En geometría algebraica y geometría diferencial , la correspondencia de Hodge no abeliana o la correspondencia de Corlette-Simpson (llamada así por Kevin Corlette y Carlos Simpson ) es una correspondencia entre los paquetes de Higgs y las representaciones del grupo fundamental de una variedad algebraica compleja proyectiva suave , o un Kähler compacto . múltiple _
El teorema puede considerarse una gran generalización del teorema de Narasimhan-Seshadri que define una correspondencia entre haces vectoriales estables y representaciones unitarias del grupo fundamental de una superficie compacta de Riemann . De hecho, el teorema de Narasimhan-Seshadri se puede obtener como un caso especial de la correspondencia no abeliana de Hodge al establecer el campo de Higgs en cero.
MS Narasimhan y CS Seshadri demostraron en 1965 que los paquetes vectoriales estables en una superficie compacta de Riemann corresponden a representaciones unitarias proyectivas irreducibles del grupo fundamental. [1] Este teorema se expresó bajo una nueva luz en el trabajo de Simon Donaldson en 1983, quien demostró que los haces vectoriales estables corresponden a las conexiones de Yang-Mills , cuya holonomía da las representaciones del grupo fundamental de Narasimhan y Seshadri. [2] El teorema de Narasimhan-Seshadri fue generalizado del caso de superficies compactas de Riemann al establecimiento de variedades compactas de Kähler por Donaldson en el caso de superficies algebraicas, y en general porKaren Uhlenbeck y Shing-Tung Yau . [3] [4] Esta correspondencia entre haces de vectores estables y conexiones Hermitian Yang-Mills se conoce como la correspondencia Kobayashi-Hitchin .
El teorema de Narasimhan-Seshadri se refiere a las representaciones unitarias del grupo fundamental. Nigel Hitchin introdujo una noción de paquete de Higgs como un objeto algebraico que debería corresponder a representaciones complejas del grupo fundamental (de hecho, la terminología "paquete de Higgs" fue introducida por Carlos Simpson después del trabajo de Hitchin). La primera instancia del teorema de Hodge no abeliano fue probada por Hitchin, quien consideró el caso de paquetes de Higgs de rango dos sobre una superficie compacta de Riemann. [5] Hitchin demostró que un paquete de Higgs poliestable corresponde a una solución de las ecuaciones de Hitchin , un sistema de ecuaciones diferenciales obtenido como una reducción dimensional de laEcuaciones de Yang-Mills a la dimensión dos. Donaldson demostró en este caso que las soluciones a las ecuaciones de Hitchin están en correspondencia con las representaciones del grupo fundamental. [6]
Los resultados de Hitchin y Donaldson para paquetes de Higgs de rango dos en una superficie compacta de Riemann fueron ampliamente generalizados por Carlos Simpson y Kevin Corlette. Simpson demostró la afirmación de que los paquetes de Higgs poliestables corresponden a soluciones de las ecuaciones de Hitchin. [7] [8] Corlette demostró la correspondencia entre las soluciones de las ecuaciones de Hitchin y las representaciones del grupo fundamental. [9]