En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas, un núcleo es cualquiera de ciertos subgrupos normales especiales de un grupo . Los dos tipos más comunes son el núcleo normal de un subgrupo y el núcleo p de un grupo.
El núcleo normal
Definición
Para un grupo G , el núcleo normal o interior normal [1] de un subgrupo H es el subgrupo normal más grande de G que está contenido en H (o de manera equivalente, la intersección de los conjugados de H ). De manera más general, el núcleo de H con respecto a un subconjunto S ⊆ G es la intersección de los conjugados de H bajo S , es decir
Bajo esta definición más general, el núcleo normal es el núcleo con respecto a S = G . El núcleo normal de cualquier subgrupo normal es el subgrupo en sí.
Significado
Los núcleos normales son importantes en el contexto de acciones grupales en conjuntos, donde el núcleo normal del subgrupo de isotropía de cualquier punto actúa como identidad en toda su órbita . Así, en caso de que la acción sea transitiva, el núcleo normal de cualquier subgrupo de isotropía es precisamente el núcleo de la acción.
Un subgrupo sin núcleo es un subgrupo cuyo núcleo normal es el subgrupo trivial. De manera equivalente, es un subgrupo que se presenta como el subgrupo de isotropía de una acción de grupo fiel y transitiva.
La solución para el problema del subgrupo oculto en el caso abeliano se generaliza para encontrar el núcleo normal en el caso de subgrupos de grupos arbitrarios.
El p -core
En esta sección, G denotará un grupo finito , aunque algunos aspectos se generalizan a grupos localmente finitos y a grupos profinitos .
Definición
Para un primo p , el p- núcleo de un grupo finito se define como su subgrupo p normal más grande . Es el núcleo normal de cada subgrupo p de Sylow del grupo. El p -core de G a menudo se denota, y en particular aparece en una de las definiciones del subgrupo de ajuste de un grupo finito . Del mismo modo, el p '-core es el mayor subgrupo normal de G cuyo orden es primos entre sí a p y se denota. En el área de los grupos insolubles finitos, incluida la clasificación de los grupos simples finitos , el núcleo 2 'a menudo se denomina simplemente núcleo y se denota. Esto causa solo una pequeña cantidad de confusión, porque generalmente se puede distinguir entre el núcleo de un grupo y el núcleo de un subgrupo dentro de un grupo. El p ′, p -core , denotado es definido por . Para un grupo finito, el p ', p- núcleo es el único subgrupo p -nilpotente normal más grande .
El núcleo p también se puede definir como el subgrupo p subnormal más grande único ; el núcleo p 'como el único subgrupo p ' subnormal más grande ; y el p ', p -core como el subgrupo p -nilpotente subnormal más grande único .
La p 'y p ', p -CORE comienzan los superiores p -series . Para los conjuntos π 1 , π 2 , ..., π n +1 de primos, se definen los subgrupos O π 1 , π 2 , ..., π n +1 ( G ) por:
La serie p superior se forma tomando π 2 i −1 = p ′ y π 2 i = p; también hay una serie p más baja . Se dice que un grupo finito es p -nilpotente si y solo si es igual a su propio p ', p- núcleo. Se dice que un grupo finito es p- soluble si y sólo si es igual a algún término de su serie p superior ; su p -Longitud es la longitud de sus superiores p -series. Se dice que un grupo finito G está p-restringido para un primo p si.
Cada grupo nilpotente es p -nilpotent, y cada p grupo -nilpotent es p -soluble. Cada grupo soluble es p -soluble, y cada p grupo -soluble es p -constrained. Un grupo es p -nilpotente si y solo si tiene un p -complemento normal , que es solo su p ′ -core.
Significado
Así como los núcleos normales son importantes para las acciones grupales en conjuntos, los núcleos p y los núcleos p 'son importantes en la teoría de la representación modular , que estudia las acciones de los grupos en los espacios vectoriales . El p- núcleo de un grupo finito es la intersección de los núcleos de las representaciones irreducibles sobre cualquier campo de característica p . Para un grupo finito, el núcleo p 'es la intersección de los núcleos de las representaciones irreductibles ordinarias (complejas) que se encuentran en el bloque p principal . Para un grupo finito, el núcleo p ', p es la intersección de los núcleos de las representaciones irreducibles en el bloque p principal sobre cualquier campo de característica p . Además, para un grupo finito, el núcleo p ', p es la intersección de los centralizadores de los factores principales abelianos cuyo orden es divisible por p (todos los cuales son representaciones irreductibles sobre un campo de tamaño p que se encuentra en el bloque principal) . Para un grupo finito restringido por p , un módulo irreducible sobre un campo de característica p se encuentra en el bloque principal si y solo si el núcleo p 'del grupo está contenido en el núcleo de la representación.
Radicales solubles
Un subgrupo relacionado en concepto y notación es el radical soluble. El radical resoluble se define como el subgrupo normal resoluble más grande , y se denota. Hay una cierta variación en la literatura para definir el p '-core de G . Unos pocos autores en solo unos pocos artículos (por ejemplo , los artículos del grupo N de Thompson , pero no su trabajo posterior) definen el núcleo p 'de un grupo insoluble G como el núcleo p ' de su radical soluble para imitar mejor las propiedades del núcleo 2 ′.
Referencias
- ^ Robinson (1996) p.16
- Aschbacher, M. (2000), Teoría de grupos finitos , Cambridge University Press , ISBN 0-521-78675-4
- Doerk, K .; Hawkes, T. (1992). Grupos solubles finitos . Walter de Gruyter . ISBN 3-11-012892-6.
- Huppert, B .; Blackburn, N. (1982). Grupos finitos II . Springer Verlag . ISBN 0-387-10632-4.
- Robinson, Derek JS (1996). Un curso de teoría de grupos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 80 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94461-3. Zbl 0836.20001 .