Mapa métrico

---

En la teoría matemática de los espacios métricos , un mapa métrico es una función entre espacios métricos que no aumenta ninguna distancia (tales funciones son siempre continuas ). Estos mapas son los morfismos en la categoría de espacios métricos , Met (Isbell 1964). También se denominan funciones de Lipschitz con la constante de Lipschitz 1, mapas no expansivos , mapas no expansivos , contracciones débiles o mapas cortos .

Específicamente, suponga que X e Y son espacios métricos y ƒ es una función de X a Y. Por lo tanto, tenemos un mapa métrico cuando, para cualquier punto x e y en X ,

Consideremos el espacio métrico con la métrica euclidiana . Entonces la función es un mapa métrico, ya que para , .${\ estilo de visualización [0,1/2]}$${\ estilo de visualización f (x) = x ^ {2}}$${\ estilo de visualización x \ neq y}$${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x+y||xy|<|xy|}$

El compuesto de mapas métricos también es un mapa métrico, y el mapa de identidad id _M  : M → M en un espacio métrico M es un mapa métrico. Así, los espacios métricos junto con los mapas métricos forman una categoría Met . Met es una subcategoría de la categoría de espacios métricos y funciones de Lipschitz. Una función ƒ entre espacios métricos es una isometría si y solo si es una función métrica biyectiva cuya inversa también es una función métrica. Así, los isomorfismos en Met son precisamente las isometrías.

Se puede decir que f es estrictamente métrica si la desigualdad es estricta para cada dos puntos diferentes. Por lo tanto, un mapeo de contracción es estrictamente métrico, pero no necesariamente al revés. Tenga en cuenta que una isometría nunca es estrictamente métrica, excepto en el caso degenerado del espacio vacío o un espacio de un solo punto.

Se dice que un mapeo de un espacio métrico X a la familia de subconjuntos no vacíos de X es Lipschitz si existe tal que${\displaystyle T:X\to {\mathcal {N}}(X)}$${\ estilo de visualización L \ geq 0}$

---