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En economía , la no convexidad se refiere a violaciones de los supuestos de convexidad de la economía elemental . Los libros de texto de economía básica se concentran en consumidores con preferencias convexas (que no prefieren valores extremos a valores intermedios) y conjuntos presupuestarios convexos y en productores con conjuntos de producción convexos ; en el caso de los modelos convexos, se comprende bien el comportamiento económico previsto. [1] [2] Cuando se violan los supuestos de convexidad, muchas de las buenas propiedades de los mercados competitivos no tienen por qué ser válidas: por lo tanto, la no convexidad se asocia con fallas del mercado , [3] [4] donde la oferta y la demandadifieren o donde los equilibrios del mercado pueden ser ineficientes . [1] [4] [5] [6] [7] [8] Las economías no convexas se estudian con un análisis no suave , que es una generalización del análisis convexo . [8] [9] [10] [11]

Demanda con muchos consumidores [ editar ]

Si un conjunto de preferencias no es convexo , algunos precios determinan una línea presupuestaria que admite dos canastas óptimas separadas . Por ejemplo, podemos imaginar que, para los zoológicos, un león cuesta tanto como un águila y, además, que el presupuesto de un zoológico es suficiente para un águila o un león. Podemos suponer también que el cuidador de un zoológico ve a cualquiera de los animales como igualmente valiosos. En este caso, el zoológico compraría un león o un águila. Por supuesto, un cuidador de zoológico contemporáneo no quiere comprar la mitad de un águila y la mitad de un león. Por lo tanto, las preferencias del cuidador del zoológico no son convexas: el cuidador del zoológico prefiere tener cualquiera de los animales a tener una combinación estrictamente convexa de ambos.

Cuando las preferencias de los consumidores tienen concavidades, los presupuestos lineales no necesitan apoyar un equilibrio : los consumidores pueden saltar entre dos asignaciones separadas (de igual utilidad ).

Cuando el conjunto de preferencias del consumidor no es convexo, entonces (para algunos precios) la demanda del consumidor no está conectada ; Una demanda desconectada implica un comportamiento discontinuo por parte del consumidor, como lo comenta Harold Hotelling :

Si se piensa que las curvas de indiferencia para las compras poseen un carácter ondulado, convexas al origen en algunas regiones y cóncavas en otras, nos vemos obligados a concluir que sólo las porciones convexas al origen pueden considerarse de importancia. , ya que los otros son esencialmente inobservables. Solo pueden detectarse por las discontinuidades que pueden ocurrir en la demanda con variación en las relaciones de precios, lo que lleva a un salto abrupto de un punto de tangencia a través de un abismo cuando se gira la línea recta. Pero, aunque tales discontinuidades pueden revelar la existencia de abismos, nunca pueden medir su profundidad. Las porciones cóncavas de las curvas de indiferencia y sus generalizaciones multidimensionales, si existen, deben permanecer para siempre en una oscuridad inconmensurable. [12]

Las dificultades de estudiar las preferencias no convexas fueron enfatizadas por Herman Wold [13] y nuevamente por Paul Samuelson , quien escribió que las no convexidades están "envueltas en una oscuridad eterna ...", [14] según Diewert. [15]

Cuando se violan los supuestos de convexidad, muchas de las buenas propiedades de los mercados competitivos no tienen por qué ser válidas: por lo tanto, la no convexidad se asocia con fallas del mercado , donde la oferta y la demanda difieren o donde los equilibrios del mercado pueden ser ineficientes . [1] Las preferencias no convexas fueron iluminadas desde 1959 hasta 1961 por una secuencia de artículos en The Journal of Political Economy  ( JPE ). Los principales contribuyentes fueron Farrell , [16] Bator, [17] Koopmans , [18] y Rothenberg. [19]En particular, el artículo de Rothenberg discutió la convexidad aproximada de las sumas de conjuntos no convexos. [20] Estos JPE -papers estimularon un artículo de Lloyd Shapley y Martin Shubik , que considera convexified consumidores-preferencias e introdujo el concepto de un "equilibrio aproximado". [21] El JPE -papers y el documento de Shapley-Shubik influenciados otra noción de "cuasi-equilibrio", debido a Robert Aumann . [22] [23]

Los conjuntos no convexos se han incorporado a las teorías de los equilibrios económicos generales. [24] Estos resultados se describen en libros de texto para graduados en microeconomía , [25] teoría del equilibrio general, [26] teoría de juegos , [27] economía matemática , [28] y matemáticas aplicadas (para economistas). [29] El lema de Shapley-Folkman establece que las no convexidades son compatibles con equilibrios aproximados en mercados con muchos consumidores; Estos resultados también se aplican a las economías de producción con muchas empresas pequeñas . [30]

Suministro con pocos productores [ editar ]

La no convexidad es importante en los oligopolios y especialmente en los monopolios . [8] Las preocupaciones con los grandes productores que explotan el poder de mercado iniciaron la literatura sobre conjuntos no convexos, cuando Piero Sraffa escribió sobre empresas con rendimientos crecientes a escala en 1926, [31] después de lo cual Harold Hotelling escribió sobre precios de costo marginal en 1938. [ 32] Tanto Sraffa como Hotelling iluminaron el poder de mercado de los productores sin competidores, estimulando claramente una literatura sobre el lado de la oferta de la economía. [33]

Economía contemporánea [ editar ]

Investigaciones recientes en economía han reconocido la falta de convexidad en nuevas áreas de la economía. En estas áreas, la no convexidad se asocia con fallas del mercado , donde los equilibrios no necesitan ser eficientes o donde no existe un equilibrio competitivo porque la oferta y la demanda difieren. [1] [4] [5] [6] [7] [8] Los conjuntos no convexos surgen también con bienes ambientales (y otras externalidades ), [6] [7] y con fallas de mercado, [3] y economía pública . [5] [34] Las no convexidades también ocurren coneconomía de la información , [35] y con los mercados de valores [8] (y otros mercados incompletos ). [36] [37] Estas aplicaciones continuaron motivando a los economistas a estudiar conjuntos no convexos. [1] En algunos casos, la fijación de precios o la negociación no lineales pueden superar las fallas de los mercados con precios competitivos; en otros casos, la regulación puede estar justificada.

Optimización a lo largo del tiempo [ editar ]

Ver también: ecuación de Bellman , control óptimo y programación dinámica

Las aplicaciones mencionadas anteriormente se refieren a no convexidades en espacios vectoriales de dimensión finita , donde los puntos representan paquetes de mercancías. Sin embargo, los economistas también consideran problemas dinámicos de optimización a lo largo del tiempo, utilizando las teorías de ecuaciones diferenciales , sistemas dinámicos , procesos estocásticos y análisis funcional : Los economistas utilizan los siguientes métodos de optimización:

  • cálculo de variaciones , siguiendo a Frank P. Ramsey [38] y Harold Hotelling ; [39]
  • programación dinámica , siguiendo a Richard Bellman y Ronald Howard; [40] [41] y
  • teoría del control . [42]

En estas teorías, los problemas regulares involucran funciones convexas definidas en dominios convexos, y esta convexidad permite simplificaciones de técnicas e interpretaciones económicas significativas de los resultados. [43] [44] [45] En economía, Martin Beckmann y Richard F. Muth utilizaron la programación dinámica para trabajar en la teoría del inventario y la teoría del consumo . [46] Robert C. Merton utilizó la programación dinámica en su artículo de 1973 sobre el modelo de fijación de precios de activos de capital intertemporal . [47] (Véase también el problema de la cartera de Merton). En el modelo de Merton, los inversores eligen entre los ingresos actuales y los ingresos o ganancias de capital futuros, y su solución se encuentra a través de la programación dinámica. Stokey, Lucas & Prescott utilizan la programación dinámica para resolver problemas en teoría económica, problemas que involucran procesos estocásticos. [48] La programación dinámica se ha utilizado para lograr un crecimiento económico óptimo , la extracción de recursos , los problemas de principal-agente , las finanzas públicas , la inversión empresarial , la fijación de precios de los activos , la oferta de factores y la organización industrial . Ljungqvist & Sargent aplican la programación dinámica para estudiar una variedad de cuestiones teóricas en política monetaria., política fiscal , tributación , crecimiento económico, teoría de la búsqueda y economía laboral . [49] Dixit & Pindyck utilizó la programación dinámica para la presupuestación de capital . [50] Para problemas dinámicos, las no convexidades también se asocian con fallas de mercado, [51] al igual que para problemas de tiempo fijo. [52]

Análisis no suave [ editar ]

Los economistas han estudiado cada vez más conjuntos no convexos con análisis no suave , que generaliza el análisis convexo . El análisis convexo se centra en conjuntos convexos y funciones convexas, para lo cual proporciona ideas poderosas y resultados claros, pero no es adecuado para el análisis de no convexidades, como rendimientos crecientes a escala. [53] "no-convexidades en [tanto] la producción y el consumo ... requiere herramientas matemáticas que iba más allá de la convexidad, y el desarrollo ulterior tenido que esperar a la invención del cálculo no lisa": Por ejemplo, Clarke 's cálculo diferencial para Lipschitz funciones continuas , que utiliza el teorema de Rademacher y que se describe porRockafellar & Wets (1998) [54] y Mordukhovich (2006) , [9] según Khan (2008) . [10] Brown (1995 , págs. 1967-1968) escribió que la "principal innovación metodológica en el análisis de equilibrio general de empresas con reglas de fijación de precios" fue "la introducción de métodos de análisis no uniforme, como una [síntesis] de análisis global (topología diferencial) y [de] análisis convexo ". De acuerdo con Brown (1995 , p. 1966) , "El análisis no suave extiende la aproximación local de variedades por planos tangentes [y extiende] la aproximación análoga de conjuntos convexos por conos tangentes a conjuntos" que pueden ser no lisos o no lisos. convexo.[11] [55]

Ver también [ editar ]

  • Convexidad en economía
  • Lema de Shapley-Folkman

Notas [ editar ]

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    Ejercicio 45, página 146: Wold, Herman ; Juréen, Lars (en asociación con Wold) (1953). "8 Algunas aplicaciones adicionales de los campos de preferencia (págs. 129-148)". Análisis de la demanda: un estudio en econometría . Publicaciones de Wiley en estadística. Nueva York: John Wiley and Sons, Inc. Estocolmo: Almqvist y Wiksell. págs. xvi + 358. Señor 0064385 . 

  14. ↑ Samuelson (1950 , págs. 359-360):

    Se observará que cualquier punto donde las curvas de indiferencia sean convexas en lugar de cóncavas no se puede observar en un mercado competitivo. Tales puntos están envueltos en una oscuridad eterna, a menos que hagamos de nuestro consumidor un monopsonista y le permitamos elegir entre bienes que se encuentran en una "curva presupuestaria" muy convexa (a lo largo de la cual está afectando el precio de lo que compra). En este caso de monopsonio, aún podríamos deducir la pendiente de la curva de indiferencia del hombre a partir de la pendiente de la restricción observada en el punto de equilibrio.

    Samuelson, Paul A. (1950). "El problema de la integrabilidad en la teoría de la utilidad". Economica . Series nuevas. 17 . págs. 355–385. doi : 10.2307 / 2549499 . JSTOR  2549499 . Señor  0043436 .Para el epígrafe de su séptimo capítulo, "Mercados con preferencias y producción no convexas", que presenta a Starr (1969) , Arrow y Hahn (1971 , p. 169) citan la descripción de John Milton del (no convexo) Pantano serboniano en Paradise Lost ( Libro II, líneas 592–594 ):

    Un abismo profundo como ese pantano serboniano

    Betwixt Damiata y Mount Casius viejos,

    Donde se han hundido ejércitos enteros.

  15. ^ Diewert (1982 , págs. 552–553): Diewert, W. E. (1982). "12 enfoques de dualidad a la teoría microeconómica". En Arrow, Kenneth Joseph ; Intriligador, Michael D (eds.). Manual de economía matemática, Volumen  II. Manuales de economía. 1 . Amsterdam: North-Holland Publishing Co. págs. 535–599. doi : 10.1016 / S1573-4382 (82) 02007-4 . ISBN 978-0-444-86127-6. Señor  0648778 .
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    Koopmans (1961 , p. 478) y otros, por ejemplo, Farrell (1959 , pp. 390-391) y Farrell (1961a , p. 484), Bator (1961 , pp. 482-483) , Rothenberg (1960 , p. 438) y Starr (1969 , p. 26) —comentaron Koopmans (1957 , págs. 1-126, especialmente 9-16 [1.3 Suma de conjuntos de oportunidades], 23-35 [1.6 Conjuntos convexos y las implicaciones de precios de Optimality], y 35-37 [1.7 El papel de los supuestos de convexidad en el análisis]) :

    Tjalling C., Koopmans (1957). "Asignación de recursos y sistema de precios". En Koopmans, Tjalling C (ed.). Tres ensayos sobre el estado de la ciencia económica . Nueva York: McGraw – Hill Book Company. págs. 1-126. ISBN 0-07-035337-9.

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Referencias [ editar ]

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Enlaces externos [ editar ]

Heal, GM (abril de 1998). La economía de los rendimientos crecientes (PDF) . Serie de documentos de trabajo de PaineWebber sobre dinero, economía y finanzas. PW-97-20. Escuela de Negocios de Columbia. Archivado desde el original (PDF) el 15 de septiembre de 2015 . Consultado el 5 de marzo de 2011 .