En cálculo y áreas relacionadas de las matemáticas, una función lineal de los números reales a los números reales es una función cuya gráfica (en coordenadas cartesianas ) es una línea en el plano. [1] La propiedad característica de las funciones lineales es que cuando se cambia la variable de entrada, el cambio en la salida es proporcional al cambio en la entrada.
Las funciones lineales están relacionadas con ecuaciones lineales .
Propiedades
Una función lineal es una función polinomial en la que la variable x tiene un grado como máximo uno: [2]
- .
Esta función se llama lineal porque su gráfica , el conjunto de todos los puntosen el plano cartesiano , es una línea . El coeficiente a se llama pendiente de la función y de la línea (ver más abajo).
Si la pendiente es , esta es una función constante definiendo una línea horizontal, que algunos autores excluyen de la clase de funciones lineales. [3] Con esta definición, el grado de un polinomio lineal sería exactamente uno, y su gráfica sería una línea que no es ni vertical ni horizontal. Sin embargo, en este artículo, es necesario, por lo que las funciones constantes se considerarán lineales.
Si entonces se dice que la función lineal es homogénea . Dicha función define una línea que pasa por el origen del sistema de coordenadas, es decir, el punto. En textos de matemáticas avanzadas, el término función lineal a menudo denota funciones lineales específicamente homogéneas, mientras que el término función afín se usa para el caso general, que incluye.
El dominio natural de una función lineal, el conjunto de valores de entrada permitidos para x , es el conjunto completo de números reales ,También se pueden considerar tales funciones con x en un campo arbitrario , tomando los coeficientes a, b en ese campo.
La gráfica es una línea no vertical que tiene exactamente una intersección con el eje y , su punto de intersección yEl valor de la intersección ytambién se llama el valor inicial de Si la gráfica es una línea no horizontal que tiene exactamente una intersección con la x eje x, la x punto de intercepciónEl valor de la intercepción x la solución de la ecuación también se llama la raíz o cero de
Pendiente
La pendiente de una línea no vertical es un número que mide la inclinación de la línea (subida-sobre-carrera). Si la línea es la gráfica de la función lineal, esta pendiente viene dada por la constante a .
La pendiente mide la tasa constante de cambio de por cambio de unidad en x : siempre que la entrada x aumenta en una unidad, la salida cambia en a unidades:, y más en general para cualquier número . Si la pendiente es positiva,, luego la función esta incrementando; Si, luego está disminuyendo
En cálculo , la derivada de una función general mide su tasa de cambio. Una función linealtiene una tasa de cambio constante igual a su pendiente a , por lo que su derivada es la función constante.
La idea fundamental del cálculo diferencial es que cualquier función uniforme(no necesariamente lineal) se puede aproximar mucho cerca de un punto dadopor una función lineal única. La derivada es la pendiente de esta función lineal, y la aproximación es: por . La gráfica de la aproximación lineal es la recta tangente de la gráfica. en el punto . La pendiente derivadageneralmente varía con el punto c . Las funciones lineales se pueden caracterizar como las únicas funciones reales cuya derivada es constante: sipara todo x , entonces por .
Formas de pendiente-intersección, punto-pendiente y de dos puntos
Una función lineal dada se puede escribir en varias fórmulas estándar que muestran sus diversas propiedades. La más simple es la forma pendiente-intersección :
- ,
desde donde se puede ver inmediatamente la pendiente una y el valor inicial, que es la intersección con el eje y del gráfico.
Dada una pendiente a y un valor conocido, escribimos la forma punto-pendiente :
- .
En términos gráficos, esto da a la línea con pendiente un paso por el punto.
La forma de dos puntos comienza con dos valores conocidos y . Uno calcula la pendiente e inserta esto en la forma punto-pendiente:
- .
Su gráfico es la única línea que pasa por los puntos . La ecuacion también se puede escribir para enfatizar la pendiente constante:
- .
Relación con ecuaciones lineales
Las funciones lineales surgen comúnmente de problemas prácticos que involucran variables con una relación lineal, es decir, obedeciendo a una ecuación lineal . Si, se puede resolver esta ecuación para y , obteniendo
donde denotamos y . Es decir, se puede considerar y como una variable dependiente (salida) obtenida de la variable independiente (entrada) x mediante una función lineal:. En el plano de coordenadas xy , los posibles valores de formar una línea, la gráfica de la función . Si en la ecuación original, la línea resultante es vertical y no se puede escribir como .
Las características del gráfico puede ser interpretado en términos de las variables x e y . La intersección con el eje y es el valor inicial a . La pendiente a mide la tasa de cambio de la salida y por unidad de cambio en la entrada x . En la gráfica, mover una unidad hacia la derecha (aumentando x en 1) mueve el valor de y hacia arriba en a : es decir,. La pendiente negativa a indica una disminución de y por cada aumento de x .
Por ejemplo, la función lineal tiene pendiente , punto de intersección yy el punto de intersección x.
Ejemplo
Supongamos que el salami y la salchicha cuestan 6 € y 3 € el kilo, y deseamos comprar 12 € por valor. ¿Cuánto de cada uno podemos comprar? Si x kilogramos de salami ey kilogramos de salchicha cuestan un total de 12 €, entonces, 6 € × x + 3 € × y = 12 €. Resolver para y da la forma punto-pendiente, como anteriormente. Es decir, si primero elegimos la cantidad de salami x , la cantidad de salchicha se puede calcular en función. Como el salami cuesta el doble que la salchicha, agregar un kilo de salami disminuye la salchicha en 2 kilos:y la pendiente es -2. El punto de intersección ycorresponde a comprar solo 4 kg de salchicha; mientras que el punto de intercepción x corresponde a comprar solo 2 kg de salami.
Tenga en cuenta que el gráfico incluye puntos con valores negativos de x o y , que no tienen ningún significado en términos de las variables originales (a menos que nos imaginamos venta de carne al carnicero). Por lo tanto, deberíamos restringir nuestra función al dominio .
Además, podríamos elegir y como variable independiente y calcular x mediante la función lineal inversa : sobre el dominio .
Relación con otras clases de funciones
Si el coeficiente de la variable no es cero ( a ≠ 0 ), entonces una función lineal está representada por un polinomio de grado 1 (también llamado polinomio lineal ), de lo contrario es una función constante - también una función polinomial, pero de grado cero .
Una línea recta, cuando se dibuja en un tipo diferente de sistema de coordenadas, puede representar otras funciones.
Por ejemplo, puede representar una función exponencial cuando sus valores se expresan en escala logarítmica . Significa que cuando log ( g ( x )) es una función lineal de x , la función g es exponencial. Con funciones lineales, aumentar la entrada en una unidad hace que la salida aumente en una cantidad fija, que es la pendiente de la gráfica de la función. Con funciones exponenciales, aumentar la entrada en una unidad hace que la salida aumente en un múltiplo fijo, que se conoce como la base de la función exponencial.
Si tanto los argumentos como los valores de una función están en la escala logarítmica (es decir, cuando log ( y ) es una función lineal de log ( x ) ), entonces la línea recta representa una ley de potencia :
Por otro lado, la gráfica de una función lineal en términos de coordenadas polares :
es una espiral de Arquímedes siy un círculo de lo contrario.
Ver también
- Mapa afín , una generalización
- Progresión aritmética , una función lineal del argumento entero
Notas
- ^ Stewart 2012, p. 23
- ^ Stewart 2012, p. 24
- ^ Swokowski 1983 , p. 34
Referencias
- James Stewart (2012), Cálculo: principios trascendentales , edición 7E, Brooks / Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
- Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (Ed. Alternativa), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0871503417
enlaces externos
- https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
- http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf