porque y .
Un numero natural es un número narcisista sociable si es un punto periódico para, dónde para un entero positivo (aquí es el la iteración de), y forma un ciclo de período. Un número narcisista es un número narcisista sociable con, y un número narcisista amistoso es un número narcisista sociable con.
Todos los números naturales son puntos preperiódicos para, independientemente de la base. Esto se debe a que para cualquier recuento de dígitos dado, el valor mínimo posible de es , el valor máximo posible de es , y el valor de la función narcisista es . Por lo tanto, cualquier número narcisista debe satisfacer la desigualdad. Multiplicando todos los lados por, obtenemos , o equivalente, . Desde, esto significa que habrá un valor máximo dónde , debido a la naturaleza exponencial dey la linealidad de. Más allá de este valor, siempre. Por lo tanto, hay un número finito de números narcisistas, y se garantiza que cualquier número natural alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que, convirtiéndolo en un punto preperiódico. Configuración igual a 10 muestra que el número narcisista más grande en base 10 debe ser menor que . [1]
El número de iteraciones necesitado para llegar a un punto fijo es la persistencia de la función narcisista dee indefinido si nunca llega a un punto fijo.
Una base tiene al menos un número narcisista de dos dígitos si y solo si no es primo, y el número de números narcisistas de dos dígitos en base es igual a , dónde es el número de divisores positivos de .
Cada base que no es múltiplo de nueve tiene al menos un número narcisista de tres dígitos. Las bases que no son
- 2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935, ... (secuencia A248970 en la OEIS )
Solo hay 89 números narcisistas en base 10, de los cuales el más grande es
- 115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401
con 39 dígitos. [1]
Números narcisistas y ciclos de F b para b específicos
Todos los números están representados en base . '#' es la longitud de cada secuencia finita conocida.
Números narcisistas | # | Ciclos | Secuencia (s) OEIS | |
---|---|---|---|---|
2 | 0, 1 | 2 | ||
3 | 0, 1, 2, 12, 22, 122 | 6 | ||
4 | 0, 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303 | 12 | A010344 y A010343 | |
5 | 0, 1, 2, 3, 4, 23, 33, 103, 433, 2124, 2403, 3134, 124030, 124031, 242423, 434434444, ... | 18 | 1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 3424 → 4414 → 11034 → 20034 → 20144 → 31311 → 3424 1044302 → 2110314 → 1044302 1043300 → 1131014 → 1043300 | A010346 |
6 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 243, 514, 14340, 14341, 14432, 23520, 23521, 44405, 435152, 5435254, 12222215, 555435035 ... | 31 | 44 → 52 → 45 → 105 → 330 → 130 → 44 13345 → 33244 → 15514 → 53404 → 41024 → 13345 14523 → 32253 → 25003 → 23424 → 14523 2245352 → 3431045 → 2245352 12444435 → 22045351 → 30145020 → 13531231 → 12444435 115531430 → 230104215 → 115531430 225435342 → 235501040 → 225435342 | A010348 |
7 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 34, 44, 63, 250, 251, 305, 505, 12205, 12252, 13350, 13351, 15124, 36034, 205145, 1424553, 1433554, 3126542, 4355653, 6515652, 125543055, ... | 60 | A010350 | |
8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 64, 134, 205, 463, 660, 661, 40663, 42710, 42711, 60007, 62047, 636703, 3352072, 3352272, ... | 63 | A010354 y A010351 | |
9 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 45, 55, 150, 151, 570, 571, 2446, 12036, 12336, 14462, 2225764, 6275850, 6275851, 12742452, ... | 59 | A010353 | |
10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, ... | 89 | A005188 | |
11 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, 56, 66, 105, 307, 708, 966, A06, A64, 8009, 11720, 11721, 12470, ... | 135 | A0161948 | |
12 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 25, A5, 577, 668, A83, 14765, 938A4, 369862, A2394A, ... | 88 | A161949 | |
13 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, 14, 36, 67, 77, A6, C4, 490, 491, 509, B85, 3964, 22593, 5B350, ... | 202 | A0161950 | |
14 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, 136, 409, 74AB5, 153A632, ... | 103 | A0161951 | |
15 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, 78, 88, C3A, D87, 1774, E819, E829, 7995C, 829BB, A36BC, ... | 203 | A0161952 | |
dieciséis | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 5B0, 5B1, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1, B8D2, 13579, 2B702, 2B722, 5A07C, 5A47C, C00E0, C00E1, C04E0, C04E1, C60E7, C064E7, C801 C84E1, ... | 294 | A161953 |
Extensión a enteros negativos
Los números narcisistas se pueden extender a los números enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada número entero.
Ejemplo de programación
Pitón
El siguiente ejemplo implementa la función narcisista descrita en la definición anterior para buscar funciones y ciclos narcisistas en Python .
def ppdif ( x , b ): y = x digit_count = 0 while y > 0 : digit_count = digit_count + 1 y = y // b total = 0 while x > 0 : total = total + pow ( x % b , digit_count ) x = x // b devuelve el totaldef ppdif_cycle ( x , b ): visto = [] mientras que x no está en visto : visto . añadir ( x ) x = ppdif ( x , b ) ciclo = [] mientras que x no está en ciclo : ciclo . append ( x ) x = ppdif ( x , b ) ciclo de retorno
El siguiente programa de Python determina si el número entero ingresado es un número Narcisista / Armstrong o no.
def no_of_digits ( num ): i = 0 while num > 0 : num // = 10 i + = 1 regreso yodef required_sum ( num ): i = no_of_digits ( num ) s = 0 while num > 0 : dígito = num % 10 num // = 10 s + = pow ( dígito , i ) volver snum = int ( input ( "Ingresar número:" )) s = required_sum ( num ) if s == num : print ( "Número Armstrong" ) else : print ( "No número Armstrong" )
Java
El siguiente programa Java determina si el número entero ingresado es un número Narcisista / Armstrong o no.
import java.util.Scanner ; public class ArmstrongNumber { public static void main () { Scanner in = new Scanner ( System . in ); Sistema . fuera . println ( "Ingrese el número:" ); int num = en . nextInt (); suma doble = suma_requerida ( num ); si ( num == suma ) Sistema . fuera . println ( "Número Armstrong" ); else System . fuera . println ( "No es un número Armstrong" ); } public static int no_of_digits ( int num ) { int i ; para ( i = 0 ; num > 0 ; i ++ ) num / = 10 ; volver i ; } public static doble required_sum ( int num ) { int i = no_of_digits ( num ); doble suma = 0 ; while ( num > 0 ) { dígito int = num % 10 ; num / = 10 ; suma + = Matemáticas . pow ( dígito , i ); } return sum ; } }
Ver también
- Dinámica aritmética
- Número de Dudeney
- Factorion
- Feliz numero
- La constante de Kaprekar
- Número de Kaprekar
- Número de Meertens
- Perfecta invariante de dígito a dígito
- Invariante digital perfecto
- Número de producto suma
Referencias
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Número narcisista" . MathWorld .
- ↑ Perfect and PluPerfect Digital Invariants Archivado el 10 de octubre de 2007 en la Wayback Machine por Scott Moore
- ^ Números de PPDI (Armstrong) por Harvey Heinz
- ^ Números de Armstrong por Dik T. Winter
- ^ Registro web de Lionel Deimel
- ^ (secuencia A005188 en la OEIS )
- Joseph S. Madachy , Mathematics on Vacation , Thomas Nelson & Sons Ltd. 1966, páginas 163-175.
- Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers , Journal of Recreational Mathematics, 33 (4), 2004-2005, páginas 250-254.
- Invariantes digitales perfectos por Walter Schneider
enlaces externos
- Invariantes digitales
- Números Armstrong
- Números Armstrong en la base 2 a 16
- Calculadora de números Armstrong entre 1-999
- Symonds, Ria. "153 y números narcisistas" . Numberphile . Brady Haran .