Centro de nueve puntos
En geometría , el centro de nueve puntos es un centro de triángulo , un punto definido a partir de un triángulo dado de una manera que no depende de la ubicación o escala del triángulo. Se llama así porque es el centro del círculo de nueve puntos , un círculo que pasa a través de nueve puntos significativos del triángulo: los puntos medios de los tres bordes, los pies de las tres altitudes y los puntos a medio camino entre el ortocentro y el triángulo. cada uno de los tres vértices. El centro de nueve puntos figura como punto X (5) en la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling . [1] [2]
El centro de nueve puntos N se encuentra en la línea de Euler de su triángulo, en el punto medio entre el ortocentro H y el circuncentro O de ese triángulo . El centroide G también se encuentra en la misma línea, 2/3 del camino desde el ortocentro hasta el circuncentro, [2] [3] entonces
Por tanto, si se conocen dos de estos cuatro centros triangulares, las posiciones de los otros dos pueden determinarse a partir de ellos.
Andrew Guinand demostró en 1984, como parte de lo que ahora se conoce como el problema de determinación del triángulo de Euler , que si las posiciones de estos centros se dan para un triángulo desconocido, entonces el incentro del triángulo se encuentra dentro del círculo ortocentroidal (el círculo que tiene el segmento desde el centroide al ortocentro como su diámetro). El único punto dentro de este círculo que no puede ser el incentro es el centro de nueve puntos, y todos los demás puntos interiores del círculo son el incentro de un triángulo único. [4] [5] [6] [7]
El centro de nueve puntos es el circuncentro del triángulo medial del triángulo dado, el circuncentro del triángulo órtico del triángulo dado y el circuncentro del triángulo de Euler. [3] De manera más general, es el circuncentro de cualquier triángulo definido a partir de tres de los nueve puntos que definen el círculo de nueve puntos.
El centro de nueve puntos se encuentra en el centroide de cuatro puntos: los tres vértices del triángulo y su ortocentro . [8]
